3448
.pdfЗАДАЧА 25. Для данной матрицы A найдите значение выражения f ( A) , где E - единичная матрица второго порядка.
1)f ( A) A3 2 A2 A 7E ,
2)f ( A) 2 A3 A2 5A 8E ,
3)f ( A) A3 2 A2 A 3E ,
4)f ( A) A3 2 A2 A 4E ,
5)f ( A) 2 A3 A2 5A 4E ,
6)f ( A) A3 5A2 A 2E ,
7)f ( A) 2 A3 A2 4 A 3E ,
8)f ( A) 2 A3 A2 A 3E ,
9)f ( A) 3A3 A2 2 A 5E ,
10)f ( A) 2 A3 A2 5A 3E ,
1 |
5 |
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A |
2 |
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; |
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1 |
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1 |
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A |
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; |
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2 |
4 |
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A |
2 |
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; |
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3 |
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A |
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A |
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2 |
2 |
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|
A |
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; |
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|
4 |
3 |
|
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121
11)f ( A) A3 2 A2 A 5E ,
12)f ( A) 2 A3 A2 4 A 2E ,
13)f ( A) A3 3A2 A 4E ,
14)f ( A) A3 2 A2 A 3E ,
15)f ( A) 2 A3 A2 3A 5E ,
16)f ( A) 2 A3 A2 3A 6E ,
17)f ( A) A3 2 A2 A 3E ,
18)f ( A) A3 2 A2 A 4E ,
19)f ( A) 2 A3 A2 5A 4E ,
20)f ( A) A3 3A2 A 5E ,
1 A 1
3 A 1
2 A 0
1 A 3
3 A 4
4 A 3
1 A 1
1 A 0
4 A 3
2 A 1
7 2 ;
4
6 ;
3;
0;
2 2 ;
2 2 ;
2
0 ;
1 2 ;
1
2 ;
0 2 .
122
ЗАДАЧА 26. Для данных матриц |
A и B найдите произве- |
|||||||||||||||||
дение |
A B . |
Существует ли |
|
произведение B A ? Ответ |
||||||||||||||
обосновать. |
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1) |
A |
2 1 |
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0 |
, |
B |
2 2 |
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0 |
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1 |
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; |
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5 |
7 |
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1 |
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1 |
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4 |
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3 |
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1 |
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1 |
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1 |
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2) |
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1 0 |
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1 |
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, |
B |
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; |
|
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A |
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1 3 |
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0 |
1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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1 |
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3) A 1 1 2 |
3 , |
B |
3 |
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6 |
; |
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1 |
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1 |
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3 |
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2 |
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0 |
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2 3 |
|
0 1 |
|
B |
|
1 1 |
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|||||||||
4) |
A |
|
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|
, |
|
1 |
|
|
; |
|
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1 1 |
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2 1 |
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|
2 |
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1 |
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3 |
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2 |
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3 |
1 |
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2 |
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5) A |
3 4 |
|
, |
B |
3 |
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|
; |
|
|
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|||||
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0 |
1 |
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|
|
1 |
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0 |
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2 |
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0 |
|
|
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2 3 |
|
0 1 |
|
B |
|
1 1 |
|
|
|||||||||
6) |
A |
|
|
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, |
|
1 |
|
|
; |
|
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1 1 |
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2 1 |
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2 |
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1 |
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3 |
|
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123
|
|
2 |
4 |
2 |
1 |
|
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|
7) A 1 2 |
1 , |
|
1 2 |
1 2 |
|
; |
||
B |
|
|||||||
|
|
|
3 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
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3 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
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||||
8) |
A |
5 |
1 |
|
, |
B |
1 |
1 |
|
; |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
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|
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|
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5 |
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0 |
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2 |
3 |
|
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6 |
|
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||
9) A |
|
4 |
1 |
5 |
3 |
|
, |
B 2 |
; |
|
||||
|
|
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|
7 |
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|
|
|
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
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|
|
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|||||||
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4 |
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3 |
4 |
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10) A |
3 |
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2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
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|||
|
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|
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|
|
, |
B |
|
|
|
; |
|||
|
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4 |
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1 |
1 |
3 |
|
|
1 |
1 |
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2 |
3 |
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0 |
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1 |
|
4 |
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11) |
A 5 |
1 |
0 |
|
3 , |
B |
|
|
; |
|
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|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
0 |
|
1 |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
||||
12) |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
2 |
||
A |
|
, |
|
|
B |
|
|
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|
|
4 |
|
2 |
4 |
|
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2 |
1 |
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5 |
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1 |
|
1 |
|
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|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
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3 |
5 |
|
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13) |
A |
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2 |
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, |
B |
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5 |
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; |
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|
1 |
2 |
1 |
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3 |
|
|
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|
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1 |
1 |
|
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|
|
|
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1
3 ;
2
124
|
|
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1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
5 |
1 |
3 1 |
|
|
2 1 |
1 |
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|
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14) |
A |
|
|
1 |
|
|
, |
B |
|
|
2 |
|
; |
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2 |
0 |
4 |
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3 |
0 |
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4 |
1 |
2 |
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1 |
3 |
2 |
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5 |
6 |
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15) |
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3 |
4 |
1 |
|
, |
|
2 |
5 |
|
; |
A |
|
B |
|
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2 |
5 |
3 |
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3 |
2 |
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2 |
0 |
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1 |
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2 |
3 |
0 |
1 |
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16) |
A |
1 |
|
|
, |
B |
|
|
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; |
|
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|
2 |
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1 |
1 |
2 |
1 |
|
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1 |
3 |
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|
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4 |
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0 |
1 |
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17) |
A |
|
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2 |
|
, |
B |
|
|
|
; |
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1 |
1 |
0 |
|
|
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1 |
1 |
|
|
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|
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1 |
1 |
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0 |
3 |
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18) |
A |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
, |
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
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0 |
1 |
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B |
|
; |
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6 |
1 |
1 |
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|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
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3 |
4 |
|
|
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|
|
|
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19) |
A |
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2 |
1 |
|
, |
B |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
; |
|
||
|
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|
|
1 |
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|
|
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4 |
1 |
1 |
3 |
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|
|
|
|
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2 |
3 |
|
|
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|
|
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7 |
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2 |
3 |
1 |
|
|
3 |
2 |
|
|||||
|
|
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|
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1 |
|
2 |
|
|||||||
20) |
A |
|
3 |
|
1 |
4 |
2 |
|
, |
B |
|
. |
||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3 |
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|
5 |
|
2 |
|||||||
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|
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|
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|
|
|
|
125
ЗАДАЧА 27. Для данной матрицы |
A найдите обратную |
|
матрицу |
A 1 . Сделайте проверку, |
т.е. покажите, что |
AA 1 E . |
Вычислите определитель |
матрицы A 1 . Убеди- |
тесь, что выполняется равенство | A 1 | | 1A | .
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1) |
2 |
4 |
5 ; |
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|
1 |
1 |
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2 |
||||
5 |
2 |
|
1 |
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1 |
3 |
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|
4) |
2 |
|
|||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
2 |
3 |
4 |
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7) |
1 |
2 |
3 ; |
||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
||||
|
1 |
1 |
2 |
||
10) |
9 |
7 |
6 ; |
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
|
3 |
7 |
13) |
2 |
|
5 |
6 ; |
|
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1 |
|
2 |
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|
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|
11 |
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|
1 |
|
4 |
5 |
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16) |
6 |
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5 |
3 ; |
|
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|
3 |
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2 |
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|
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1 |
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|
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1 |
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3 |
5 |
19) |
4 |
|
3 |
2 ; |
|
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|
5 |
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4 |
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2 |
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3 |
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2) |
2 |
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1 ; |
|
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|
1 |
2 |
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1 |
||
|
1 |
|
2 |
3 |
5) |
3 |
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2 |
4 ; |
|
2 |
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1 |
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0 |
||
1 |
|
2 |
2 |
|
8) |
2 |
|
5 |
7 ; |
|
4 |
|
9 |
|
|
|
10 |
||
|
2 |
3 |
5 |
|
11) |
|
0 |
1 |
3 ; |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
7 |
||
|
2 |
3 |
3 |
|
14) |
|
3 |
9 |
4 ; |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
||
|
5 |
6 |
2 |
|
17) |
2 |
1 |
1 ; |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
2 |
||
|
3 |
4 |
5 |
|
20) |
|
2 |
3 |
1 . |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
1 |
|
5 |
3 |
|
1 |
|
3) |
1 |
4 |
2 ; |
||
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
1 |
4 |
|
5 |
|
6) |
2 |
6 10 ; |
|||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|||
2 |
3 |
1 |
|||
9) |
4 |
5 |
2 ; |
||
|
5 |
7 |
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
12) |
4 |
3 |
2 ; |
||
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
3 |
8 |
|
5 |
15) |
4 |
7 |
|
2 ; |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
1 |
2 |
|
5 |
18) |
1 |
3 |
|
6 ; |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
10 |
126
ЗАДАЧА 28. Решите матричное уравнение, сделайте проверку:
|
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||
1) |
|
|
|
|
X |
5 |
|
|
; |
|
|
2) X |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
5 4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
8 |
5 |
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
5 |
|
X |
|
|
|
|
|
; |
|
4) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
11 |
19 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
5 3 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
3 |
|
7 |
12 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
4 5 |
|
|
||||||||||||
5) |
|
1 |
|
|
X |
|
4 |
|
|
; |
|
6) X |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
5 4 |
|
|
|
8 6 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
10 |
|
|
|||||||||||||
7) |
|
|
|
X |
|
|
|
|
; |
|
|
8) X |
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
; |
|
||||||
|
|
3 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 |
|
14 |
|
9 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
7 |
4 |
|
||||||||||||
9) |
|
5 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
; |
|
10) |
X |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
; |
||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
6 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
3 |
9 |
|
|||||||||||||
11) |
|
4 |
|
|
X |
|
28 |
6 |
|
; |
12) |
X |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
15 |
7 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|||||||||
13) |
|
3 |
|
|
X |
|
|
|
|
; |
|
|
14) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
1 24 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
12 |
|
8 |
|
|
|
|
1 2 |
|
1 8 |
|
|
|
||||||||||||
15) |
|
6 |
|
|
X |
|
20 |
|
|
; |
|
16) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
4 7 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 1 |
|
|
7 1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
19 1 |
|
|
|
|
|||||||||
17) |
|
|
X |
|
|
|
; |
|
|
18) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
3 1 |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
32 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
4 |
|
3 |
|
7 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
||||||||||
19) |
|
3 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
; |
|
20) X |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
10 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
5 |
127
ЗАДАЧА 29. Для данных матриц B и C найдите матрицы
BC , CB , |
B С , |
B С , |
B2 С2 , |
(2B)T С . |
Верно ли, что: |
||||||||||||||||||||||||||
а) BC CB ; б) B2 С 2 (B C)(B C) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 5 6 |
|
2 |
8 5 |
|
||||||||||||||
1) |
|
8 |
7 |
6 |
|
, |
|
3 5 |
4 |
|
; |
2) |
|
|
2 4 |
|
3 |
|
, |
|
3 |
1 |
|
0 |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
4 2 |
|
|
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5 3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
6 |
1 3 |
|
3 0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 2 |
|
|
3 |
2 1 |
|
|
|||||||||||||
3) |
|
5 |
2 5 |
|
|
|
0 2 |
7 |
|
; |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 2 |
|
; |
|
|||||||
|
, |
|
|
|
1 3 1 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 8 |
|
|
|
1 3 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
3 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
5 |
|
1 1 |
1 |
|
|
|
3 1 0 |
|
|
2 |
7 0 |
|
|
|||||||||||||||
5) |
|
3 |
0 6 |
|
, |
|
2 |
3 |
|
|
; |
6) |
|
4 |
|
3 2 |
|
, |
|
|
5 |
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
3 4 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 7 |
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
7 |
2 |
|
0 5 |
3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
4 |
|
0 |
0 4 |
|
|
|||||||||||||
7) |
|
1 |
8 |
3 |
|
, |
|
2 4 |
|
|
|
8) |
|
4 |
|
9 |
|
|
|
, |
|
5 |
6 |
|
|
; |
|
||||
|
|
|
1 ; |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
3 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
8 |
5 1 |
|
|
4 |
7 |
6 |
|
|
|
|
3 |
4 3 |
|
2 |
2 |
0 |
|
|
||||||||||||
9) |
|
1 |
5 |
3 |
|
, |
|
|
3 |
2 |
|
|
; |
|
10) |
|
1 2 |
|
3 |
|
, |
|
5 |
4 |
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
2 |
|
|
128
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
4 0 |
|
|
1 |
7 1 |
|
2 |
3 4 |
|
3 |
3 |
1 |
|
|||||||||
11) |
4 |
5 |
1 , |
|
|
0 |
2 |
|
6 ; |
12) |
|
3 |
1 |
4 , |
|
|
0 |
6 |
2 ; |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
9 |
2 |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|||||||||
5 |
9 4 |
|
1 |
1 1 |
|
5 |
1 3 |
|
3 |
5 |
5 |
|
||||||||||
13) |
1 |
3 |
1 |
, |
|
3 |
4 |
3 ; |
14) |
|
1 |
2 |
1 , |
|
|
7 |
1 |
2 ; |
||||
|
2 |
1 6 |
|
|
|
0 |
5 2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
5 |
1 |
|
|
3 |
2 5 |
|
1 |
1 1 |
|
1 |
0 4 |
||||||||||
|
5 |
6 |
|
, |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
16) |
|
2 |
4 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
15) |
1 |
|
|
; |
|
1 , |
|
|
3 ; |
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
0 2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
4 |
3 |
|
2 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
3 |
4 2 |
|
1 |
4 4 |
|
4 |
1 4 |
|
0 |
1 |
1 |
|||||||||||
17) |
1 |
5 |
3 |
, |
|
1 |
3 |
|
2 ; |
18) |
|
2 |
4 |
6 , |
|
|
2 |
5 |
0 |
; |
||
|
0 |
1 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
1 2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
||||||||||||
6 |
7 3 |
|
|
2 |
0 |
|
5 |
|
1 |
2 |
5 |
|
1 |
1 1 |
||||||||
19) |
3 |
1 |
0 , |
|
|
4 |
1 |
2 ; |
20) |
|
3 |
0 |
6 , |
|
|
2 |
3 |
|
3 . |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
3 4 |
|
|
1 |
||||||||||
ЗАДАЧА 30. Вычислите определители матриц |
|
B , |
C , |
BC , |
||||||||||||||||||
B С , |
BT CT , |
|
BT CT , |
B2C3 , |
|
где B и C - |
матрицы из |
|||||||||||||||
задачи 29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
ЗАДАЧА 31. Найдите ранг данной матрицы методом элементарных преобразований:
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
1) |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
3 |
10 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
1 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1 |
13 |
|
1 |
||||
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
1 |
|
|
5) |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
4 |
4 |
|
|
0 |
|
||
|
|
1 |
1 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
1 |
2 |
0 |
|
3 |
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
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3 |
1 |
1 |
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1 |
3 |
5 |
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6 |
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1 |
3 |
1 |
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2) |
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1 |
3 |
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16 |
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1 |
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3 |
1 |
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4) |
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3 |
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6) |
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8) |
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10) |
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3 |
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1 |
8 |
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7 |
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2 |
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