Лекция (Интегралы)
.docИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.
Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .
Например, является первообразной для функции , так как .
Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции , где — некоторое число, являются первообразными для функции .
Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где — знак интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение. Таким образом,
где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.
Например, - первообразная для функции , то .
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е,
.
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
где — произвольное число.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
где — произвольное число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:
.
Пример . Найти .
Решение.
=.
Интегрирование заменой переменных (подстановкой).
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:
где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример. Найти .
Решение.
.
Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например,
Тогда
Пример . Найти .
Решение.
.
Интегрирование по частям.
Пусть и — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала
или
.
Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла
.
Пример . Найти .
Решение.
.
Пример . Найти .
Решение.
.
Пример. Найти .
Положим Тогда и Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь Тогда Следовательно,
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задан неотрицательная функция . Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс .
Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на . Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.
Понятие интегральной суммы. Пусть на задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками : .
На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции на .
Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .
Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что она равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллельной оси абсцисс.
Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где.
Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек ,... и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е.
.
При этом число называется нижним пределом, число — его верхним пределом; функция — подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении — интегрированием функции на отрезке .
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.
Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что . По определению положим
.
Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , где , численно равен площади под кривой на .
Теорема. (Достаточное условие существования определенного интеграла)
Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
-
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
-
Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.
-
Если на отрезке , то и
,
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и — любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.
Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .
Тогда справедливо следующее равенство
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
где .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .
Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле