ИНТЕГРАЛ РИМАНА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману.

§7.2 Верхние и нижние интегральные суммы.

§7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману.

§7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.

§7.5 Основные свойства интеграла Римана.

§7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируют неравенства.

§7.7 Интеграл как функция верхнего предела.

§7.8 Формула Ньютона-Лейбница.

§7.9 Общие приемы интегрирования.

§7.10 Некоторые приложения интеграла Римана.

§7.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО

РИМАНУ

Определение площади криволинейной трапеции.

Пусть на [a; b] задана неотрицательная непрерывная функция f(x). Перед нами стоит задача: разумно определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой y = f(x), осью x, прямыми x = a; x = b, и вычислить эту площадь. Эту задачу естественно решать следующим образом. Разобьем [a; b] на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xn = b, выберем

на каждом отрезке [xi; xi+1]; i = 0; : : : ; n 1, по произвольной точке i 2 [xi; xi+1] и составим сумму

n 1

X

Sn = f( i) xi; где xi = xi+1 xi :

i=0

119

y
6
	y = f(x)
	-
0 a=x0 0 x1 1 x2	: : : xn 2 xn=b	x

Сумма Sn называется интегральной суммой. Sn, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см.

рис.). Устремим все xi к нулю так, чтобы максимальный
(самый	большой)	отрезок разбиения стремился к нулю.
Если при этом величина Sn			стремится к	определенному
пределу	S, не	зависящему	от способов	разбиения и

выбора точек i, то естественно величину S назвать площадью нашей криволинейной трапеции. Таким образом,

						n 1
						X
		S =		lim		f( i) xi:
			max xi!0			i=0
	Определение интеграла Римана.
В	Пусть	a =	x0	<	x1		< : : : <			xn	= b.
	этом	случае	будем		говорить:			"Система			отрезков
	=	f[x0; x1]; [x1; x2]; : : : ; [xn 1; xn]g								называется
разбиением		отрезка	[a; b]"		(краткая			запись	этого		факта):
= (a = x0 < x1 < : : : < xn = b).								xi 1)		называется
	Величина d( )			=		1maxi n(xi
диаметром разбиения .
										[a; b] ! R
	Интегральной суммой Римана функции f								:
относительно разбиения называется сумма
					n
					X
		S = S (f) =				f( i)(xi xi 1);
					i=1
где i 2 [xi 1; xi].							[a; b] ! R называется
	Определение 1. Функция					f :

интегрируемой по Риману, если для любой последовательности

120

разбиений k(a = x(0k) < x(1k) < : : : < x(nkk) = b) такой, что d( k) ! 0, существует предел

nk

= lim Xf( i(k)

k!1

i=1

)(x(ik) x(ik)1)

при любом выборе i(k)

2

[xi(k)1; xi(k)]. Число

называется

интегралом Римана функции f по отрезку [a; b]

и обозначается

b

Ra

)dx

f(xЗамечание.

. Число в определении 1 не зависит от выбора

последовательности разбиений ( k).

интегрируема

и

Доказательство.

Пусть

f

( k);

( k0 )

–

две

что

последовательности

разбиений

отрезка

такие,

k

! ,

k

!

.

[a; b]

d(

)

0 d( 0 )

0

Образуем

новую

последовательность

разбиений

k00

=

1

1

2

2

. Очевидно,

что

k

!

. Тогда,

= (

; 0

;

; 0 ; : : :)

d( 00)

0

так как f интегрируема, должен существовать предел последовательности интегральных сумм

(S 00k ) = (S 1; S 01; S 2; S 02; : : :):

Но последовательности (S k ) и (S k0 ) являются подпосле-
довательностями	данной (сходящейся)	последовательности,
поэтому lim S k	= lim S k0 , что доказывает справедливость
k!1	k!1
замечания.
Дадим ещё одно определение интегрируемой функции.
Определение 2. Функция f : [a; b]		! R называется

b

интегрируемой по Риману и = R f(x)dx, если 8" > 0 9 >

a

0 8 (a = x0 < x1 < : : : < xn = b)(d( ) < ) jS j < ") при любых i 2 [xi 1; xi].

Утверждение. Определения 1 и 2 – эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что если f – интегрируема в

смысле определения 2, то она интегрируема по определению 1. Пусть ( k) – произвольная последовательность разбиений отрезка [a; b] такая, что d( k) ! 0: ) Существует N 2 N такое, что 8 k > N : d( k) < , где > 0 – произвольное

121

число. По		определению 2:				8" > 0	9 > 0 8 (d( ) <
)	jS j		<	").	Мы имеем			d( k) < , поэтому
jS k	j	<	"	для	8" > 0 и			8k > N. Последнее
означает,		что	lim S k		=	. Так		как последовательность
разбиений			k
		k – произвольная и все сказанное выше выполняется
при	любых i(k)			2	[xi(k)1; xi(k)], то			выполняются условия

определения 1, т. е. f интегрируема согласно определению 1. Доказательство того, что из интегрируемости f по определению 1 следует интегрируемость f по определению 2, будем вести от противного. Допустим, что f интегрируема по определению 1, но не интегрируема в смысле определения 2, т. е.

8 9" > 0 8 > 0 9 (d( ) < ; jS j "): ( )

Выберем последовательность чисел k ! 0. Тогда из ( ) следует:
9 последовательность разбиений ( k) такая, что d( k) < k
и jS k j " при 8 числе . Мы получили, что из
d( k) ! 0 не следует существование	k	k , что противоречит
	lim S

предположению интегрируемости f согласно определению 1. Таким образом, из определения 2 следует определение 1.

Примеры:

1. f(x) = ; x 2 [a; b]: Функция f будет интегрируема на [a; b]

b

и R dx = (b a), так как для любого разбиения (a = x0 <

a

n 1

x1 < : : : < xn = b) : S = P (xi xi 1) = (b a).

i=1

2. Пусть на [a; b] фиксировано конечное число точек c1; : : : ; cm. Тогда функция

i;	если x = ci;
f(x) = 0;	если x = ci;
	6

b

интегрируема на [a; b] и R f(x)dx = 0.

a

Доказательство. Используем определение 2. Положим K = max j jj и пусть " > 0 – произвольное число.

k

Выберем = "=2mK. Тогда, если разбиение такое,

122

что d( )

<

,

то

jS j =

j=1 f( j)(xj xj 1)

n

n

P

j

f( )

(x

j

x

j 1

)

< 2mK

"

=

" (здесь мы

учли,

P

j=1

что сумма содержит не более 2m членов, отличных от нуля).

b

Согласно определению 2, это означает, что R f(x)dx = 0.

Необходимое условие интегрируемостиaфункции по Риману. Теорема ( ). Если функция f : [a; b] ! R интегрируема на

[a; b], то она ограничена на [a; b].

Доказательство. Пусть, напротив, f не ограничена. Тогда

для произвольного разбиения (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) f не ограничена на некотором отрезке [xi0 1; xi0]. Пусть N > 0 – сколь угодно велико. Выберем i 2 [xi 1; xi] произвольным для i 6= i0, а затем выберем i0 так, что

j

f( i0)

j

>

N

+

f( i)(xi

xi 1)

1

:

xi0

xi0

1

i=i0

xi0 xi0 1

X

6

f( i)(xi

Тогда S

=

f( i0)(xi0

xi0 1) +

xi

1)

j

j

j

P

j

jf( i0)j(xi0

xi0 1) j

i6=i0

f( i)(xi xi 1)j > N. Таким образом,

P

i6=i0

f не интегрируема на [a; b], так как lim S k

не имеет конечного

значения.

k

Сообразуясь с теоремой ( ), мы будем рассматривать лишь

ограниченные на отрезке [a; b]

функции. Возникает

естествен-

ный вопрос: всякая ли ограниченная на отрезке [a; b] функция является интегрируемой на этом отрезке? Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не так. Рассмотрим функцию Дирихле

1;	если x	2	[a; b]	Q;
(x) = 0;	если x		[a; b]	Q:
		2		nT

Для любого разбиения (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) со сколь

123