§ 2.3 МОНОТОННЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Последовательность (xn) называется неубывающей (соответственно, невозрастающей), если

xn xn+1 (соответственно, xn xn+1). Последовательность (xn) называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема. Ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство. Пусть, например, (xn) не убывает и

ограничена. Тогда существует M = supfx1; x2; : : : g. Покажем, что xn ! M. Пусть U(M) = (a; b) – произвольная окрестность точки M, т. е. a < M < b. По определению точной верхней

грани найдется N такое,	что a < XN < M,	и тогда	(в
силу неубывания) xn 2	U(M); 8 n > N. Так	как U(M)
– любая окрестность точки M, то в качестве её мы можем
взять " - окрестность точки M. В результате мы получим:
8 " > 0; 9 N 2 N; 8 n > N : M " < xn < M + ",		т.		е.
xn ! M. Теорема доказана.

Определение 2. Предел числовой последовательности (xn), где xn = 1 + n1 n, называется числом e, т. е.

lim 1 +

1

n

= e:

n

Докажем, используя теорему об ограниченной и

монотонной

последовательности,

что

lim

1 +

1

n

существует.

Прежде

всего

докажем, что

=

n

1

n

является

xn

1 + n

1 n

1

n(n 1) 1

возрастающей: xn

=

1 + n

=

1 + nn

+

+

1

2

n2

n(n 1)(n 2) 1

n(n 1):::(n n+1)

1

1

1

+

+ : : :

1

2:::n

=

1 + 1 +

1

n

+

1

2 3

n3

nn

2!

n 1

+

1

1

1

1

2

+ : : : +

1

1

1

( 1

2

) : : : 1

; xn+1 =

3!

n

n

n!

n

n

n

= 1 + 1 +

1

1

1

+

1

1

1

1

2

+ : : :

2!

n

3!

n+1

n+1

+1

n

1

1

2

: : : +

1

1

: : :

1

. Из данной записи

(n+1)!

n+1

n+1

n+1

видно,

x

n+1

>

x

n.

Последовательность

x

n

ограничена

что

сверху:

x

n

< 2 +

1

+

1

+ : : : +

1

< 2 + 1

+

1

+ : : : +

1

< 3.

2!

3!

n!

2

n 1

2

2

2

30

Так как xn =

1 + n1

n

является неубывающей и ограниченной

lim x

существует.

сверху, то

n

cn

Пример. lim

= 0; (c > 0).

n!

cn

Доказательство. Обозначим xn

=

.

n!

Пусть c < 1. Тогда cn ! 0, в то же время

1

! 0: ) xn!0.

n!

Если

, то

и так как n! ! c , то

n ! .

c = 1

cn = 1

1

0

x

0

Пусть c > 1. Тогда xn+1 = xn

: ) Последовательность

n+1

xn будет

убывающей

как только

n

> c 1;

очевидно

также, что xn

ограничена снизу нулем. Отсюда, по теореме об

ограниченной и монотонной последовательности, следует, что

последовательность

xn

имеет предел: lim xn

= a. Для того

чтобы найти a, перейдем к пределу слева и справа в равенстве

xn+1 = xn

c

. Получим a = a 0: ) a = 0.

n+1

§ 2.4 КРИТЕРИЙ КОШИ

Определение 1.

Последовательность

называется

фундаментальной или последовательностью Коши, если

8 " > 0 9 N 2 N 8 n; m > N ( jxn xmj < ")

( )

или, что эквивалентно,

8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N 8 p 2 N ( jxn xn+pj < "): ( )

Замечание. Эквивалентность ( ) и ( ) почти очевидна. В условии ( ) не участвуют разности с одинаковыми номерами элементов и разности, отличающиеся

перестановкой элементов. Так	как	jxn xnj = 0;
jxn xmj = jxm xnj, то условия ( ), ( ) будут эквивалентными.
Теорема (критерий Коши).	Чтобы	последовательность

(xn) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть xn ! a. Тогда

фундаментальность (xn) следует из неравенства
	jxn xmj jxn aj + jxm aj; 8 n; m > N:
Достаточность.		Пусть	(xn) – фундаментальна.
Тогда	(xn) –	ограничена.	Действительно,	если	N
такое,	что jxn xmj <		1 (n; m >	N),	то
jxnj M = maxfjx1j; : : : ; jxN j; jxN+1j + 1g; n 2 N.				В	силу

31

следствия к теореме Вейерштрасса существует сходящаяся

подпоследовательность (xnk ). Пусть xnk ! a. Покажем, что
xn ! a. Для произвольного " > 0 существует N0	2 N такое,
что jxnk aj < "=2 (nk > N0). Пусть теперь N00	2 N такое,
что jxn xmj < "=2; (n; m > N00). Тогда для	n > N =
= maxfN0; N00g : jxn aj jxn xnk j+jxnk aj < ", если мы
выберем какое-либо nk > N.
Замечание. В отношении ( ) существенна произвольность

p: если, например, 8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N ( jxn xn+1j < "),

то последовательность (xn) может и расходиться.

Пример: последовательность (xn), где xn

= 1 + 1 + : : : +

2

n1 , – не сходится. Действительно, для неё не выполняются

условия

критерия

Коши: пусть

" = 1=2; N

–

произвольно,

n

=

N + 1; p

=

N + 1;

тогда

j

xN

x

N

+2j

=

1

1

1

1

+1

2

=

+ : : : +

>

(N + 1)

=

2. В то же время

N+2

2N+2

2(N+1)

8 " > 0 9 N 2 N (jxn xn+1j = n+11 < ").

§ 2.5 ПРЕДЕЛЫ В РАСШИРЕННОЙ

ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1.

Последовательность

(xn) называется

сходящейся к 1 в R

S

f1g, если 8 M > 0 9 N 2 N 8 n >

j

nj

, при

n

1

или x

n ! 1

N ( x

> M)

этом пишут: lim x

=

.

Замечание. lim xn = 1 означает, что всякая _ - окрестность

точки 1 является ловушкой (xn).

Определение 2.

Последовательность

(xn) называется

сходящейся к +

в R

, если

M > 0 N 2 N 8 n >

N (xn

> M), при1

этомSпишут:f 1g lim xn8= +1 или9 xn

! +1.

Аналогично определяется lim xn =

в R

.

Пример. Пусть xn

= ( 1)

n

(n 2

S. Тогда

n ! 1.

n 3

1

f 1g

x

p

N)

Однако xn 6!+1; xn 6! 1.

32

ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим расширенную числовую прямую R Sf 1g. Определение. Точка a 2 R Sf 1g называется верхним

(соответственно, нижним) пределом (xn), если

1.Существует подпоследовательность (xnk ) такая, что xnk !a.

2.Если подпоследовательность xmk ! b ((xmk ) отлична от подпоследовательности (xnk )), то b a (соответственно, b a).

При этом используются обозначения: a = limxn (соответственно, a = limxn).

Замечание. Последовательность (xn) может иметь только один верхний (нижний) предел.

Доказательство. Пусть a1 и a2 два верхних предела (xn) и

пусть a1 < a2. В этом случае существует подпоследовательность (xnk ), сходящаяся к a2, что противоречит тому, что a1 – верхний предел (xn). Аналогично проводится доказательство для нижнего предела.

Теорема 1. Для произвольной последовательности (xn) справедливы следующие утверждения:

1.Верхний и нижний пределы всегда существуют.

2.limxn limxn.

3.limxn = limxn тогда и только тогда, когда существует lim xn, при этом lim xn = limxn = limxn.

		Доказательство. Докажем свойство 1 в случае
ограниченной (xn). Выделим из (xn)				подпоследовательность
(xnk ), сходящуюся к некоторому числу, действуя следующим
образом. Пусть (xn) 0 = [c; d]. Далее, разделим 0 на
две равные части и обозначим через 1 самую правую из
них,		содержащую в себе 1 число элементов xn. Пусть xn1
–	один из элементов отрезка 1. Обозначим, далее, через
2	самую правую половину отрезка 1, содержащую в себе
1	число элементов xn. Очевидно, что среди элементов xn,
принадлежащих 2, найдется элемент xn2 с n2 > n1. Вообще,
если		отрезки 1 2	k 1	и	принадлежащие им
элементы xn1; : : : ; xnk 1			уже определены,		то обозначим через

33

k	самую правую половину отрезка k 1, содержащую в
себе 1 число элементов xn. Очевидно, что среди последних
найдется элемент xnk		с nk	> nk 1. Обозначим через a
точку, принадлежащую		всем	k (k = 1; 2; 3; : : : ). Для любой
" -	окрестности точки	a существует n 2 N такое, что
n	(a "; a + "): ) k (a "; a + ") для всех k n. ) Все
члены построенной последовательности (xnk ), начиная с номера
n, будут принадлежать (a "; a + "), что означает xnk ! a.

Покажем, что a = limxn. Пусть a0 > a. Подберем n настолько большим, что a0 оказывается правее n. Но правее n может быть только конечное число элементов xn, и, следовательно, не существует подпоследовательности последовательности (xn),

которая сходилась бы к a0. Таким образом, a = limxn.

Если процесс доказательства видоизменить, обозначая через n (для любого n) не самую правую, а самую левую половину n 1, содержащую 1 число элементов xn, то получим число a, равное нижнему пределу xn.

Замечание. Для любого " > 0 интервал (a "; a + "),

где a = limxn (a = limxn), содержит в себе бесконечное число элементов xn, при этом справа (слева) от этого интервала имеется более чем конкретное число элементов xn.

Доказательство. Можно указать такое n, что n

(a "; a+"). Но в n имеется 1 число элементов xn – тем более это справедливо для (a "; a + "). Правее n имеется не более чем конечное число элементов xn – тем более это справедливо для (a "; a + ").

Упражнения.

Завершить доказательство свойства 1, доказав его для следующих случаев.

Для верхнего предела:

1.(xn) – не ограничена сверху.

2.(xn) – ограничена сверху, но не ограничена снизу. Для нижнего предела:

1.(xn) – не ограничена снизу.

2.(xn) – ограничена снизу, но не ограничена сверху.

34

Литература: [2], § 3.7, с. 79.

Свойство 2 является простым следствием определений верхнего и нижнего пределов числовой последовательности. Докажем свойство 3. Если существует lim xn, то все подпоследовательности (xn) сходятся к нему, и поэтому имеет

место limxn = limxn = lim xn. Обратно, пусть limxn = limxn = a.

Если a – конечное число, то из limxn = limxn = a следует, что для любого " > 0 неравенства a " < xn < a + " соблюдаются для всех индексов n, за исключением конечного их числа, а

это значит, что xn ! a. Если теперь a = +1, то неравенству
xn M может при любом конечном M удовлетворять конечное
число элементов xn, но	тогда lim xn = +	1	. Аналогично
рассматривается случай	.

xТеорема 2. Справедливы следующие отношения:

1.limxn = lim( xn).

2.lim(xn + yn) limxn + limyn.

3.lim(xn + yn) limxn + limyn.a = 1

Доказательство. Справедливость равенства 1 следует непосредственно из определения верхнего и нижнего пределов. Докажем неравенства 2 и 3. Будем считать (xn) и (yn) ограниченными, так как в противном случае неравенства 2 и 3 выполняются очевидным образом (проверку этого факта предлагается провести самостоятельно).

Существует подпоследовательность (xnk							+ ynk )		такая,	что
lim(xn + yn) = lim(xnk + ynk ).			(xn)		–	ограничена			) (xnk )
– ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,
существует подпоследовательность (xnk0 ) (xnk )									такая,	что
существует	lim xnk0 . Подпоследовательность (xnk0 )								определяет
подпоследовательность (ynk0 ) (ynk ). Так как (yn)								– ограничена,
то (ynk0 ) – ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,
существует	подпоследовательность				(yn00)			(yn0 ) такая,
что существует lim ynk00. Но			так	как		k			k	то
						существует			lim xnk0 ,
существует lim xnk00. Поэтому lim(xnk00					+ ynk00) = lim(xnk00) + lim(ynk00).
(xnk00 + ynk00) (xnk + ynk ),		и	lim(xnk			+	ynk )		существует.
Следовательно, lim(xnk		+ ynk ) =		lim(xnk00 + ynk00)				=	lim(xnk00) +

35

+ lim(yn00)

yn. Последнее

доказывает

limxn +

lim

k

неравенство 2. Неравенство 3 является следствием

равенства

1

и

неравенства 2.

Действительно,

lim(xn

+

+yn) =

lim( xn yn)

(lim( xn) + lim( yn))

=

= limxn + limyn.

x

Пример.

xn = (2 + ( 1)n)n; n 2 N: n

limxn = +1; limxn = 0.

36