новая папка 1 / 242652
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.
СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Учебно-методическое пособие для практических занятий в вузах
Составители: А.П. Карпова, М.Н. Небольсина
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2012
1
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 30 ноября 2011 г., протокол № 0500-09
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Воронежского государственного архи- тектурно-строительного университета В.П. Трофимов
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического моделирования математического факультета Воронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов 4-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения математического факультета.
Для направлений: 010100 – Математика, 010200 – Математика. Прикладная математика; специальности 010101 – Математика
2
ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Интерполяция алгебраическими многочленами
|
1. 1. Постановка задачи интерполяции |
|
||
точкахПусть для функции |
. Запишем: , |
известны ее значения в (n + 1)-й |
||
эти значения функции |
в табл. 1.1. |
|||
, |
0, , |
|
|
Таблица 1.1 |
x
Далее будем считать, что выполнено условие
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Задача приближенного вычисления для заданной табл. 1.1 значения |
||||||||||||||
функции |
при |
, |
|
0, |
|
, |
называется задачей интерполяции |
|||||||
(распространения внутрь). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение этой задачи можно найти следующим образом: строится ал- |
||||||||||||||
гебраический многочлен степени не выше n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
принимающий в точках |
, |
, |
, |
|
те, же;значения, что; |
и, функция : |
(1.2) |
|||||||
|
; |
, |
, |
|
(1.1) |
|||||||||
Интерполяционным многочленом; , ( |
интерполянтой) для табл. 1.1 |
|||||||||||||
|
0, 1, |
|
, |
|
|
|
||||||||
называется многочлен (1.1) степени не выше |
, удовлетворяющий условию |
|||||||||||||
Точки |
|
называются узлами интерполяции. |
|
|
||||||||||
(1.2). Вычисление, ,значения, |
|
|
при |
, |
0, |
, |
по формуле |
(1.3) |
||||||
называется интерполяцией функции |
с помощью; |
алгебраического мно- |
||||||||||||
гочлена. |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1.1. Если |
|
|
, то вычисление |
|
с помощью (1.3) |
|||||||||
называют экстраполяцией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 1.1. Для табл. 1.1 интерполяционный многочлен существует |
||||||||||||||
и единственен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
, , |
Для табл. 1.1 с равноотстоящими узлами |
|
|
|
|||||||||||
введем в рассмотрение конечные разности функции ., |
||||||||||||||
0Обозначим |
|
, |
|
0, |
|
, . Величину. |
|
|
|
|
|
∆∆
назовем конечной разностью первого порядка функции в точке
.
3
|
Конечной разностью второго порядка функции в точке |
|
назо- |
|||||||||||||||||||
вем величину |
|
∆ ∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если известны конечные |
разности m-го порядка, то конечная раз- |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
определяется как, |
|
|
||||||||||||||
ность |
|
|
1 -го порядка функции |
|
|
в точке |
|
|
||||||||||||||
где |
|
|
∆ |
|
. |
|
∆ |
|
|
∆ ∆ |
∆ |
∆ |
|
|
||||||||
|
|
1,∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1.2. При малых |
|
|
|
|
|
|
справедлива прибли- |
||||||||||||||
женная формула |
|
|
|
|
∆ |
|
. ∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для табл. 1.1 можно построить∆ |
таблицу конечных разностей (табл. 1.2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечные разности |
|
|
|
|
|
||||||
Узлы |
|
0 |
-го |
|
|
1 |
-го |
|
|
2 |
-го |
|
|
|
1 |
-го |
|
|
-го |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
порядка |
|
порядка |
|
порядка |
|
|
|
порядка |
|
порядка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Число |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
стей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
разно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенной степенью |
числа |
|
называется произведение |
сомно- |
|||||||||||||||||
жителей: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
1 , |
|
1. |
|
. |
|
||||
|
∆ |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
∆ |
0 при |
. |
|
|||||||
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∆ |
|
при |
|
||||||||
|
|
|
1.2. Первая интерполяционная формула Ньютона |
|
|
|||||||||||||||||
|
Пусть для функции |
|
|
|
|
заданы значения |
|
|
для равно- |
|||||||||||||
отстоящих |
значений |
независимой |
|
переменной: |
|
|
|
|
0,1, |
|||||||||||||
2,…, |
, где – шаг интерполяции. Требуется подобрать полином |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
степени не выше , принимающий в точках |
значения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия (1.4) эквивалентны |
тому0,1,2,, |
…, . |
|
|
|
∆ |
|
(1.4) |
|||||||||
= 0,1,2,…, |
|
|
|
|
|
|
что |
∆ |
|
|
|
|
при |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. Следуя Ньютону, будем искать |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полином в виде |
|
|
|||||||
|
Пользуясь обобщенной степенью, последнее |
выражение запишем так: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
… |
|
. |
||||||||||||
|
Наша задача состоит в определении коэффициентов. |
|
(1.5) |
|||||||||||||||
2,…, |
|
0,1, |
||||||||||||||||
полинома |
. Полагая |
|
|
|
в выражении (1.5), получим |
|||||||||||||
Чтобы найти коэффициент , составим.первую конечную разность |
||||||||||||||||||
|
|
∆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая в последнем выражении |
|
|
, получим. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
, откуда |
|
∆ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
этот процесс, |
! |
|
обнаружим, |
что |
||||||||||
|
Последовательно |
продолжая |
|
мы |
||||||||||||||
|
∆ |
0,1,2,…, |
, где |
0! 1 |
и |
∆ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
в выражение |
||
|
! |
|
|
|
коэффициентов |
|
|
|||||||||||
|
Подставляя найденные значения |
|
|
. (1.6) |
||||||||||||||
(1.5), получим интерполяционный полином Ньютона |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∆! |
|
∆! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆! |
|
|
Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого
введем новую переменную |
по формуле |
|
. |
|
|
||||
Получим |
|
|
|
|
∆ |
! |
∆ |
|
|
… ∆ , (1.7)
!
где |
|
представляет собой число шагов, необходимых для достиже- |
|
|
|||
ния точки |
исходя из точки . Это и есть окончательный вид первой ин- |
||
терполяционной формулы Ньютона. |
|
||
Формулу (1.7) выгодно использовать для интерполирования функции |
|||
|
в окрестности начального значения , где мало по абсолютной |
||
величине. |
|
1. , то получим формулу линейно- |
|
Если в формуле (1.7) положить |
|||
го интерполирования: |
|||
При |
будем иметь формулу∆параболического, или квадратич- |
ного, |
интерполирования: |
∆ |
|
∆ |
. |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона
имеет вид
… |
, |
где – некоторое промежуточное значение! |
между узлами интерполирова- |
ния , ,…, и рассматриваемой точкой .
1.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае
обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона. |
|
|||||
Пусть имеем систему значений функции |
. |
0,1,2,…, |
||||
для равноотстоящих значений аргумента |
||||||
Построим интерполирующий полином следующего вида: |
|
|||||
Или, используя обобщенную степень, получаем |
… |
. |
||||
линома |
. |
|
|
|
0,1,2,…, |
по- |
Наша задача состоит в определении коэффициентов . |
|
|||||
|
|
∆ |
0,1,2,…, |
. |
|
|
Подставляя эти значения, получим! |
|
|
|
∆∆
|
∆ |
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
(1.9) |
|
|
! |
∆ |
|
|
|
|
. |
|
|
Это вторая |
интерполяционная формула Ньютона. Введем более |
|||||||||
|
… |
! |
|
|
… |
|
. Получим |
|
||
удобную запись формулы (1.8). Пусть |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
∆ |
|
! |
∆ |
|
|
|
…! |
∆ . |
Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Нью-
тона.
Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона
имеет вид
… |
! |
, |
|
|
где – некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования , , …, и рассматриваемой точкой .
Замечание. 1.3. Как первая, так и вторая, обе интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функ-
6
ции, т.е. нахождения значений функции |
для значений аргументов |
, ле- |
|||
жащих вне пределов таблицы. Если |
и близко к , то применяют |
||||
первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда |
|
< 0. |
|||
|
|||||
Если |
и близко к , то применяют вторую интерполяционную |
||||
формулу Ньютона, причем тогда |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1.4. Центральные разности |
|
|||
При |
построении интерполяционных формул Ньютона используются |
лишь значения функции, лежащие по одну сторону от выбранного начального значения, т.е. эти формулы носят односторонний характер.
Введем понятие центральных разностей. Это разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной
функции, соответствующей начальным значениям |
|
и |
, или в строках, |
||||||||||||||||||
непосредственно примыкающих к ней. Это разности |
∆ |
, |
∆ |
, |
∆ |
, … в |
|||||||||||||||
табл. 1.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. Интерполяционные формулы Гаусса |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пусть имеется 2 |
, |
1 равноотстоящих узлов интерполирования |
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
, , , |
, |
, |
|
|
, |
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
и для функции |
|
известны ее значения, |
|
|
этих узлах |
1 |
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
∆ |
|
в |
1 , |
. |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
0, |
1, |
|
|
, |
|
|
|
2 |
такой, что |
||||||
|
|
Требуется построить полином |
степени не выше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
0, |
1, |
|
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Будем искать этот полином в виде |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Применяя для вычисления коэффициентов |
|
|
Ньютона, |
|
тот же |
|||||||||||||||||||||||||||||
способ, что и при выводе интерполяционных формул |
0,1, |
|
, |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
формулу ∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
, последовательно находим: |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
∆ |
, ∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
∆ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|
|
|
||||
|
Далее, введя,переменную, |
|
|
|
и сделав, |
замену, получим. |
первую |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционную формулу Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
4! |
|
1 |
|
2 |
|
∆ |
|
2! |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
5! 3! |
1 |
|
|
2 |
|
∆ |
(1.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
||||||||||||||||
|
Первая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
интерполяционная формула Гаусса содержит центральные |
||||||||||||||||||||||||||||||||
разности |
|
∆ |
|
, |
∆ |
, |
|
|
∆ |
, ∆ |
|
, |
∆ |
, |
∆ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Аналогично |
можно |
|
получить вторую интерполяционную формулу |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
1 |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1∆ |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
1 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 ! |
|
|
|
∆ |
|
|
|
(1.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в которую входят центральные разности! |
|
|
∆ |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
, ∆ |
|
|
|
|
, ∆ |
, ∆ |
|
, ∆ |
, ∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Интерполяционная формула Стирлинга
Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных
формул Гаусса, получим формулу Стирлингa |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
· |
∆ |
2 |
∆ |
2 |
∆ |
|
3! 1 |
· ∆ |
|
2 ∆ |
||
4! |
1 |
∆ |
|
1 |
5! |
2 |
· |
∆ |
2 |
∆ |
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
2 |
|
∆ |
1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
! |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∆ |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
при |
|
используемой разности таблицы и |
||||||||||||||||||||||||||
|
Если |
|
порядок максимальной |
|
|
0, |
|
1, |
|
, . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Стирлинга,2 |
|
|
, то остаточный |
|
|
член |
интерполяционной |
формулы |
||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
, |
||||
Если же, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
аналитическое, |
выражение. |
|
|
функции |
|
|
|
неизвестно, то при |
||||||||||||||||||||||||||
малом полагают |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Интерполяционная формула Бесселя |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Для вывода этой формулы воспользуемся второй интерполяционной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулой Гаусса. |
2 равноотстоящих узлов интерполирования |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Возьмем 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
с шагом |
|
, и пусть |
, |
|
|
|
, , |
|
|
, |
|
|
, |
, |
|
, , |
1 |
|
|
заданные значения |
||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
.начальные значения |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
части |
Выберем за |
|
|
|
|
|
|
, |
|
1 |
|
и используем узлы |
||||||||||||||||||||||||
|
|
0, |
1, |
, |
|
, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Заменим |
в правой |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
формулы Гаусса |
|
на |
|
|
и, увеличив индексы всех разностей на 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
получим вспомогательную |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 ∆ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∆ |
|
|
|
2! |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3! |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∆ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
∆ |
|||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
Взяв среднее арифметическое этой формулы и формулы Гаусса, получим формулу Бесселя
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∆ |
|
|
|
1 |
|
|
· |
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 3! |
|
1 |
|
∆ |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
4! 1 |
2 |
|
|
2 |
· ∆ |
2 ∆ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
26! 2 |
2 |
|
2 |
|
3 |
· |
∆ |
1 |
|
2∆∆ |
|
|
∆ |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
2 |
|
|||
где |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
1 ! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∆ |
, |
||
Если . |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
порядок максимальной используемой разности табли- |
|||||||||||||||||||||||||||||
цы и |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
то остаточный член интерполяционной |
|||||||||||||||||||||
формулы Бесселя, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
n 1 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
задана, |
таблично, |
|
1мал,.то принимают |
|
|||||||||||||||||||||
|
Если же функция |
|
|
и шаг |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
Замечание 1.4. При построении |
интерполяционных формул Ньютона |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в качестве выбирают первый или последний узел, для центральных фор-
мул начальным является средний. При |
|
целесообразней приме- |
|
нять формулу Стирлинга, а при |
0,25 |
0,75 |
|
|
| | |
0,25Бесселя. |
2. Интерполяция сплайнами
2.1. Понятие сплайна
Возникает задача построения локального интерполянта, являющегося гладкой функцией на всем отрезке , . Эта задача решается с помощью сплайнов.
Термин сплайн (англ. spline) имеет техническое происхождение. Первоначально сплайнами называли длинные гибкие деревянные рейки, использовавшиеся английскими кораблестроителями для вычерчивания дета-
10