новая папка 1 / 673188

Если в каждой точке кривой направление l не является касательным к кривой и касательное направление к кривой не является характеристическим, то в области D , ограниченной характеристиками, проходящими через концы кривой , при достаточной гладкости коэффициентов уравнения (1) и данных условий (7) существует единственное решение задачи Коши (1), (7).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Пример 5. Найти решение уравнения

uxx 2uxy 3uyy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y 0	3x2	, uy	y 0	0 .

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Так как уравнение принадлежит гиперболическому типу, то замена переменных находится как решение уравнений

dy 3dx 0 , dy dx 0 .

Введем новые независимые переменные 3x y, x y.

В силу того, что замена линейная и уравнение не содержало производных первого порядка, после приведения к каноническому виду получим u 0 . Найдем общее решение этого уравнения

(u ) 0 u c( ).

u( , ) c( )d ( ) , u( , ) ( ) ( ) .

Итак, u(x, y) (3x y) (x y) .

11

Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные усло-

вия

			2	,		(3x) (x) 3x
(3x) (x) 3x
							1	(3x) (x)
(3x) (x) 0;							3
		4	(3x) 3x2 c ,
		3

(3x) 94 x2 34 c ,

(t) t2 3c ; 4 4

(x) 34x2 34c .

2 ,

c;

Получим решение задачи
			u(x, y) (3x y)2			3c	3(x y)2		3c	3x2	y2 .
			4			4	4		4
Пример 6. Найти решение уравнения
x2uxx 2xyuxy 3y2uyy 0 ,
удовлетворяющее начальным условиям
u		y 1 0 ,	uy		y 1 4 x7 , x 0 .

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Решим уравнения:

x2 dy 3xydx 0 , x2 dy xydx 0 .

Введем новые независимые переменные x3 y, xy .

Пересчитаем частные производные:

12

u

x

u

x

u

x

3x2 yu

1

u ;

y

u

y

u

y

u

y

x3u

x

u

;

y2

u

u

2

2u

u

2 u

u

9x4 y2u

6x2u

1

u

y2

xx

x

x

x

x

xx

xx

6xyu ;

2

2

6

x4

x

2

u

u

2u

u

u

u

x

u

2

u

u

y2

yy

y

y

y

y

yy

yy

y4

2x

u

;

y3

u

xy

u

x

y

u (

y

x

) u

y

u

xy

u

xy

3x5 yu

x

y

x

2x3

u

x

u 3x2u

1

u .

y3

y2

y

Подставим полученные выражения в исходное уравнение

x2u

xx

2xyu

xy

3y2u

yy

9x6 y

2u

6x4u

x2

u

6x3 yu

6x6 y2u

y2

4x4u

2x2

u

6x3 yu 2x u

3x6 y2u

6x4u

3x2

u

6x u

y2

y

y2

y

16x4u 4yx u .

Зная, что x3 y, канонический вид уравнения: u 41 u 0 .

Решение будем искать в виде

1

u( , ) ( ( ) ( ))v( ) , где v( ) 4 .

Следовательно, u(x, y) 4 x3 y ((x3 y) ( xy )) .

Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные усло-

вия

13

																		4 x3 ((x3 ) (x)) 0,
		3																	3				3													3					7
1	x				(x			3	)					1			x							3								3	) x
		4																	4				4													4					4
															4				(x) x					x			(x											x		(x) x		;
4
		3		x		1					(x			3		)			3		x	1							2				3				3			3
						4																4 (x) 3x									x4 (x							) x4 (x) 0,
		4																	4
						3															3				3														3				7
		1				4	(x						3	)					1		4		x		4			3						3	)	x			4	x (x)	x		4	;
		4		x															4	x		(x)				x				(x
			3								3						3						3					3
			4		(x							)					4 (x) 3x							(x						) x						(x) 0,
		3							3							3						3				3					3x (x) 3x;
		4		(x						)						4		(x) 3x					(x				)

(x) 34 x c ,(x3 ) 34 x c ,

1

(t) 34t 3 c .

Получим решение задачи

		u(x, y) 3 4 x7 y ( 3 y						1	)) .
4								y
		Пример 7. Найти решение задачи Коши для уравнения
		y 2uxy u yy		2			u y 0 ,
				y
в полуплоскости y 0 , удовлетворяющее начальным условиям
u		y 1 1 х,	u y			y 1 3 .
		Решение. Найдем общее решение уравнения. Характеристическое
уравнение y 2 dxdy (dx)2								0		распадается на два уравнения dx 0 и
y 2 dy dx 0 ,			для которых							x C и 3х y3 C являются общими инте-

14

гралами. Следовательно, в уравнении нужно сделать замену переменных

x

и

3x y 3

.

Тогда

u y 3y 2u ,

u

xy

3y 2u

9 y 2u

, u

yy

9 y 4u

6 yu

и уравнение приводится к канониче-

скому виду u

0 . Интегрируя это уравнение, находим

u f ( ) g( ) f (x) g(3x y3 ) .

Теперь воспользуемся начальными условиями:

f (x) g(3x 1) 1 x ,
	(3x 1) 3 .
3g
Решая эту систему, получаем	f (x) 2x C ,	g(x) x C .	Следова-
тельно, решением задачи является функция u(x, y) 2x C ( 3x y3			C), т.е.

u(x, y) y3 x .

15

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ»

В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения:

1. uxx 2uxy 3uyy uy 0 ;

2. uxx 6uxy 10uyy ux 3uy 0 ;

3.4uxx 4uxy uyy 2uy 0 ;

4.uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0 ;

5.uxx 4uxy 5uyy ux 2uy 0 ;

6.uxx 2uxy uyy ux uy cu 0 ;

7.uxx xuyy 0 ;

8.uxx yuyy 0 ;

9.xuxx yuyy 0 ;

10.yuxx xuyy 0 ;

11.x2uxx y2uyy 0 ;

12.y2uxx x2uyy 0 ;

13.y2uxx x2uyy 0 ;

14.(1 x2 )uxx (1 y2 )uyy yuy 0 ;

15.4 y2uxx e2 xuyy 0 ;

16.uxx 2sin xuxy (2 cos2 x)uyy 0 ;

17.(1 x2 )uxx uyy 2x(1 x2 )ux 0 ;

16

18.uxx (1 y2 )uyy 2 y(1 y2 )uy 0 ;

19.uxx yuyy 2ux 2uy 0 ;

20.yuxx uyy 0 ;

21.y2uxx 2 yuxy uyy 0 ;

22.x2uxx 2xuxy uyy 0 ;

23.xy2uxx 2x2 yuxy x3uyy y2ux 0 ;

24.uxx 2sin xuxy cos2 xuyy cos xux 12 sin 2xuy 0 ;

25.sin2 xuxx 2 y sin xuxy y2uyy 0 .

17

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

ТИПА»

1. Найти решение уравнения uxy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y x	2 0 , uy	y x	2		x		.
2.
		Найти решение уравнения

uxy ux 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y x sin x ,	ux		y x 1.

3. Найти решение уравнения

uxx uyy 2ux 2uy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y 0	x , uy	y 0	0 .
4.
		Найти решение уравнения

uxx uyy 2ux 2uy 4 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		x 0 y ,	ux		x 0 y 1.

5. Найти решение уравнения

uxx 2uxy 3uyy 2 ,

удовлетворяющее начальным условиям u y 0 0 , uy y 0 x cos x .

6. Найти решение уравнения

18

uxx yux xuy xyu 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y 3x	0 , uy		e 5 x2 .
					y 3x

7. Найти решение уравнения

xuxx uyy 12 ux 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y 0	x , uy	y 0	0 .

8. Найти решение уравнения xuxy yuyy uy 2x3 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y x sin x ,	ux		y x cos x .

9. Найти решение уравнения xuxx (x y)uxy yuyy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		y 1 x		x3 ,	u	x		y 1/ x	2x2 .
10.Найти решение уравнения
uxx			2(1 2x)uxy 4x(1 x)uyy 2uy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		x 0 y ,	ux		x 0 2 .

11.Найти решение уравнения x2uxx y2uyy 2 yuy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u		x 1 y ,	ux		x 1 y .

12.Найти решение уравнения

19

u

xx

4x2u

yy

1 u

x

0 ,

x

удовлетворяющее начальным условиям

u

x 1

y2 1,

u

x

x 1

4 .

13.Найти решение уравнения

4 y2u

xx

2(1 y2 )u

xy

u

yy

2 y

(2u

x

u

y

) 0 ,

1

y2

удовлетворяющее начальным условиям

u

y 0 0 (x) ,

uy

y 0 1 (x) .

14.Найти решение уравнения

(1 x2 )uxx (1 y2 )uyy xux yuy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u

y 0 0 (x) ,

uy

y 0 1 (x) .

15.Найти решение уравнения

uxx

2cos xuxy

sin2

xuyy

sin xuy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u

y sin x

0 (x) ,

uy

y sin x 1 (x) .

16.Найти решение уравнения

uxx 4uxy 5uyy ux uy 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

u

y

0

f (x) ,

uy

y 0

F (x) .

20