новая папка 1 / 673188
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие
Составитель П.В. Садчиков
Воронеж Издательский дом ВГУ
2017
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
23 марта 2017 г., протокол № 0500-03
Рецензент – д-р физ.-мат. наук, профессор А.Д. Баев
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендовано для студентов 1–4-го курсов математического факультета.
Для направлений: 01.03.01 – Математика, 01.04.01 – Математика
2
ВВЕДЕНИЕ
В данном пособии излагается суть метода характеристик решения уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, дается подробный алгоритм приведения к каноническому виду уравнений второго порядка разных типов, рассматривается задача Коши для уравнения гиперболического типа. Пособие содержит краткое теоретическое обоснование, примеры решения задач и контрольные задания, используемые на практических занятиях.
3
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя
независимыми переменными имеет следующий вид |
|
|
a(x, y)uxx (x, y) 2b(x, y)uxy (x, y) c(x, y)uyy |
(x, y) |
(1) |
F (x, y,u(x, y),ux (x, y),uy (x, y)) 0, |
|
|
|
|
где a(x, y),b(x, y),c(x, y) – функции, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.
Уравнение (1) в точке (x, y) принадлежит гиперболическому типу, ес-
ли дискриминант b2 ac 0 ; эллиптическому типу, если b2 ac 0 ; пара-
болическому типу, если b2 ac 0 .
Чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, нужно соста-
вить уравнение характеристик
a(dy)2 2bdxdy c(dx)2 |
0 , |
(2) |
||
которое распадается на два уравнения: |
|
|
|
|
ady (b |
b2 |
ac )dx 0 , |
(3) |
|
ady (b |
b2 |
ac )dx 0 , |
(4) |
|
и найти их общие интегралы. |
|
|
|
|
В случае уравнений гиперболического |
типа |
общие интегралы |
(x, y) c1 , (x, y) c2 уравнений (3) и (4) будут вещественными и различными; они определяют два различных семейства вещественных характеристик. Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные ( , ) :(x, y), (x, y) , приведем уравнение (1) к каноническому виду. Причем предполагается, что якобиан преобразования (x, y), (x, y) от-
4
личен от нуля, т.е. x (x, y) y (x, y) y (x, y) x (x, y) 0 . Говорят, что уравнение (1) приведено в новых переменных ( , ) к каноническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае
u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0
или
u ( , ) u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0 .
В случае уравнения эллиптического типа общие интегралы уравнений (3) и (4) – комплексно сопряженные; они определяют два семейства мнимых характеристик.
|
Пусть общий интеграл уравнения (3) имеет вид (x, y) i (x, y) c, |
||||
где |
(x, y), |
(x, y) – вещественные функции. |
Тогда, полагая |
||
(x, y), (x, y) , приводим уравнение (1) к каноническому виду |
|||||
|
u ( , ) u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0 . |
||||
|
В случае уравнений параболического типа уравнения (3) и (4) совпа- |
||||
дают, |
поэтому |
мы |
получаем |
один общий интеграл |
уравнения (2): |
(x, y) c . Положим |
(x, y), |
а в качестве второй функции (x, y) |
можно взять, вообще говоря, любую гладкую функцию (x, y) , обеспечивающую отличие от нуля якобиана преобразования (x, y), (x, y) . Говорят, что уравнение (1) приведено в новых переменных ( , ) к каноническому виду, если оно имеет вид в параболическом случае
u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0
или
u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0 .
5
ПРИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение uxx 2cos xuxy (3 sin2 x)uyy yuy 0 .
Решение. Так как b2 ac cos2 x 3 sin2 x 4 , то исходное уравнение принадлежит гиперболическому типу. Составим уравнения характеристик:
ady (b b2 ac )dx dy ( cos x 2)dx 0
ady (b b2 ac )dx dy (cos x 2)dx 0 .
Проинтегрируем данные уравнения и получим
2x sin x y c1 , 2x sin x y c2 .
Введем новые независимые переменные
2x sin x y,2x sin x y.
Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение:
u |
x |
u |
|
x |
u |
x |
(2 cos x)u |
|
(2 cos x)u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
y |
u |
y |
u |
y |
u u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
xx |
u |
|
|
x |
2 |
2u |
|
|
u |
|
2 |
u |
xx |
u |
xx |
(2 cos x)2 u |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2(2 cos x)(2 cos x)u |
(2 cos x)2 u |
|
sin xu |
sin xu ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
yy |
u |
|
2 |
2u |
|
u |
2 |
u |
yy |
u |
yy |
|
u |
2u |
|
u ; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
xy |
u |
|
|
x |
|
y |
u |
|
|
( |
y |
|
x |
) u |
y |
u |
xy |
u |
(2 |
cos x)u |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
2cos xu (2 cos x)u .
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
6
uxx 2cos xuxy (3 sin2 x)uyy yuy (2 cos x)2 u
2(2 cos x)(2 cos x)u (2 cos x)2 u sin xu sin xu 2cos x( (2 cos x)u 2cos xu (2 cos x)u )
(3 sin2 x)(u 2u u ) y(u u )
16u (sin x y)u (sin x y)u 16u (sin x y)(u u ).
Зная, |
что |
2x sin x y, |
2x sin x y , |
находим |
sin x y 2 . Следовательно, канонический вид исходного уравнения:
u (u u ) 0 . 32
Пример 2. |
Привести к каноническому виду уравнение |
|
|
y2uxx 2xyuxy 2x2uyy yuy 0 . |
|
|
|
Решение. |
Определим |
тип |
уравнения: |
b2 ac x2 y2 2x2 y2 x2 y2 0 . Следовательно, |
уравнение |
принадлежит |
|
эллиптическому типу. Составим уравнение характеристик: |
|
||
|
y2dy (xy ixy)dx 0 , |
|
|
|
ydy (x ix)dx 0 . |
|
Получим общий интеграл последнего уравнения: x2 y2 ix2 c . Таким образом, новые независимые переменные будут выглядеть сле-
дующим образом: x2 y2 , x2. Посчитаем частные производные:
ux u x u x 2xu 2xu ; uy u y u y 2 yu ;
u |
xx |
u 2 |
2u |
x |
u 2 |
u |
xx |
u |
xx |
4x2u |
8x2u |
4x2u |
|
|||
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2u 2u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
yy |
u |
2 |
2u |
y |
u 2 |
u |
yy |
u |
yy |
4 y2u |
2u ; |
|
|
||
|
|
y |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
7
u |
xy |
u |
|
y |
u |
|
( |
y |
|
|
x |
) u |
|
y |
u |
xy |
u |
4xyu |
|
4xyu . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Подставим |
полученные |
выражения |
в |
исходное |
уравнение: |
||||||||||||||||||||||||||
y2u |
xx |
2xyu |
xy |
2x2u |
yy |
yu |
y |
y2 |
(4x |
2u |
|
8x2u |
4x2u |
2u |
2u ) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2xy( 4xyu |
|
4xyu |
|
|
|
|
) 2x2 (4 y2u |
2u ) y( 2 yu |
) 4x2 y2u |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4x2 y2u |
|
4x2u 2 y2u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что y2 , |
x2 . Значит, |
канонический вид исходно- |
|||||||||||||||||||||||||||||
го уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
1 |
|
u 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Пример 3. |
Привести к каноническому виду уравнение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
tg2 xuxx |
2 y tg xuxy y2uyy tg3 xux 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
Так как b2 ac y2 tg2 |
x y2 tg2 x 0 , то исходное уравне- |
ние принадлежит параболическому типу. Уравнение характеристик выглядит следующим образом:
|
|
|
|
|
|
tg2 xdy y tg xdx 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg xdy ydx 0 . |
|||||
|
|
Проинтегрируем данное уравнение и получим: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
y |
|
ln |
|
sin x |
|
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Положим y sin x . В качестве второй функции возьмем функцию |
||||||||||||
y , |
обеспечивающую |
отличие от нуля якобиана преобразования |
||||||||||||
(x, y), (x, y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пересчитаем частные производные: |
||||||||||||
u |
x |
u |
x |
u |
y cos xu ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
y |
u |
y |
u |
sin xu u ; |
|||||||||
|
|
y |
|
|
8
uxx u x2 2u x x u x2 u xx u xx y2 cos2 xu y sin xu ;
u |
yy |
u |
|
|
2 |
2u |
|
u |
|
y |
2 u |
|
yy |
u |
yy |
sin2 xu |
|
2sin xu |
u ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
u |
xy |
u |
|
x |
|
y |
u |
( |
|
|
x |
) u |
|
u |
xy |
u |
y sin x cos xu |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
y |
|
x y |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y cos xu |
cos xu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Подставим |
|
|
полученные |
|
выражения |
в |
исходное |
|
уравнение |
||||||||||||||||||||
tg2 xu |
xx |
2 y tg xu |
xy |
y2u |
yy |
tg3 xu |
x |
tg2 |
x( y2 cos2 xu |
y sin xu |
) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 y tg x( y sin x cos xu |
y cos xu |
cos xu |
) y2 (sin2 xu |
2sin xu |
u |
) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3 xy cos xu |
y2u |
|
2 y sin xu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная, что y sin x , |
|
y , находим канонический вид |
уравнения: |
u 2 2 u 0 .
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Метод приведения уравнения второго порядка (1) к каноническому виду и решение полученного при этом уравнения носит название метода характеристик. Рассмотрим пример решения уравнения параболического типа.
Пример 4. Найти общее решение уравнения:
x2uxx 2xyuxy y 2u yy xux yuy 0 .
Решение. Заданное уравнение имеет параболический тип (так как
дискриминант уравнения равен нулю: b2 ac x2 y2 x2 y 2 |
0 ) |
и заменой: |
xy, x, u(x, y) v( , ) |
|
(5) |
приводится к виду:
v v 0
или
9
( v ) 0 .
Проинтегрируем последнее равенство и получим
v 1 ( )
или
v |
|
1 |
( ) |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||
где 1 ( ) – произвольная функция. Проинтегрировав еще раз, получим |
|
||||
v( , ) 1 ( ) ln 2 ( ) , |
(6) |
||||
где 2 ( ) – произвольная функция. |
|
|
|
|
|
Вравенстве (6) вернемся к старым переменным, учитывая замену (5).
Врезультате получим общее решение заданного уравнения:
u(x, y) 1 (xy) ln x 2 (xy) ,
где 1 , 2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Задача Коши для уравнения (1) с условиями
u |
|
|
u0 |
(x, y) , |
u |
|
u1 (x, y) |
(7) |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
l |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение (1) гиперболического типа и на кривой , которая принадлежит области D или является частью границы области D , заданы функции u0 (x, y) , u1 (x, y) и направление l(x, y) . Требуется найти функцию u(x, y) , которая в области D является решением уравнения (1) и на кривой удовлетворяет условиям (7).
10