новая папка 1 / 233232

типа «очень», «НЕ», «слегка» и др. Например: «малая или средняя скорость», «очень высокая скорость» и др; M – процедура задания на Х=[0, 100] нечетких переменных α1 = «малая скорость», α2 = «средняя скорость», α3 = «высокая скорость», а также соответствующих нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «И», «ИЛИ», «НЕ», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: А В, А В, A и т.п.

Для рассматриваемого примера нечеткие множества А1, А2, А3, соответствующие нечетким переменным: α1 = «малая скорость», α2 = «средняя скорость», α3 = «высокая скорость», удобно задать графически с помощью кусочно-линейных функций принадлежности (рис. 2, а, б, в).

Рис. 2. График функций принадлежности нечетких множеств А1, А2, А3

4. Нечеткие лингвистические высказывания

Нечеткие лингвистические высказывания (или просто нечеткие высказывания) имеют фундаментальное значение в контексте современной нечеткой логики. Нечетким лингвистическим высказыванием будем называть высказывания следующих видов.

1. Высказывание «β есть α», где β – наименование лингвистической переменной, α – ее значение, которому соответствует отдельный лингвистический терм из базового терм-множества Т лингвистической переменной β.

8

2.Высказывание «β есть α», где – модификатор, соответствующий таким словам, как: "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "MHOГO БОЛЬШЕ" и другим, которые могут быть получены с использованием процедур G и М данной лингвистической переменной.

3.Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1 и 2

инечетких логических операций в форме связок: "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ-ТО", "НЕ".

Пример. Рассмотрим некоторые примеры нечетких высказываний. Первое из них – «скорость автомобиля высокая» представляет собой нечеткое высказывание первого вида, лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая». При этом предполагается, что на универсальном множестве Х переменной «скорость автомобиля» определен соответствующий лингвистический терм «высокая», который задается в форме функции принадлежности некоторого нечеткого множества (например, рис. 2в).

Нечеткое высказывание второго вида «скорость автомобиля очень высокая» означает, что лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая» с модификатором «ОЧЕНЬ», который изменяет значение соответствующего лингвистического терма «высокая» на основе использования операции концентрации CON(A) нечеткого множества A для терма «высокая».

Нечеткое высказывание второго вида «скорость автомобиля более или менее высокая» означает, что лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая» с модификатором "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", который изменяет значение соответствующего лингвистического терма «высокая» на основе использования операции растяжения DIL(A) нечеткого множества A для терма «высокая».

Ниже на рис. 3. изображен пример функции принадлежности терммножества «средняя» лингвистической переменной «скорость автомобиля» (а)

9

и определение значений функций принадлежности этого же терм-множества для модификаторов "ОЧЕНЬ" (6) и "БОЛЕЕ МЕНЕЕ" (в).

а

б

в

Рис.3. Применение модификаторов «ОЧЕНЬ» и «БОЛЕЕ МЕНЕЕ» к терму «средняя скорость»

Наконец, нечеткое высказывание третьего вида «скорость автомобиля высокая и расстояние до перекрестка близкое» означает, что одной лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая», а другой лингвистической переменной «расстояние до перекрестка»– «близкое». Эти нечеткие высказывания первого вида соединены логической операцией нечеткая конъюнкция (операцией нечеткое "И").

10

5. Системы нечеткого вывода. Основные этапы нечеткого

вывода

Системы нечеткого вывода предназначены для реализации процесса нечеткого вывода и служат базисом всей современной нечеткой логики.

Системы нечеткого вывода позволяют решать задачи автоматического управления, классификации данных, распознавания образов, принятия решений, машинного обучения и многие другие.

В основе систем нечеткого вывода лежит использование нечетких правил (правил нечеткой продукции). Под правилом нечеткой продукции или просто – нечеткой продукцией понимают выражение следующего вида:

(i): Q; P; A B; S, F, N,

где Q – сфера применения нечеткой продукции; Р – условие применимости ядра нечеткой продукции; A B – ядро нечеткой продукции, в котором А – условие ядра, В – заключение ядра, – знак логического следования, А и В представляют собой нечеткие лингвистические высказывания; S – метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра; F – коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции; N – постусловия продукции.

Система нечетких правил продукции или продукционная нечеткая система представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций или правил нечетких продукций.

Системы нечеткого вывода предназначены для преобразования значений входных переменных процесса управления в выходные переменные на основе использования нечетких правил продукции. Для этого системы нечеткого вывода должны содержать базу правил нечетких продукций и реализовать нечеткий вывод заключений на основе посылок или условий, представленных в форме нечетких лингвистических высказываний.

11

Основными этапами нечеткого вывода являются: формирование базы правил систем нечеткого вывода, фаззификация входных переменных, агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций, активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций, аккумулирование заключений нечетких правил продукций, дефаззификация выходных

переменных.

База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных.

Под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств, т.е. введение нечеткости.

Агрегирование представляет собой процедуру определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода, т.е. формирование условий.

Активизация в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру нахождения степени истинности каждого из подзаключений правил нечетких продукций. До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех условий системы нечеткого вывода, т. е. множество значений B ={ b1 , b2 , …, bn } и значения весовых коэффициентов Fi для каждого правила. Перебираются все заключения правил системы нечеткого вывода. Если заключение i – нечеткое высказывание вида 1 или 2, то степень его истинности равна ci bi Fi . Если заключение состоит из нескольких подзаключений вида, то степень истинности каждого из подзаключений k равна ck bk Fk . Таким образом, C {c1,c2 ,...,cq }, где q общее количество подзаключений в базе правил.

Аккумуляция или аккумулирование представляет собой процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных.

12

Дефаззификация представляет собой процесс нахождения обычного (не нечеткого) значения для каждой из выходных лингвистических переменных. Цель дефаззификации заключается в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных лингвистических переменных, получить обычное количественное значение каждой из выходных переменных, которое может быть использовано специальными устройствами, внешними по отношению к системе нечеткого вывода.

Рассмотрим один из первых алгоритмов нечеткого вывода, предложенный в 1975 г. английским математиком Е. Мамдани:

1.Формирование базы правил систем нечеткого вывода по обычному алгоритму.

2.Фаззификация входных переменных по обычному алгоритму.

3. Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций. Для нахождения степени истинности условий каждого из правил нечетких продукций используются парные нечеткие логические операции. Те правила,

степень истинности условий которых отлична от нуля, считаются активными и используются для дальнейших расчетов.

4. Активизация подзаключений в нечетких правилах продукций. Определяются функции принадлежности каждого из подзаключений для рассматриваемых выходных лингвистических переменных по формуле:

( y) min{ ci , ( y)}. При этом для сокращения времени вывода учитываются только активные правила нечетких продукций.

5. Аккумуляция заключений нечетких правил продукций осуществляется по формуле объединения нечетких множеств, соответствующих термам подзаключений, относящихся к одним и тем же выходным лингвистическим переменным.

13

6. Дефаззификация выходных переменных. Традиционно используется, например, метод центра тяжести:

n

xi (xi )

	y	i 1	.
		n
		(xi )

i 1

6.Пример использования систем нечеткого вывода в задачах

управления

В качестве примера использования систем нечеткого вывода в задачах управления рассмотрим задачу управления смесителем воды при принятии душа. Для определенности предположим, что в качестве алгоритма нечеткого вывода будет использоваться алгоритм Мамдани.

Содержательная постановка задачи

При принятии душа на вход смесителя подается холодная и горячая вода по соответствующим магистральным трубопроводам. Наиболее комфортные условия для душа создаются при наличии на выходе смесителя теплой воды постоянной температуры. Поскольку во время принятия душа может наблюдаться неравномерный расход воды, температура воды на выходе смесителя будет колебаться, приводя к необходимости ручного изменения подачи холодной или горячей воды. Задача состоит в том, чтобы сделать регулировку температуры воды автоматической, обеспечивая постоянную температуру воды на выходе смесителя.

Сформулируем несколько эвристических правил, которые мы применяем в случае регулирования температуры воды на выходе смесителя:

1.Если вода горячая, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол вправо.

2.Если вода не очень горячая, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол вправо.

14

З. Если вода теплая, то оставить вентиль крана горячей воды без воздействия.

4.Если вода прохладная, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол влево.

5.Если вода холодная, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол влево.

Эта информация будет использоваться при построении базы правил системы нечеткого вывода, которая позволяет реализовать данную модель нечеткого управления.

Построение базы нечетких лингвистических правил

Для формирования базы правил систем нечеткого вывода необходимо предварительно определить входные и выходные лингвистические переменные. Очевидно, в качестве входной лингвистической переменной следует использовать температуру воды на выходе смесителя: β1 –«температура воды».

В качестве выходной лингвистической переменной будем использовать угол поворота вентиля крана горячей воды: β 2 – «угол поворота».

В этом случае система нечеткого вывода будет содержать 5 правил нечетких продукций следующего вида:

ПРАВИЛО 1: ЕСЛИ «вода горячая» ТО «повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол вправо»;

ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ «вода не очень горячая» ТО «повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол вправо»;

ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ «вода теплая» ТО «оставить угол поворота крана горячей воды без изменения»;

ПРАВИЛО 4: ЕСЛИ «вода прохладная» ТО «повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол влево»;

ПРАВИЛО 5: ЕСЛИ «вода холодная» ТО «повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол влево».

15

Фаззификация входных переменных

В качестве терм-множества первой лингвистической переменной будем использовать множество T1={«горячая», «не очень горячая», «теплая», «прохладная», «холодная»} с функциями принадлежности, изображенными на рис.4.

Рис. 4. График функции принадлежности для терма лингвистической переменной «Температура воды»

В качестве терм-множества второй лингвистической переменной будем использовать множество T2={«большой угол вправо», «небольшой угол вправо», «нуль», «небольшой угол влево», "большой угол влево»} с кусочно - линейными функциями принадлежности, изображенными на рис. 5.

Рис. 5. График функции принадлежности для терма лингвистической переменной «Угол поворота вентиля крана»

Используя в качестве алгоритма вывода алгоритм Мамдани, рассмотрим пример его выполнения для случая, когда текущая температура воды на выходе смесителя равна 55ºС. В этом случае фаззификация входной лингвистической

16

переменной приводит к значениям степеней истинности 0,5 для правил нечетких продукций с номерами 2 и 3. Эти правила считаются активными и используются в текущем процессе нечеткого вывода.

Агрегирование, активизация, аккумулирование и дефаззификация

Поскольку все условия в правилах 1–5 заданы в форме нечетких лингвистических высказываний первого вида, этап их агрегирования тривиален и оставляет степени истинности 0,5 без изменения.

Следующим этапом нечеткого вывода является активизация заключений. Поскольку все заключения правил 1–5 заданы в форме нечетких лингвистических высказываний первого вида, а весовые коэффициенты правил по умолчанию равны 1, то активизация правил 2 и 3 приводит к нечетким множествам, функции принадлежности которых изображены на рис. 6.

Рис. 6. График функции принадлежности переменной «Угол поворота крана» после активизации

Аккумулирование заключений нечетких правил продукций для правил 2 и 3 приводит в результате к нечеткому множеству, изображенному на рис. 7.

Рис. 7. График функции принадлежности переменной «Угол поворота крана» после аккумуляции

17