новая папка 1 / 303936

= √248107.

Ответ:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

a b x1x2 y1 y2 z1z2 .

Тогда скалярное произведение векторов и равно:

∙ = 12∙ (−7) + 8 ∙ (−3) + (−20) ∙ 7 = −84 − 24 − 140 = 248.

Применяя, формулу для косинуса угла между двумя векторами находим:

	248						62
cos = cos( ; ) =						=	√			.
	4√38∙ √107							4066

Ответ: cos = cos( ; ) = √406662 .

в) Направляющие косинусы вектора равны координатам вектора, деленным на его модуль:

cos

x

,

cos

y

,

cos

z

a

a

a

,

Применяя, эти формулы имеем:

cos =

12

=

3

,

cos =

8

=

2

, cos =

−20

= −

5

.

4√38

√38

4√38

√38

4√38

√38

cos = √383 , cos = √382 , cos = − √385 .

г) Проекция вектора на вектор определяется по формуле:

∙= | |

Ответ: = √107248 .

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тема 2.3. Векторное произведение векторов

План: 1. Определение и свойства векторного произведения

2.Некоторые приложения векторного произведения

1.Определение и свойства векторного произведения

Определение: Векторным произведением двух векторов и

называется вектор c a b , удовлетворяющий условиям:

1) модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : c S a b sin , где - угол между векторами и ;

2)вектор c перпендикулярен векторам и ;

3)векторы a, b, c образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1. b a a b , т.е. векторное произведение не обладает переместительным свойством;

2. a b 0, если а 0 или b 0 или a // b (коллинеарность ненулевых векторов);

3. a b a b a b (сочетательное свойство относительно скалярного множителя);

4. a b c a b a c (распределительное свойство).

Векторное произведение координатных ортов: i i j j k k 0,

i j k,

j i k,

j k i,

k j i,

k i j,

i k j .

Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

a x1i y1 j z1 k,

b x2 i y2 j z2 k :

a b

i

j

k

y1

z1

i

z1

x1

j

x1

y1

x

y

z

k

.

1

1

1

y2

z2

z2

x2

x2

y2

x2

y2

z2

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов
						× = 0
								1					1		1
										=				=
× = |				| = 0
	1	1	1				2						2		2
	2	2	2
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
						=				1
			= | × |,									| × |
							∆			2

13

Тема 2.4. Смешанное произведение векторов

План: 1. Определение и свойства смешанного произведения

2.Некоторые приложения смешанного произведения

1.Определение и свойства смешанного произведения

Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c

называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное

произведение b c , т.е. a b c .

Геометрический смысл: Смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

V abc .

Свойства смешанного произведения:

1. a b c 0 хотя бы один из векторов нулевой, или два вектора

коллинеарны, или три ненулевых вектора параллельны одной плоскости (компланарность векторов);

2.	a b c a b c abc (перестановка местами				знаков скалярного и
векторного произведения);
3.	abc bca cab	(перестановка	в	круговом	порядке	смешанного
произведения);
4.	bac abc,	cba abc,	acb abc (перестановка			местами
любых двух векторов-сомножителей).
	Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
a x1i y1 j z1k, b x2 i y2 j z2 k, c x3i y3 j z3 k :
		x1	y1	z1
		abc x2	y2	z2 .

x3 y3 z3

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. Некоторые приложения смешанного произведения:

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

> 0			, , - правая тройка;
< 0			, , - левая тройка.
Установление компланарности векторов
a b c 0
		ненулевые векторы , , компланарны.

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

V1 abc , V2 16V1 16 abc

15

Задания для индивидуальной самостоятельной работы

Задача 2.

Задание. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C, D. Найти: а) длину ребра АВ; б) площадь грани АВС; в) объем пирамиды;

г) длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

№ 1.	А (-1; 2; 1),	В (-2;2; 5),	С (-3; 3; 1),	D (-1; 4; 3).
№ 2.	А (-2; 1; -1),	В (-3; 1; 3),	С (-4; 2; -1),	D (-2; 3; 1).
№ 3. А (1; 1; 2),		В (0; 1; 6),	С (-1; 2; 2),	D (1; 3; 4).
№ 4.	А (-1;-2; 1),	В (-2;-2; 5),	С (-3;-1; 1),	D (-1;0; 1).
№ 5.	А (2;-1; 1),	В (1; -1; 5),	С ( 0; 0; 1 ),	D (2;1;3).
№ 6.	А (-1;1;-2),	В (-2;1; 2),	С (-3;2;-2),	D (-1;3;0).
№ 7.	А (1; 2;1),	В (0; 2; 5),	С (-1; 3; 1),	D (1; 4; 3).
№ 8.	А (-2;-1;1),	В (-3;-1;5),	С (-4; 0; 1),	D (-2;1;3).
№ 9.	А (1;-1;2),	В (0;-1; 6),	С (-1;0;2),	D (1; 1;4).
№ 10.	А (1;-2; 1),	В (0;-2; 5),	С (-1;-1; 1),	D (1; 0; 3).
№ 11.	А (0; 3; 2),	В (-1; 3; 6),	С (-2;4;2),	D (0; 5; 4).
№ 12.	А (-1; 2; 0),	В (-2; 2; 4),	С (-3; 3; 0),	D (-1;4; 2).
№ 13.	А (2; 2; 3),	В (1; 2; 7),	С (0; 3; 3),	D (2; 4; 5).
№ 14.	А (0; -1; 2),	В (-1; -1; 6),	С (-2; 0; 2),	D (0; 1;4).
№ 15.	А (3; 0; 2),	В (2; 0; 6),	С (1; 1; 2),	D (3; 2; 4).
№ 16.	А (0; 2; -1),	В (-1; 2; 3),	С (-2; 3; 7),	D (0; 4; 1).
№ 17.	А (2; 3; 2),	В (1; 3; 6),	С (0; 4; 2),	D (2; 5; 4).
№ 18.	А (-1; 0; 2),	В (-2; 0; 6),	С (-3; 1; 2),	D (-1; 2; 4).
№ 19.	А (2; 0; 3),	В (1; 0; 7),	С (0; 1; 3),	D (2; 2; 5).
№ 20.	А (2; -1;2),	В (1; -1; 6),	С (0; 1; 2),	D (2; 1; 4).

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Образец выполнения задания

Дано: пирамида с вершинами в точках А (3; - 4; 1), В (-1; -2; 5), С (-7; 7; 3), D (5; -6; -4).

Найти: а) длину ребра АВ; б) площадь грани АВС; в) объем пирамиды;

г) длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Решение:

а) Длину ребра АВ находим по формуле модуля вектора |АВ|:

| | = √(−1 − 3)2 + (−2 − (−4))2 + (5 − 1)2 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6.

Ответ: | | = .

б) Все грани треугольной пирамиды представляют собой треугольники, поэтому площадь грани АВС определяем по формуле из приложений векторного произведения:

							∆ =	1
								2		| × |,
где
					(−1 − 3; −2 − (−4);5 − 1) = (−4;2;4),
		= =
					(−7 − 3; 7 − (−4);3 − 1) = (−10;11;2).
		= =
	Координаты вектора							векторное произведение находим по
							×
формуле:
			| = |
× = |						−4	2	4		| = 4 − 40 − 44 + 20 + 8 − 44 =
	1	1	1
	2	2	2			−10	11	2
	= −40 − 32 − 24 = (−40; −32; −24) = (−5; −4; −3).
Тогда модуль вектора × равен:
				2			2				2		= √25 + 16 + 9 = √50 = 5√2.
	| × | = √(−5)				+ (−4) + (−3)

Площадь грани АВС равен половине длины векторного произведения:

∆ = 12| × | = 12 ∙ 5√2 = 5√22.

Ответ: ∆АВС = 5√22 .

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

в) Объем пирамиды определяем по формуле из приложений смешанного произведения трех векторов:

= 16 | |,

где

= = (−1 − 3; −2 − (−4);5 − 1) = (−4;2;4),= = (−7 − 3; 7 − (−4);3 − 1) = (−10;11;2),= = (5 − 3; −6 − (−4);−4 − 1) = (2;−2; −5).

Находим смешанное произведение векторов:

−4	2	4
	11	2 | = 220 + 8 + 80 − 88 − 100− 16 = 104.
= |−10
2	−2	−5

Тогда = 16 | | = 16 ∙ 104 = 523 = 1713. Ответ: = 1713.

г) Для нахождения длины высоты, опущенной из вершины D на грань АВС, воспользуемся формулой из школьной программы, а именно – объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

3 ∙ 17

1

1

3

52√2

3

=

∙

=

=

=

= 10,4√2.

осн

3

осн

5√2

5

2

Ответ: = , √ .

18

Литература

1.Нейфельд, Е.В., Савкина, А.Н. Высшая математика: Программа, методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов-заочников сельскохозяйственных высших учебных заведений /Е.В. Нейфельд, А.Н. Савкина. – Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2002. – 74 с.

2.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс /Д.Т. Письменный. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил.

– (Высшее образование).

3.Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов /В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 304 с.: ил.

4.Яковлева, Л.Н. Высшая математика: Контрольные задания для студентов-заочников инженерной специальности /Л.Н. Яковлева. – Октемцы: ООО РИЦ «Офсет», 2005. – 39 с.

5.Яковлева, Л.Н. Справочник терминов и формул по высшей математике для агроинженеров /Л.Н. Яковлева; Октемский филиал ФГОУ ВРО «Якутская ГСХА». – Якутск, 2010. – 47 с.

19