новая папка 1 / 303936
.pdfМИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования
«Якутская государственная сельскохозяйственная академия» Октемский филиал
Кафедра общеобразовательных дисциплин
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
РАЗДЕЛ 2
«ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ»
ДЛЯ БАКАЛАВРОВ НАПРАВЛЕНИЯ 110800.62 АГРОИНЖЕНЕРИЯ
Указания по решению и задания индивидуальной самостоятельной работы
Октемцы 2014
УДК
ББК Я.
Составитель:
Л.Н. Яковлева
Методические рекомендации и контрольные задания по математике. Раздел 2 «Элементы векторной алгебры», для бакалавров направления 110800.62 Агроинженерия: указания по решению и задания индивидуальной самостоятельной работы /Л.Н. Яковлева; Октемский филиал ФГБОУ ВПО «Якутская ГСХА». – Якутск, 2014.
Учебное пособие рекомендовано к изданию, рассмотрено и одобрено на заседании кафедры общеобразовательных дисциплин от ____________ года, протокол № ___ .
Рекомендовано к изданию УМС Октемского филиала ФГБОУ ВПО «Якутская ГСХА» (протокол № ___ от ______________ г).
Пособие представляет собой методическое руководство к выполнению индивидуальных самостоятельных работ по дидактической единице «Элементы векторной алгебры» дисциплины «Математика». Перед каждой задачей дается небольшой объем теоретического материала, необходимого для выполнения работы. Каждая задача начинается с задания, общего для любого из имеющихся 20 вариантов. В конце приводится образец выполнения и оформления. Пособие предназначено для студентов 1-2 курсов сельскохозяйственного вуза.
© Л.Н. Яковлева, 2014
2
Содержание
Тема 2.1. Векторы |
4 |
|
1. |
Основные понятия |
4 |
2. |
Проекция вектора на ось |
5 |
3. Линейные операции над векторами |
6 |
|
Тема 2.2. Скалярное произведение векторов |
7 |
|
1. |
Определение и свойства скалярного произведения |
7 |
2. Некоторые приложения скалярного произведения |
8 |
|
Задания для индивидуальной самостоятельной работы. |
|
|
Задача № 1. |
9 |
|
Образец выполнения задания |
10 |
|
Тема 2.3. Векторное произведение векторов |
12 |
|
1. |
Определение и свойства векторного произведения |
12 |
2. Некоторые приложения векторного произведения |
13 |
|
Тема 2.4. Смешанное произведение векторов |
14 |
|
1. |
Определение и свойства смешанного произведения |
14 |
2. Некоторые приложения смешанного произведения |
15 |
|
Задания для индивидуальной самостоятельной работы. |
|
|
Задача № 2. |
16 |
|
Образец выполнения задания |
17 |
|
Литература |
19 |
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2.1. Векторы
План: 1. Основные понятия 2. Проекция вектора на ось
3. Линейные операции над векторами
1. Основные понятия
Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий длину и направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор
обозначается символом или . Вектор (начало в точке В, конец в точке А) называется противоположным вектором.
Разложение вектора по ортам координатных осей (по базису): a xi y j zk x; y; z
где числа x; y; z называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие оси координат. Векторы
i , j , k - орты осей координат (единичные векторы, направление которых совпадает с направлением соответствующей оси).
Координаты вектора , имеющего начало в точке A x1; y1; z1 и конец в точке B x2 ; y2 ; z2 , определяются по правилу «от координат конца вычитаем координаты начала»: AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 .
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка |АВ|: a x2 y2 z2 ,
т.е. длина (модуль) вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора совпадает со всеми векторами.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора или нормированным вектором и обозначается a0 :
a0 a . a
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены) или противоположно.
Условие коллинеарности векторов:
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
2 |
= |
|
= |
|
2 |
или = ∙ |
|
|
|
2 |
|
|
|
Два вектора называются равными ( = ), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Условие компланарности векторов:
= ∙ + ∙
Направляющие косинусы вектора:
cos |
|
x |
, |
cos |
|
y |
, |
cos |
|
z |
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где , , - углы, образованные вектором , с осями координат Ох, Оу, Оz соответственно. Свойство направляющих косинусов вектора:
cos2 cos2 cos2 1,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
2. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось , т.е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось называется основание 1 перпендикуляра
1, опущенного из точки на ось.
Точка 1 есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси.
Если точка М лежит на оси , то проекция точки М на ось совпадает с самой точкой М.
|
|
|
|
Пусть – произвольный ненулевой вектор. Обозначим через А1 и В1 |
|||
проекции на ось |
|
|
|
соответственно начала А и конца В вектора и |
|||
|
|
|
|
рассмотрим вектор 1 1. |
|
|
|
Проекцией вектора |
|
ось называется положительное число |
|
на |
|||
|
|
и ось |
одинаково направлены и отрицательное |
| 1 1|, если вектор |
1 1 |
||
|
|
|
5 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
и ось противоположно направлены. Если |
||||
число – | 1 1|, если вектор 1 1 |
|||||||
точки А1 |
и В1 |
|
|
|
|
|
|
совпадают ( 1 1 = 0), то проекция вектора равна 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция вектора на ось |
обозначается: . Если = 0 или |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то = 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
- угол между вектором и осью : 0 ≤ ≤ .
Основные свойства проекций Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля
вектора на косинус угла между вектором и осью:
= | | ∙ cos
Следствия:
1.1.Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол - прямой.
1.2.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось
равна сумме их проекций на эту ось.
Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:
( ∙ ) = ∙
Линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
2. Линейные операции над векторами:
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Даны векторы a x1i y1 j z1 k, b x2 i y2 j z2 k .
Сумма векторов:
a b x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ,
при сложении векторов их одноименные координаты складываются.
Разность векторов:
a b x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ,
при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются.
Умножение вектора на число :
a xi y j zk .
при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2.2. Скалярное произведение векторов
План: 1. Определение и свойства скалярного произведения
2.Некоторые приложения скалярного произведения
1.Определение скалярного произведения
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a b a b cos .
где = (; ) - угол между векторами и .
Свойства скалярного произведения:
1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
|
|
|
a a |
|
a |
|
2 |
или |
a2 |
|
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
a b 0, |
если |
а 0, |
либо |
b 0, |
либо a b |
(ортогональность |
||||||||
ненулевых векторов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
a b b a (переместительный закон). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
a b c a b a c |
(распределительный закон). |
|
||||||||||||
5. |
a b a |
b a b |
(сочетательный закон относительно скалярного |
множителя).
Скалярное произведение ортов осей координат:
i2 j2 k 2 1, |
i j i k j k 0 . |
|
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами |
||
a x1i y1 j z1 k x1; y1; z1 , |
b x2 i y2 j z2 k x2 ; y2 ; z2 : |
a b x1x2 y1 y2 z1z2 .
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.Некоторые приложения скалярного произведения
Нахождение угла между векторами
|
|
|
|
|
|
|
1 2+ 1 2+ 1 2 |
||||||
cos = |
|
∙ |
|
или cos = |
|
|
|||||||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∙| | |
|
√2 |
+ 2 |
+ 2 |
∙√2 |
+ 2 |
+ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
Установление перпендикулярности (ортогональности) векторов
|
|
|
|
1 |
2 + 1 2 + 1 2 = 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проекция вектора на заданное направление |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2+ 1 2+ 1 2 |
|||||
|
|
∙ |
|
∙ |
|
|
|
|||||||
|
= |
|
или = |
|
, |
т.е. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
+ 2 |
+ 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
Работа постоянной силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= ∙ ∙ cos |
|
или |
= ∙ |
|
|
|
|
|
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания для индивидуальной самостоятельной работы
|
Задача 1. |
|
|
|
|
Задание. По координатам точек А, В и С требуется найти: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
а) координаты векторов , и их модули; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) косинус угла между векторами и ; |
|
|
|
|
|
в) направляющие косинусы вектора ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) проекцию вектора на вектор . |
|
|
|
|
|
№ 1. |
А (4; 6;3), В (-5; 2; 6), С (4; -4; -3), |
|
|
|
|
= 4 − , = |
|||||
№ 2. |
А (4; 3; -2), В (-3; -1; 4), С (2; 2; 1), |
|
|
|
|
= −5 + 2 , = |
|||||
№ 3. |
А (-2; -2; 4), В (1; 3; -2), С (1; 4; 2), |
|
|
|
|
= 2 − 3 , |
= |
||||
№ 4. |
А (2; 4; 3), В (3;1; -4), С (-1; 2;2), |
|
|
|
|
= 2 + 4 , |
= |
||||
№ 5. |
А (2; 4; 5), В (1;-2; 3), С (-1; -2;4), |
|
|
|
|
= 3 − 4 , |
= |
||||
№ 6. |
А (-1; -2; 4), В (-1;3; 5), С (1; 4;2), |
|
|
|
|
= 3 − 7 , |
= |
||||
№ 7. |
А (1; 3; 2), В (-2;4; -1), С (1; 3;-2), |
|
|
|
|
= 2 + 5 , |
= |
||||
№ 8. |
А (2; -4; 3), В (-3;-2; 4), С (0; 0;-2), |
|
|
|
|
= 3 − 4 , |
= |
||||
№ 9. |
А (3; 4; -4), В (-2;1; 2), С (2; -3;1), |
|
|
|
|
= 5 + 4 , |
= |
||||
№ 10. |
А (0; 2; 5), В (2;-3; 4), С (3; 2;-5), |
|
|
|
|
= −3 + 4 , = |
|||||
№ 11. |
А (-2; -3; -4), В (2;- 4; 0), С (1; 4;5), |
|
|
|
|
= 4 − 8 , |
= |
||||
№ 12. |
А (-2; -3; -2), В (1;4; 2), С (1; -3;3), |
|
|
|
|
= 2 − 4 , |
= |
||||
№ 13. А (5; 6; 1), В (-2;4; -1), С (3; -3;3), |
|
|
|
|
|
= 3 − 4 , |
= |
||||
№ 14. |
А (10; 6; 3), В (-2;4; 5), С (3; - 4;- 6), |
|
|
|
|
= 5 − 2 , |
= |
||||
№ 15. А (3; 2; 4), В (-2;1; 3), С (2; -2;-1), |
|
|
|
|
|
= 4 − 3 , |
= |
||||
№ 16. |
А (-2; 3; - 4), В (3;-1; 2), С (4; 2;4), |
|
|
|
|
= 7 + 4 , |
= |
||||
№ 17. |
А (4; 5; 3), В (4;2; 3), С (5;-6;-2), |
|
|
|
|
= 9 − 4 , |
= |
||||
№ 18. |
А (2; 4; 6), В (-3;5; 1), С (4; -5;- 4), |
|
|
|
|
= 6 + 2 , |
= |
||||
№ 19. |
А (-4; -2; -5), В (3;7; 2), С (4; 6;-3), |
|
|
|
|
= 9 + 3 , |
= |
||||
№ 20. А (5; 4; 4), В (-5;2; 3), С (4; 2;-5), |
|
|
|
|
|
= 11 − 6 , = |
|||||
|
9 |
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образец выполнения задания
Дано: А (-5; 4; 3), В (4; 5; 2), С (2; 7; -4),
Найти: а) координаты векторов , и их модули; б) косинус угла между векторами и ; в) направляющие косинусы вектора ;
г) проекцию вектора на вектор .
Решение:
а) Найдем координаты векторов по правилу: из координат конца вычитаем координаты начала.
= (4 − (−5); 5 − 4; 2 − 3) = (9; 1; −1),
= (2 − 4; 7 − 5; −4 − 2) = (−2; 2; −6),
= (−5 − 2; 4 − 7; 3 − (−4)) = (−7; −3; 7).
Для того, чтобы найти сумму (разность) векторов, необходимо сложить (вычесть) соответствующие координаты. А для того, чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую координату вектора умножить на это число.
Тогда, векторы и будут иметь координаты:
= 3 + 2 = 3(−2; 2; −6) + 2(9; 1; −1) =
=(−6; 6;−18) + (18; 2; −2) = (12; 8;−20),
= = (−7; −3; 7).
Модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:
a x2 y2 z2 .
По этой формуле находим модули векторов и :
| | = √122 + 82 + (−20)2 = √144 + 64 + 400 = √608 = 4√38, | | = √(−7)2 + (−3)2 + 72 = √49 + 9 + 49 = √107.
Ответ: = (12; 8; −20), = (−7; −3; 7), | | = 4√38, | | = √107.
|
|
|
б) Косинус угла между двумя векторами и равен их скалярному |
||
произведению, деленному на произведение их модулей: |
||
|
|
|
cos = |
∙ |
, |
|
||
|
| | ∙ | | |
|
а их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:
10