новая папка 1 / 303938
.pdf
Тема 1.2 Определители
План: 1. Основные понятия
2.Свойства определителей
3.Невырожденные матрицы
1.Основные понятия
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А (или |А|, или Δ), называемое ее определителем, следующим образом:
1. |
n = 1. |
= ( 1); |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
11 |
12 |
|
|
2. |
n = 2. |
= ( 21 |
22); |
= | 21 |
22| = 11 |
∙ 22 − 12 ∙ 21 |
||
|
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
3. |
n = 3. |
= ( 21 |
22 |
23); |
= | 21 |
22 |
23| = |
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32 − 13 22 31 − 12 21 33 −11 23 32.
Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков.
Схема вычисления определителя второго порядка:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или звездочки, или Саррюса), по следующей схеме:
2. Свойства определителей
Сформулируем свойства определителей, присущие определителям всех порядков.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками.
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядом определителя.
Свойство 2. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.
Свойство 3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
Свойство 4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Свойство 5 («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Дальнейшие свойства определителя связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минор - mij элемента определителя получается из данного
определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается: Aij 1 i j mij
Свойство («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»): Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие алгебраические дополнения. Например, для определителя третьего порядка, разложение по элементам первой строки имеет вид:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
a11 A11 a12 A12 a13 A13 . |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
3. Невырожденные матрицы
Единичной называется матрица |
1 |
0 |
|
. При умножении единичной |
|
E |
|
|
|
||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
матрицы слева и справа на матрицу А получается матрица А:
EA AE A.
Матрица A 1 называется обратной к заданной квадратной матрице А, если произведения этих матриц равны единичной матрице:
.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е. A 0 . Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, которая находится по формуле:
|
|
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
||
A 1 |
A * |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
A12 |
A22 |
A32 |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
det A |
|
det A |
A |
A |
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
|
где Aij - алгебраическое дополнение.
Если же A 0, то матрица – вырожденная.
Характеристическим уравнением матрицы |
a11 |
a12 |
|
называется |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
уравнение |
|
a11 |
a12 |
|
0 |
. Корни этого уравнения |
1 , 2 называются |
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
характеристическими (собственными) числами матрицы.
Задания для индивидуальной самостоятельной работы
Задача 2.
Задание. Вычислите определитель четвертого порядка методом разложения по элементам некоторого ряда.
№1.
№3.
№5.
№7.
№9.
№11.
№13.
№15.
1 |
4 |
1 |
|
3 |
= |0 |
−1 |
3 |
−1| |
|
3 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
−2 |
5 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
−2 |
= |2 |
−1 |
−2 |
|
−3| |
3 |
2 |
−1 |
2 |
|
2 |
−3 |
2 |
|
1 |
1 |
−1 |
−1 |
1 |
|
|
= |−1 |
2 |
2 |
|
0 |
| |
0 |
−1 |
1 |
|
4 |
|
1 |
1 |
−1 |
|
−1 |
|
5 |
−4 |
0 |
|
2 |
|
= |−1 |
1 |
1 |
−1| |
|
|
2 |
3 |
1 |
−6 |
|
|
1 |
0 |
2 |
−1 |
|
|
1 |
2 |
0 |
|
1 |
|
= |−1 |
−3 |
3 |
−1| |
|
|
0 |
4 |
−1 |
|
2 |
|
1 |
−1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
−1 |
1 |
|
2 |
|
= |1 |
2 |
−1 |
|
1 |
| |
3 |
0 |
−1 |
|
−3 |
|
1 |
−1 |
1 |
|
3 |
|
2 |
3 |
0 |
|
1 |
|
= |−1 |
1 |
3 |
|
0 |
| |
0 |
2 |
−1 |
1 |
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
−2 |
|
1 |
0 |
3 |
|
4 |
|
= | 0 |
1 |
5 |
|
1 |
| |
−3 |
4 |
1 |
|
1 |
|
0 |
−6 |
0 |
|
−1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
№ 2. = |1 |
4 |
2 |
3| |
1 |
10 |
3 |
6 |
6 |
10 |
1 |
4 |
|
−2 |
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
№ 4. |
= | 1 |
−3 |
|
3 |
|
7 |
|
| |
|
|
|
2 |
−1 |
|
2 |
|
−3 |
|
|
||
|
−5 |
4 |
|
−1 |
|
2 |
|
|
||
|
3 |
−2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
№ 6. |
= |2 |
|
1 |
|
1 −2 |
|
| |
|
||
|
3 |
−1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
−1 |
|
−1 |
|
|
||
|
4 |
−1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
||
№ 8. |
= | 3 |
2 |
|
−1 |
2 |
| |
||||
|
0 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
||
|
−1 |
1 |
|
−3 |
|
−1 |
|
|||
|
|
1 |
4 |
|
−3 |
|
0 |
|
|
|
№ 10. |
= | |
0 |
4 |
|
1 |
|
2 |
| |
|
|
|
−1 |
2 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
0 |
|
||||
|
−1 |
−3 |
3 |
|
−1 |
|
||||
№ 12. |
= | |
1 |
3 |
−8 |
1| |
|||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
−1 |
|
|||
|
−1 |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
||
|
−2 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||
№ 14. |
= | |
0 |
1 |
|
2 |
0| |
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
||
|
3 |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
№ 16. |
= |2 |
2 |
1 |
3| |
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
−2 |
−2 |
−1 |
3 |
|
№ 17. |
= |2 |
3 |
2 |
0 |
| |
№ 18. |
= | 2 |
1 |
0 |
|
−1| |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
−3 |
|
1 |
0 |
−2 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
|
−4 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
−2 |
|
№ 19. |
= |3 |
−1 |
−1 |
−2| |
№ 20. |
= |2 |
−1 |
−2 |
|
−3| |
|
|
2 |
3 |
−1 |
−1 |
|
3 |
2 |
−1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
−1 |
|
2 |
−3 |
2 |
|
1 |
|
Образец выполнения задания
Вычислите определитель четвертого порядка методом разложения по элементам некоторого ряда.
Решение: Выбираем разложение по элементам второго столбца:
1 |
1 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
= |−1 |
0 |
3 |
−2 |
| = 1 ∙ А12 + 0 ∙ А22 + 1 ∙ А32 + 2 ∙ А42 = |
||||||
2 |
1 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
−2 |
|
1 |
3 |
4 |
1 |
3 |
4 |
= − | 2 2 −3| − |−1 3 |
−2| + 2|−1 |
3 |
−2| = |
|||||||
1 |
−1 |
|
1 |
|
1 |
−1 |
1 |
2 |
2 |
−3 |
= −(−2 − 9 + 4 + 4 − 6 + 3) − (3 − 6 + 4 − 12 + 3 − 2) +
+2(−9− 12− 8 − 24 − 9 − 4) = −6 + 10 − 132 = −128
Тема 1.3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
План: 1. Основные понятия 2. Решение СЛАУ по формулам Крамера
3. Решение СЛАУ матричным способом
4. Решение СЛАУ методом Гаусса
1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений,
уравнений и n неизвестных, называется система вида:
a11 x1 a12 x2 ... |
a1n xn b1 |
||||||||
|
|
|
|
|
a2n xn b2 |
||||
a21 x1 a22 x2 |
|||||||||
............................................. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x a |
m2 |
x |
2 |
... |
a |
mn |
x |
n |
b |
m1 1 |
|
|
|
|
m |
||||
содержащей т
(1)
где числа , = , , = , называются коэффициентами системы, числа– свободными членами или числами с правой стороны.
Матричная форма записи СЛАУ:
∙ = .
Здесь А – матрица составленная из коэффициентов системы,
называется основная матрица системы:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
||
A |
... ... ... ... |
|
, |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
m1 |
m2 |
|
mn |
|
|
1
= ( 2) – вектор-столбец из неизвестных ,
1
= ( 2 ) - вектор-столбец из свободных членов .
Произведение матриц ∙ определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х.
Расширенной матрицей системы А называется основная матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
1 |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|
||||||
A |
|
... |
... |
... |
. |
|
|
... ... |
|
||||
|
|
am2 |
... |
|
|
|
|
am1 |
amn bm |
||||
Решением системы называется п значений неизвестных
= , = ,… , = ,
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-
столбца:
1 С = ( 2).
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое его решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
a x a x |
|
|
... |
a |
|
|
x |
|
|
|
0 |
||||||||||
11 |
|
1 |
12 |
|
2 |
|
|
1n |
|
|
n |
|
|
||||||||
a |
|
x a |
|
|
x |
|
|
... |
a |
2n |
x |
n |
|
0 |
|||||||
|
21 |
|
1 |
|
22 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
............................................. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x a |
m2 |
x |
2 |
... |
a |
mn |
x |
n |
0 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Однородная система всегда совместна, так как = = … = = является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальным.
1. Решение СЛАУ по формулам Крамера
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными x, y, z.
a1x b1 y c1z h1 |
|
|||
|
|
|
|
(1) |
a2 x b2 y c2 z h2 |
||||
a x b y c z h |
|
|||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
числа а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 |
называются коэффициентами системы, а |
||||||||||||||||||||||||||
числа h1, h2, h3 |
свободными членами или правой частью системы (считаются |
||||||||||||||||||||||||||
заданными). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тройка чисел x0, y0, z0 |
называется решением системы (1), если в |
||||||||||||||||||||||||||
результате подстановки этих чисел вместо |
|
x, |
y, |
z |
все три уравнения (1) |
||||||||||||||||||||||
обращаются в тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В дальнейшем основную роль будут играть следующие четыре |
|||||||||||||||||||||||||||
определителя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
h b c |
|
|
|
a h c |
|
|
|
a b h |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
a2 |
b2 |
c2 |
, |
x |
|
h |
b c |
, |
y |
|
a |
2 |
h |
c |
2 |
, |
z |
|
a |
2 |
b |
2 |
h |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
h3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
a3 |
h3 |
c3 |
|
|
|
a3 |
b3 |
h3 |
|
|||||
Определитель |
называется |
основным определителем системы (1). |
|||||||||||||||||||||||||
Определители x, y, z получаются из определителя системы заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
При решении СЛАУ по формулам Крамера возможны три случая. Случай 1. Если определитель системы (1) отличен от нуля ( 0 ), то
существует, и притом единственное решение этой системы, и оно выражается формулами Крамера:
x |
|
x , |
y |
y |
, z |
|
z |
(2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Пример1. Найти решение системы: |
|
|
|
|||||
|
|
|
x 2 y z 4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x 5 y 3z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 7 y z 8 |
|
||||
Решение: Составляем определитель системы и вычисляем его значение:
|
|
1 |
2 |
1 |
|
z |
|
3 |
5 |
3 |
33 |
|
|
2 |
7 |
1 |
|
Так как 0 , то данная система имеет единственное решение, определяемое формулами (2). Составляем и находим значения остальных определителей:
|
4 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|||
x |
1 |
5 |
|
3 |
|
33, y |
3 1 |
3 |
33, z |
|
3 |
5 |
3 |
33 |
|||||||||||||
|
8 7 1 |
|
|
|
|
2 8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 7 1 |
|
|||||||||||
По формулам (2) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
33 |
|
1, y |
y |
|
33 |
|
1, |
z |
|
z |
33 |
1. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|||||
Следовательно, х=1, у=1, z=1 – решение данной системы. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Случай 2. Если определитель системы |
(1) равен нулю ( 0 ) и хотя |
||||||||||||||||||||||||||
бы один из определителей x , y , z |
отличен от нуля, то система не имеет |
||||||||||||||||||||||||||
решения (несовместима). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Найти решение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 y 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 7 y z 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: Так как |
3 |
2 |
2 |
0 , а y |
|
3 |
1 |
2 |
1 0 , то данная |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система решения не имеет .
Случай 3. Наконец, если =0 и все x = y = z =0, то система (1) либо совсем не имеет решений, либо если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.
Пример 3. Найти решение системы
x y z 12x y z 2
3x 2 y 2z 3
Решение: Так как
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
0, |
х |
|
2 |
1 |
1 |
0, |
у |
|
2 |
2 |
1 |
0, |
z |
|
2 |
1 |
2 |
0 , то данная |
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система имеет бесконечно много решений.
Задания для индивидуальной самостоятельной работы
Задача 3.
Задание. Решить систему тремя способами: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
№1.
№3.
№5.
№7.
№9.
№11.
№13.
5x 8 y z 7x 2 y 3z 12x 3y 2z 9
3x 2 y z 52x 3y z 1
2x y 3z 11
4x 3y 2z 92x 5 y 3z 45x 6 y 2z 18
x1 x2 2x3 1 |
|||
|
x2 2x3 |
4 |
|
2x1 |
|||
|
x2 4x3 |
2 |
|
4x1 |
|||
3x1 x2 x3 4 |
|||
|
5x2 |
3x3 17 |
|
2x1 |
|||
|
|
|
|
x1 x2 x3 0 |
|||
2x1 x2 4x3 1 |
|||
|
|
|
6 |
x1 x2 2x3 |
|||
3x1 x2 x3 4 |
|||
|
|
|
|
x1 5x2 x3 7 |
|||
|
|
x3 |
0 |
2x1 x2 |
|||
|
|
x3 |
2 |
x1 2x2 |
|||
№2.
№4.
№6.
№8.
№10.
№12.
№14.
x 2 y z 43x 5 y 3z 12x 7 y z 8
x1 2x2 4x3 31
5x x 2x 29
1 2 3
3x x x 10
1 2 3
2x1 x2 x3 4
3x 4x 2x 11
1 2 3
3x 2x 4x 11
1 2 3
3x1 x2 5 |
|
|
|
|
|
2x1 x2 x3 0 |
|
|
|
2x1 x2 4x3 15 |
|
x1 x2 x3 2 |
|
|
x2 6x3 1 |
2x1 |
|
3x1 |
2x2 10 |
|
|
2x1 x2 3x3 3 |
|
|
4x2 5x3 8 |
3x1 |
|
|
7x3 17 |
2x2 |
|
x 2 y 3z 6 |
|
|
3y 4z 16 |
2x |
|
3x 2 y 5z 12