- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Основные понятия
В математической статистике важную роль играют некоторые законы распределения случайных величин, являющихся функциями независимых нормальных случайных величин. К ним относятся распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.
Распределение хи-квадрат ( -распределение)
Пусть независимые нормально распределенные стандартные случайные величины
Тогда распределение случайной величины
называется распределением хи-квадрат с степенями свободы .
Распределение Стьюдента ( распределение)
Пусть независимые нормально распределенные стандартные случайные величины: Тогда случайная величина
имеет по определению распределение Стьюдента (или распределение) с степенями свободы .
Распределение Фишера ( -распределение)
Пусть независимые нормальные случайные величины, причем
Тогда по определению случайная величина
имеет распределение Фишера (или распределение) со степенями свободы .
На рис. 8.18.3 изображены графики плотностей вероятности рассматриваемых распределений.
Рис. 8.1. Кривая распределения при
n = 6 (1), n = 12 (2), n = 22 (3) и n = 32 (4)
Рис. 8.2. Кривая распределения Стьюдента при
n = 1 (1) и n = 30 (2)
Рис. 8.3. Кривая распределения Фишера при
(1); (2); (3)
З а м е ч а н и я.
1.Можно показать, что каждое из рассмотренных выше распределений при неограниченном увеличении числа степеней свободы стремится к нормальному. Это достаточно хорошо прослеживается на рис. 7.17.3.
2.Критические точки рассматриваемых распределений можно найти в таблицах приложений 35.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 8
Задача 8.1. Исходя из того, что
являются независимыми случайными величинами, привести примеры случайных величин
Вариант |
k |
m |
p |
q |
130 |
Значения параметров назначьте сами |
Примеры решения индивидуальных заданий
Пример 8.1. Заданы независимые случайные величины
Составить случайную величину, имеющую распределение .
Решение. Рассмотрим случайные величины , Они независимы, имеют нормальные распределения. Найдем параметры этих распределений:
Отсюда и, следовательно,
,
т.е. имеет распределение хи-квадрат с тремя степенями свободы.
Пример 8.2. Заданы независимые случайные величины
Составить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с тремя степенями свободы ( ).
Решение. Случайные величины
имеют стандартные нормальные распределения ( ). Тогда, например, случайная величина
т.е. имеет распределение Стьюдента с тремя степенями свободы.
Пример 8.3. Заданы независимые случайные величины ; ; ; ; .
Составить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы
Решение. Рассмотрим случайные величины
Поскольку они имеют стандартные нормальные распределения, то случайная величина
,
т.е. имеет распределение Фишера со степенями свободы
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 8
1.Дайте определение закона распределения хи-квадрат.
2.Дайте определение распределения Стьюдента.
3.Распределение какой случайной величины называют распределением Фишера?
4.Как ведут себя законы распределений случайных величин , при
5.Как ведет себя закон распределения случайной величины при
6.Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, которая распределена по закону хи-квадрат с четырьмя степенями свободы.
7.Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с двумя степенями свободы.
8.Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы
9.Случайная величина X имеет распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения хи-квадрат, найти значения , если заданы вероятности событий:
а) где ;
б) где
10.Пусть независимые случайные величины, причем Показать, что случайная величина имеет распределение
11.Случайная величина X имеет распределение Стьюдента с 10 степенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, найти значения если:
а) где
б) где
в) где
12.Случайная величина X имеет распределение Фишера со степенями свободы и Используя таблицы критических точек распределения Фишера, найти значения если заданы вероятности событий:
а) где
б) где
Тема 9. |
СИСТЕМЫ ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН: ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, БЕЗУСЛОВНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ, ЛИНИИ РЕГРЕССИИ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ |