- •С.Н.Дементьев, а.М.Слиденко, с.О.Стрыгина
- •Воронеж
- •Дементьев с.Н.
- •Часть I. Теория вероятностей Введение
- •Основные понятия
- •Классическое определение вероятности
- •Основные понятия комбинаторики
- •Геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Основные понятия
- •Основные понятия Равномерное распределение
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Пример решения индивидуального задания
- •Основные понятия
- •Распределение Стьюдента ( распределение)
- •Распределение Фишера ( -распределение)
- •Примеры решения индивидуальных заданий
- •Основные понятия
- •Часть II. Математическая статистика Введение
- •Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема
- •Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений
- •Основные понятия
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Дисперсии которых неизвестны и одинаковы
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
- •«Проверка статистических гипотез»
- •«Проверка статистических гипотез»
- •Основные понятия
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •«Однофакторный дисперсионный анализ»
- •Основные понятия
- •Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации
- •Проверка значимости регрессии по критерию Фишера
- •Построение доверительных интервалов для генеральных параметров регрессии
- •Построение доверительного интервала для прогноза индивидуального значения отклика
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •«Корреляционный и регрессионный анализ»
- •Часть III. Примеры лабораторных работ по математической статистике в системе mathcad Темы лабораторных работ и их основные цели
- •Лабораторная работа №1 (листинги 1-5) Распределения, связанные с нормальным законом распределения
- •Лабораторная работа №2 (листинги 6-8) Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Лабораторная работа №3 (листинги 9-15) Описательные статистики
- •Лабораторная работа №4 (листинги 16-18) Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Лабораторная работа №5 (листинги 19-24) Примеры проверки статистических гипотез
- •Лабораторная работа №6 (листинги 25-27) Однофакторный дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №7 (листинги 28-31) Корреляция и регрессия
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 4
- •Критические точки распределения Фишера
- •Критические точки распределения Фишера
- •Примеры тестовых вопросов по теории вероятностей и математической статистике
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона
Выяснение вопроса о принадлежности выборочных данных нормально распределенному признаку генеральной совокупности является одной из важнейших задач математической статистики. Предположение о нормальном распределении некоторой случайной величины требуется при проверке многих статистических гипотез, в основных положениях дисперсионного и регрессионного анализов.
Существует несколько способов, позволяющих по выборочным данным с различной степенью уверенности принять или отвергнуть предположение о нормальном распределении признака. Один из них рассматривается ниже.
Пусть непрерывная случайная величина (признак) представлена выборкой значений в виде интервального распределения, причем известны выборочное среднее и исправленное выборочное с.к.о. .
Пусть имеются основания предполагать, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (например, из визуального соответствия гистограммы и нормальной кривой).
Проверка этой гипотезы при уровне значимости с помощью критерия Пирсона осуществляется по следующей схеме.
1. Нужно проанализировать интервальное распределение выборки, объем которой должен быть не менее 50, и в случае, если какому-нибудь частичному интервалу выборочных значений соответствует эмпирическая частота , которая меньше, чем 5, этот интервал следует объединить с соседним (соседними), поставив в соответствие новому интервалу сумму эмпирических частот объединенных интервалов. Так как нормальное распределение определено для всех действительных значений , то принято левую границу первого частичного интервала расширить до , а правую границу последнего до . По окончании описанной процедуры будем обозначать число частичных интервалов через .
2. В предположении, что исследуемая случайная величина действительно распределена нормально с параметрами и ( ~ ), нужно вычислить вероятности попадания ее значений в каждый из частичных интервалов по формуле
; , (11.1)
где , и заменены соответственно на и , а значения функции Лапласа можно найти в таблицах приложения 2. При безошибочном счете должно выполняться условие
.
3. Нужно вычислить теоретические частоты по формуле
, (11.2)
где –объем выборки. Отметим, что при этом должно выполняться условие .
4. Теперь требуется вычислить наблюдаемое значение критерия :
. (11.3)
Кроме того, нужно найти критическое значение критерия ( ) в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы . Это осуществляется с помощью таблиц приложения 3.
5. Наконец, необходимо сравнить полученные значения и :
если > , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости отвергается;
если < , то считают, что при заданном уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении рассматриваемой случайной величины .
Пример 11.3. Имеется 200 изделий, изготовленных на некотором станке. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о подчинении нормальному закону распределения отклонений контролируемого размера изделий от номинала.
Решение. Обозначим рассматриваемые отклонения через и будем исходить из следующего выборочного распределения.
Таблица 11.1
Интервалы значений (мк) |
Частоты значений |
Интервалы значений (мк) |
Частоты значений |
(-20; -15) |
7 |
(5; 10) |
41 |
(-15; -10) |
11 |
(10; 15) |
26 |
(-10; -5) |
15 |
(15; 20) |
17 |
(-5; 0) |
24 |
(20; 25) |
7 |
(0; 5) |
49 |
(25; 30) |
3 |
Пусть известным образом вычислены = 4,3 мк и = 9,7 мк.
Согласно рекомендациям, данным выше, объединим последние два интервала таблицы 11.1. В результате получим уже 9 (m = 9) частичных интервалов (вместо первоначальных десяти). Теперь заполним следующую таблицу.
Таблица 11.2
Интервалы значений |
|
|
|
|
(- ; -15) |
0,0233 |
7 |
4,66 |
1,18 |
(-15; -10) |
0,0475 |
11 |
9,50 |
0,24 |
(-10; -5) |
0,0977 |
15 |
19,54 |
1,05 |
(-5; 0) |
0,1615 |
24 |
32,30 |
2,13 |
(0; 5) |
0,1979 |
49 |
39,58 |
2,24 |
(5; 10) |
0,1945 |
41 |
38,90 |
0,11 |
(10; 15) |
0,1419 |
26 |
28,38 |
0,20 |
(15; 20) |
0,0831 |
17 |
16,62 |
0,01 |
(20; + ) |
0,0526 |
10 |
10,52 |
0,02 |
Сумма |
1 |
200 |
200 |
7,18 |
Здесь
;
;
...........................................................................................
Поскольку
,
(0,05; 93) = (0,05; 6)=12,6,
то
< .
В ы в о д. В нашем случае при уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении величин отклонений от номинала контролируемого размера изделий.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ