2.3. Крутящие моменты. Эпюры крутящих моментов

Деформация кручения наиболее распространена в валах. Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из мо­ментов М_К, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то из шести усилий и моментов в у любом сечении остается толь­ко крутящий момент М_кр.

Внутренний момент М_кр выражается через внешние М_к: М_кр в сечении равен сум­ме внешних моментов M_Ki расположенных по одну сторо­ну от сечения.

Если стержень (вал) вращается равномерно, то алгебраическая сумма всех М_к равна нулю. Поэтому резуль­тат получится один и тот же, будем ли при вычислении М_кр брать сумму моментов М_к, расположенных слева или справа от сечения.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки.

Внимание! Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части, точно также, как правило знаков для продольного усилия связано не с направлением оси z, а с видом деформации рассматриваемой части бруса.

■ Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил. Положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии

Рассмотрим в качестве примера построение эпюр крутящих мо­ментов для трансмиссионного вала, схема которого представлена на рис. 3.

Рис 3.

Разбиваем стержень на участки /, //, ///, IV. Выбираем на­чало координат в крайней левой точке вала. Так как трением в под­шипниках пренебрегаем, то в любом сечении на участке /

(0< х < а) М = 0

Проведя произвольные сечения с переменной абсциссой х, на остальных участках вала получим соответственно:

II участок (а < х < 2а): М_кр = М_к1 = 160 н • м (слева);

III участок (2а < х < За); М_Kp = М_к1 + М_к2 = (160 + 80) н • м = 240 н • м (слева);

IV участок (За < х < 5а): М_кр = М_к1 + М_к2–М_к3 = (160 + 80 - 300) н • м = –60 н • м (слева);

М_кр = — М_к4 == — 60 н • м (справа).

Величины крутящих моментов на всех участках не зависят от абсциссы сечения, поэтому эпюра крутящих моментов имеет вид трех прямоугольников (рис. 3, б). В тех сечениях, где приложены сосредоточенные внешние моменты М_K, получаются скачки на ве­личину этих моментов. Заметим, что в месте скачка крутящие мо­менты не определяют. Их вычисляют на бесконечно близких рас­стояниях слева и справа от скачка.

Построенная эпюра (рис. 3, б) показывает, что, хотя к валу и приложен момент М_кз = 300 н • м, наибольший крутящий момент в сечении равен лишь 240 н • м. Эту величину и следует использовать при расчете на прочность и жесткость. Направление крутящих моментов в сечениях наиболее загруженной части вала — участке III — показано на рис. 3, в.

На практике часто бывают заданы не моменты М_к н • м, приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а переда­ваемые на них или снимаемые с них мощности N вт и число обо­ротов вала в минуту п. Установим зависимость между этими вели­чинами.

Как известно из курса теоретической механики, момент совер­шает работу на угле поворота. Обозначив угловую скорость вала через , найдем, что за t с диск повернется вместе с валом на угол

рад

и момент М_к н • м совершит работу и мощность

где n – число оборотов в минуту