2.6. Построение эпюр q и m для балок

Рассмотрим порядок построения эпюр Q u M для наиболее ха­рактерных случаев нагружения балок.

Сосредоточенная сила на свободном конце консоли (рис. 10). Балка имеет лишь один участок. На­чало координат выбираем в крайней левой точкеА балки, ось х направляем вдоль оси балки направо

Вычисляем Q и М в произвольном сечении с абсциссой х.

Справа от рассматриваемого се­чения действует только одна сила P, поэтому

Поперечная сила одинакова во всех сечениях балки, по этому эпюра Q имеет вид прямоугольника. Функция М (х) линейна.

Рис 10 Для построения ее графика достаточно получить две точки — в начале и в конце участка:приX = 0 (сечение А) , при х = l (сечение В) .

Положительные ординаты эпюр Q и М откладываем вверх от базы.

На рис. 10 штриховой линией показана балка в деформиро­ванном состоянии. Как Сжаты нижние волокна балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибающих мо­ментов с осью балки, то эпюра М окажется как бы построенной на сжатых волокнах.

Равномерно распределенная нагрузка ин­тенсивностью q кгс/м на консоли (рис. 11). Попе­речную силу и изгибающий момент в произвольном сечении X бу­дем вычислять как результат действия распределенной нагрузки, расположенной слева от сечения:

Поперечная сила Q (х) изменяется по закону пря­мой линии, а изгибающий момент М (х) — по параболическому закону. Для построения эпюры Q вычисляем ординаты в двух точ­ках:

при х = 0 Q_A = 0; при х = l Qb= — gl и проводим прямую.

Эпюра М криволинейна, для ее построения вычисляем ординаты в трех сечениях:

и проводим через полученные три точки кривую.

Нагрузка интенсивностью q н/м, равно­мерно распределенная по всей длине про­лета двухопорной балки (рис. 12).

Вданном случае необходимо сначала определить опорные реакции. Равнодействующая всей распределенной нагрузки равнаgl, и линия действия ее проходит через середину балки. Поэтому

|

Вычисляя поперечную силу и изгибающий момент в произволь­ном сечении x как результат действия сил, расположенных слева от сечения x, (левую часть мысленно отбрасываем) получим

Эпюра Q будет прямоли­нейной, а эпюра М — параболической. Для построения эпюр вычисляем:

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем нулю производную от изгибающего момента М(х) по абсциссе х сечения:

Так как вторая производная, то в сечении при имеем максимальное значение момента:

Сосредоточенная сила Р, приложенная к двухопорной балке (рис. 13).

Прежде всего найдем опорные реакции:

В данном случае имеем на балке два участка. Вычисляем Q и М в произвольном сечении К₁ на участке АС (0 х а):

Следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинако­вы и эпюра Q имеет вид прямоугольника.

Изгибающий момент М (х) изменяется по линейному закону:

Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка:

при х = 0 Ма = 0;

при х = а

В произвольном сечении К₂ на участке СВ (а х l), рас­сматривая действие сил, расположенных справа от него, получим

;

Как и на участке АС, эпюра Q на участке СВ также имеет вид прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения ординат в точках С и В

при х; = а M_C =

при х: = / M_B = 0.

Эпюры пред­ставлены на рис. 13. Они показывают, что при х ~ а функция Q (х) терпит раз­рыв и на эпюре Q получается скачок, равный по абсолютной величине внеш­ней силе Р в этом сечении,на эпюре М в этом сечении имеет место излом (угловая точка).

Сосредоточенный момент в пролете двухопорной балки (рис. 14).

Находим опорные реакции, на­правив их вверх:

- отсюда

Меняем направление R_A на обратное. Отметив на участках АС и СВ произвольные сечения х1 и х₂, записываем уравнения для функций О (х) и М (х):

для участка АС (0 х а)

;

для участка СВ (а; х /)

;

На основании этих уравнений строим эпюры Q и М. Эпюра М расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку она построена на сжатых волокнах, видим, что на участке АС сжаты нижние волокна балки, а на участке С В — верхние. Этому соответ­ствует изображенная штриховой деформированная ось балки. В том сечении, где изгибающий момент меняет знак, на ней будет точка перегиба.

Там, где приложен внешний момент (сечение С), на эпюре Q изменений нет, а функция М (х) претерпе­вает разрыв и на эпюре М получается скачок, равный по величине внешнему моменту.

Сосредоточенные моменты на опорах однопролетной балки (рис. 15).

Рис 15

Находим опорные реакции:

Тогда для произвольного сечения, находящегося на расстоянии х от левой опоры,

Q(x) =R_A = 0; М(х) = М = const.

Итак, в любом сечении Q = 0, а изгибающий момент постоянен вдоль балки. Такой случай изгиба носит название чистого изгиба.