- •§ 1 Понятие числового ряда.
- •§ 2 Числовые ряды с положительными
- •2. Второй признак сравнения (предельный)
- •3. Признак Даламбера.
- •4. Признак Коши (радикальный)
- •§ 3 Знакопеременные ряды.
- •2. Элементы функциональных рядов.
- •§ 1. Определение функционального ряда
- •§ 2 Степенные ряды.
- •§ 3. Ряд тейлора. Приложения степенных
§ 2 Степенные ряды.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функцио – нальный ряд вида:
, (1)
где - действительные числа, которые называютсякоэф – фициентами ряда. Степенным рядом можно назвать также ряд
(2)
Следует заметить, что всякий степенной ряд вида (1) всег- да сходится в точке (а ряд вида (2) - в точке). Поэтому область сходимости степенного ряда всегда является непустым множеством.
Чтобы определить вид области сходимости степенного ря- да, докажем следующую теорему:
ТЕОРЕМА 1 (Абеля о сходимости степенного ряда).
Пусть степенной ряд (1) сходится в точке . Тогда он сходится в любой точке, удовлетворяющей нера- венству(причём абсолютно).
Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке , то он расходится и для всех, удовлетворяющих нера -венству.
Докажем эту теорему.
1. По условию, ряд сходится, следовательно, по необходимому признаку сходимости,. Но любая сходящаяся последовательность ограничена. Поэтому сущест- вует некоторое число, такое что для всехвыполняется неравенство:
. (3)
Ряд (1) можем записать в виде:
.
Так как, по предположению, , то получаем нера- венство:
.
Сумма ряда - это сумма геометрической прогрессии с. Данный ряд сходится. Поэтому сходится и ряд
, следовательно, ряд (1) сходится абсолютно.
2. Докажем от противного. Пусть ряд (1) сходится при некотором значении . Тогда, как только что было доказано, он должен сходиться и для всех, т.е. и для. Получаем противоречие с предположением тео- ремы. Следовательно, ряд расходится для всех.
Из теоремы Абеля можем сделать заключение о виде об- ласти сходимости степенного ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Радиусом сходимости степенного ряда называется некоторое число такое, что для всех, удов- летворяющих неравенству, ряд сходится, а для всех
ряд расходится.
Значение радиуса сходимости можно определить, используя известные признаки сходимости положительных числовых рядов.
Используя признак Даламбера, радиус сходимости можно найти следующим обраом: пусть . Тогда
.
По признаку Даламбера, ряд сходится, если предел данного отношения меньше 1. Следовательно, сходится при и расходится при. Тогда радиус сходимости определяет- ся формулой
. (4)
Аналогичным образом, используя радикальный признак Ко –ши, получаем ещё одно выражение для радиуса сходимости степенного ряда:
. (5)
Если , то степенной ряд сходится только в одной точкедля ряда (1), или, придля ряда (2).
ПРИМЕРЫ:
1. Найти область сходимости ряда: .
Для этого ряда, Тогда
и ряд сходится только в точке .
2. Найти область сходимости ряда: .
. Тогда
Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой .
ЗАМЕЧАНИЕ 1. В интервале сходимости, т.е. при степенной ряд сходится абсолютно. Еслиилиряд может сходиться или расходиться, поэтому требуется дополнительное исследование ряда на сходимость в этих точках.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть степенной ряд имеет радиус сходи -мости , тогда для любого, удовлетворяющего неравенству, степенной ряд (1) равномерно сходится для всех. (получается как следствие теоремы Вейерштрасса.). Отсюда получаем следующее следствие:
СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда яаляется непрерывной функцией внутри промежутка сходимости.
Учитывая замечание 2 и теоремы предыдущего параграфа, получаем следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 2. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и, то данный ряд можно почленно интегрировать по промежутку, т.е.
При этом полученный ряд имеет тот же радиус сходимости.
ТЕОРЕМА 3. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и, то данный ряд можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости, т.е.
причём полученный ряд имеет тот же радиус сходимости .
ЗАМЕЧАНИЕ. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, причём ряды, полученные в результате дифференцирова– ния, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.
Обычно нет смысла специально находить радиус сходимос -ти степенногл ряда. Область сходимости ряда непосредст- венно получается из неравенств:
(а), или . (б) (6)
Рассмотрим несколько примеров.
1. Найти область сходимости ряда: .
Для данного ряда .
Тогда область сходимости:
или . В данном про –межутке ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда на границах этого промежутка.
Пусть . Тогда из исходного ряда получаем числовой ряд~ . В правой части
стоит гармоничесуий ряд, о котором известно, что он расхо – дится. Следовательно, данный ряд расходится при .
Пусть . Тогда ряд имеет вид:
.
Получили знакопеременный ряд, который, как было проверено выше, не имеет абсолютной сходимости. Проверим выполне -ние условий признака Лейбница:
(1) для всех;
(2) .
Таким образом, по признаку Лейбница, в точке ряд сходится условно, и область сходимости данного ряда
2. Найти область сходимости ряда .
.
Тогда область сходимости:
Область сходимости определяется следующим образом:
. Исследуем ряд на сходимость на границе области.
Пусть . Тогда получаем ряд:
~ .
Ряд, стоящий справа, сходится, как обобщённый гармоничес -кий ряд со степенью . Тогда сходится и ряд, стоя -щий слева.
При получаем такой же ряд:
~ и ряд также сходится. Поэтому область сходимости данного ряда:.
3. Найти область сходимости ряда .
По формуле (6) б, область сходимости имеет вид:
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
Пусть . Тогда получаем ряд
.
. Поэтому ряд расходится.
При ряд имеет вид:
.
Данный знакочередующийся ряд расходится, так как не вы -полнено второе условие признака Лейбница: .
Следовательно, область сходимости ряда .