§ 3. Ряд тейлора. Приложения степенных
РЯДОВ В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.
Пусть
- некоторая функция, имеющая непрерывные
производные произвольного порядка.
Предположим,
что в интервале
функцию
можно разложить в ряд по степеням
,
т.е.
(1)
Выразим коэффициенты этого ряда через значения функции и её производных.
Продифференцируем
этот ряд в интервале сходимости
раз. Получаем:
При
имеем:
Таким
образом, получаем следующие коэффициенты
ряда (1):
Подставив
эти выражения в формулу (1), получим:
Ряд,
стоящий в правой части данного
равенства, называет -ся рядом
Тейлора
для функции
.
В
частности, в случае
,
получаем так называемыйряд
Маклорена:
ЗАМЕЧАНИЕ.
Необходимые и достаточные условия
возмож - ности представления функции
в виде степенного ряда задаёт теорема
Тейлора, которая рассматривалась в
разделе дифференциального исчисления
функции одной переменной.
ПРИМЕР.
Написать разложение по степеням
функции:
В
данном примере
.
Преобазуем функцию, раскрыв скобки:
Найдём производные:
Все остальные производные равны нулю. Поэтому получаем следующий ряд :
Разложения в ряды Тейлора (Маклорена)
основных элементарных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
;
В частности,
6.
7.
.
Интервалы сходимости данных рядов легко найти с помощью обычных методов.
Используя данные разложения, можем получить разложения в ряды Маклорена и других функций.
Например,
разложение в степенной ряд функции
име -ет вид
ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.
ПРИМЕРЫ.
Обычное приближённое вычисление.
Вычислить приближённо с точностью до
.
Преобразуем подкоренное выражение:
Используя разложение функции 5 в
степенной ряд для
при
получаем:
(Мы учли свойство знакопеменных рядов, которое заклю - чается в том, что точность вычисления суммы ряда опреде -ляется величиной первого отбрасываемого слагаемого).
Приближённое вычисление интегралов.
2.
Вычислить с точностью
интеграл:
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
Проинтегрируем полученную функцию:
Вычислить с точностью
интеграл:
Разложим
в степенной ряд подынтегральную
функцию
. Тогда
Приближённое решение дифференциальных уравнений.
Найти решение дифференциального уравнения в виде разложения его в степенной ряд:
При
данном начальном условии,
Продифференци - руем данное уравнение:
,
тогда
Про –должаем дифференцирование:
Используя
формулу (3), получим решение данного
диффе -ренциального уравнения в виде:
5.
Найти пять первых ненулевых члена
разложения в сте -пенной ряд решения
дифференциального уравнения:
Или
.
При данных начальных условиях
.
Продифференцируем уравнение:
Тогда, по формуле (3), получаем решение дифференнци- ального уравнения в виде ряда:
.
6. Найти решение дифференциального уравнения:
Разделив
данное уравнение на
,
получим уравнение в виде:
,
или
Найдём следующие производные:
Можно
проверить, что если будем вычислять
очередные про –изводные в точке
,
опять получим нулевые значения.
Получаем
решение дифференциального уравнения
в виде:
Это точное решение данной задачи Коши дифференци- ального уравнения, что легко проверить непосредственной подстановкой.
Найти шесть первых ненулевых члена разложения в
ряд Тейлора решения задачи Коши дифференциального урав -нения:
Тогда
решение получаем в виде:
