3.5. Метод наименьших квадратов

Пусть имеются данные наблюдений в точках,,, …,некоторой величиныи получены соответствующие значения,,, …,.

Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величиныот параметров (координат) точек измерения.

При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .

Неизвестные параметры эмпирической функции инеобхо­димо определить так, чтобы значения функциипо возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функциив точках,,, …,от изме­ренных значений,,, …,.

Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменнымии приравняем их к нулю.

Коэффициенты иопределяются из системы так называемых нормальных уравнений.

Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргументаполучены пять значений величины.

	-2	0	1	2	4
	0,5	1	1,5	2	3

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависи­мость между ив виде линейной функции.

Решение

Значение параметров инайдём из системы . Выполним необходимые вычисления:

Запишем систему:

Решим систему по формулам Крамера:

Значит ,.

Функция имеет вид .

4. Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка

4.1. Основные понятия

Уравнение вида

,

где - независимая переменная;

,- неизвестная функция и её производная,

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид

.

Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Например:

,,.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

Например, функция является решением дифференциаль­ного уравнения, так как.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения)

Если функция и её частная производнаянепрерывны в некоторой областиплоскости, то в некоторой окрестности любой внутренней точкиэтой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиюпри.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.

Условия, которые задают значение функции в точке, называют начальными условиями и записывают

или.

Задача нахождения решения , удовлетворяющего условию , называется задачей Коши.

Общим решениемуравнения называется функция, удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении.

Частным решениемназывается функция, полученная при определённом значении.

Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения .

Уравнение , где- некоторое конкретное значение постоянной, называется частным интегралом.