САУ_лабораторные

	a2	d 2Y t	a1	dY t	a0Y t X t .	(4)
		dt2		dt

Значения коэффициентов уравнения (4) могут быть определены при нулевых начальных условиях: X(0)=Y(0)=Y΄(0)=Y΄΄(0)=0. Для статического объекта при t→∞ переходные процессы будут закончены и Y΄(∞)=Y΄΄(∞)=0. Тогда

a0	X		%ходаИМ
					,	(5)
	Y		ед. вых. параметра

где Х(∞) и Y(∞) новые установившиеся значения входного и выходного параметров.

Если проинтегрировать уравнение (4) в пределах от t=0 до t=∞ можно определить коэффициент а1:

	a0			a0		% хода ИМ c
a1		Y	Y t dt		J1		.	(6)
	Y			Y
		0				ед. вых. парам

Для определения коэффициента а2 уравнение (4) следует проинтегрировать дважды: в пределах от t=0 до t=∞, а затем от от t до t=∞:

1

a2 Y

1

Y

a Y	Y t dt a		Y	Y t dt2
1	0
0			0 t
		% хода ИМ		c2		(7)
a1J1 a0 J2					.
		ед. вых. параметра

Подынтегральная функция [Y(∞) – Y(t)] для уравнений (6), (7) задана графически кривой разгона, как разность между новым установившимся значением выходной величины и ее текущим значением.

Разобьем отрезок времени от внесения возмущения до момента достижения нового установившегося значения на n интервалов и определим для каждого i-участка разбиения (момента времени) значения [Y(∞) – Y(t)]. Данные для приближенного численного интегрирования удобнее заносить в таблицу.

Число интервалов разбиения не должно быть слишком большим n<10. Каждый интервал необходимо выбирать так, чтобы аппроксимирующая ломаная линия возможно ближе подходила к экспериментальной кривой разгона, то есть интервалы времени Δτi могут быть различны.

Если объекту свойственно чистое (транспортное) запаздывание τЧ, то при определении коэффициентов уравнения следует рассматривать лишь участок кривой разгона после времени чистого запаздывания. Время τЧ должно быть учтено путем изменения начала отсчета. В этом случае уравнение (4) примет вид:

11

	a2	d 2Y t	a1	dY t	a0Y t X t Ч .	(8)
		dt2		dt

Рассмотрим в качестве примера определение коэффициентов уравнения по нормированной экспериментальной переходной характеристике температуры поверхности металла в сварочной зоне печи. Температура поверхности (точнее, слоя окалины) измеряется пирометром, способным фиксировать всплески тепловой радиации факела, что отчетливо видно на рис. 2. Экспериментальная характеристика (линия 1) была усреднена и после сглаживания определены параметры ОУ: время транспортного запаздывания τЧ=4 с, ТО=17 с, КОБ =0,89 °С/%хода ИМ.

о					1
Y, С
0,8
				2
0,4
0,0	tЗ	TO	40	60	80	100	t, c
	Рис. 2. Экспериментальная переходная характеристика:
		1 – показания пирометра, 2 – после усреднения

Данные для приближенного численного интегрирования сведем в таблицу 1. Число интервалов разбиения n=8. Значения коэффициентов уравнения (8) определяем по формулам

(5) – (7) и данным рассчитанным в таблице (выделены жирным шрифтом):

a0	1					1				1,12		1		;
		Y				0,89						С
a1		a0			J1	1,12							%			хода ИМ c
										11,15		14,07						;
	Y					0,89
																С
a2		1			14,07			11,15			1,12		147,37			9,78	% хода ИМ c2		.
	0,89																	С

Дифференциальное уравнение ОУ примет вид:

	9,78	d 2Y t	14,07	dY t	1,12Y t X t 4 .	(9)
		dt2		dt

12

Таблица 1

Приближенное численное интегрирование

			Y(∞)-Y(t),	Δτk·(4k+4k+1)			n	Δτk·(6k+6k+1)			n
t, c	Δτi, c	Y(t), °C	°C	2	J	1	5i	2	J	2	7i
						i	k			i	k
1	2	3	4	5		6		7		8
4,0	7,5	0,00	0,89	4,95		11,15		65,04		147,37
11,5	8,5	0,46	0,43	2,85		6,20		40,58		82,33
20,0	10,0	0,65	0,24	1,85		3,35		24,25		41,75
30,0	10,0	0,76	0,13	0,90		1,50		10,50		17,50
40,0	10,0	0,84	0,05	0,35		0,60		4,25		7,00
50,0	10,0	0,87	0,02	0,15		0,25		1,75		2,75
60,0	20,0	0,88	0,01	0,10		0,10		1,00		1,00
80,0	–	0,89	0,00	0,00		0,00		0,00		0,00

По формуле (9) составим характеристическое уравнение в операторном виде, определим корни уравнения:

9,78 p 2 14,07 p		1,12			0;
14,07		14,07 2			4	9,78	1,12
p1,2									1,355;	0,085;
		2		9,78

Оба корня вещественные отрицательные, следовательно, объект можно представить последовательным соединением двух инерционностей первого порядка. Преобразуем каждую скобку, определим постоянные времени инерционных звеньев 11,76 и 0,74 с:

			p 1,355 р		0,085		0;
			0,74 p 1 11,76 р 1				0.
	11,76			1,07;	0,74			0,07
	0,74	11,76			11,76		0,74

Переходная характеристика объекта (реакция на единичное ступенчатое воздействие ОУ) это и есть точное решение дифференциального уравнения (9):

	Y (t) 0,89 1 1,07 exp		t 4	0,07 exp	t	4	.
		11,76			0,74

Если известно точное решение дифференциального уравнения, то для построения расчетной траектории кривой разгона объекта Y*(t) необходимо:

Y * (t) X K	ОБ	Y t Y	,	(10)
		1

13

где Х – изменение входной величины ОУ, Y1 – начальное значение выходной величины, Y(t) – точное решение.

График переходной характеристики можно получить с помощью численного метода решения уравнения (9), см. приложение А.

Уравнение объекта II порядка может быть задано в виде:

T

2

d 2Y t

T

dY t

Y t

K

X t ,

ОБ

2

dt 2

1

dt

1

(11)

K

ОБ

; Т

1

a K

ОБ

; Т

2

a

2

K

ОБ

.

а0

1

2. Определение динамических параметров объекта по кривой разгона

Наиболее просто и наглядно дает представление о характеристике переходного процесса в объекте кривая разгона, представляющая собой траекторию изменения выходного параметра во времени при однократном скачкообразном возмущении на входе.

Вид кривой разгона Y(t) зависит от изменения скорости выходной величины во времени, то есть производной dY(t)/dt, что в свою очередь определяется свойствами объекта.

Если изменение выходной величины после скачкообразного входного воздействия происходит с постоянно уменьшающейся скоростью до момента достижения нового установившегося значения, то кривая разгона имеет экспоненциальный вид, а объект представляет собой инерционное звено I порядка, см. рис. 3, линия 1.

Y(t)		dY(t)
1		dt
2			2
			1
t1	t2 t, c	t1	t2 t, c
a			б

Рис. 3. Кривые разгона (а) и характер изменения производной выходной величины (б): 1 – объект I, 2 – объект II порядка

Если изменение выходной величины после скачкообразного входного воздействия происходит сначала с увеличением скорости, а затем с уменьшением dY(t)/dt до момента достижения нового установившегося значения, то кривая разгона имеет S-образный вид, а объект представляет собой инерционное звено II порядка, см. рис. 3, линия 2.

Кривые разгона, полученные на промышленных объектах в большинстве имеют S- образный вид, что характерно для объектов II и более высоких порядков, см. рис. 4. Для количественной оценки динамических свойств объектов используются следующие параметры:

Время запаздывания З – отрезок времени от начала возмущения до момента начала изменения выходной величины с постоянной максимальной скоростью или до момента пересе-

14

чения касательной к Y(t) в точке М максимальной скорости dYdt max с начальным установившимся значением Y1.

Постоянная времени (время разгона)ТО – время, в течение которого выходная величина переходит из одного установившегося состояния Y1 в другое Y2, при условии изменения этой величины с постоянной максимально возможной скоростью dYdt max при подаче на вход

ступенчатого воздействия. Время разгона характеризует инерционные свойства объекта.

Коэффициент передачи объекта КОБ – число единиц изменения выходной величины, приходящихся на единицу изменения входной величины:

KОБ	Y		ед. выходной величины	.	(12)
	X
			ед. входнойвеличины

X(t)

X 2

X

X1

t

Y(t)

Y2

		Y
	M
Y1		t
t З	TO

Рис. 4. Экспериментальная кривая разгона реального ОУ

3.Порядок выполнения работы

1.Изучить методику определения коэффициентов дифференциального уравнения по экспериментальной кривой разгона. Получить допуск к выполнению исследования по данной теме.

2.Включить лабораторную установку. При включении загорается сигнал «работа включена».

3.Определить экспериментальную динамическую характеристику ОУ (кривую разгона) выполнив последовательно следующие операции:

15

а) Установить переключатель УП-1 выбора режима управления ИМ в положение «дистанционный» или «ручной».

б) С помощью переключателя УП-2 выбора ручного направления движения ИМ, выбирая команды «больше», «меньше», установить по индикатору положения вала ИМ на отметку 40-50% хода ИМ. Наблюдая за движением стрелки вторичного прибора, контролирующего текущее значение выходного параметра ОУ, дождаться окончания переходного процесса.

в) Переключателем УП-2 изменить положение выходного вала ИМ на 10-20% хода ИМ (лучше в направлении увеличения Y(t)) и зафиксировать в журнале наблюдения время движения ИМ.

г) Одновременно с момента начала движения ИМ фиксировать через равные интервалы времени 5-10с текущее значение выходного параметра Y(t) по шкале вторичного прибора до момента окончания переходного процесса, то есть практического прекращения движения стрелки.

4.Используя полученные экспериментальные данные построить траектории изменения во времени входного управляющего воздействия Х(t) и выходного регулируемого параметра Y(t) (аналогично рис. 4).

5.По полученной экспериментальной кривой разгона в соответствии с рекомендованной методикой определить динамические параметры объекта: З, ТО, КОБ,.

6.Сделать вывод относительно типа исследуемого объекта. Записать дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в ОУ, рассчитать коэффициенты уравнения в соответствии с изложенной методикой.

7.Решить полученное уравнение и построить график расчетного переходного процесса

спомощью программы размещенной в приложении А или другим научным методом.

8.Сравнить расчетный график с экспериментальным. Сделать вывод о точности метода. В случае больших отклонений повторить п.5-7 для другого типа объекта.

4.Содержание отчета

1.Формулы для расчета коэффициентов дифференциальных уравнений численным методом.

2.Экспериментальные данные и график экспериментальной кривой разгона.

3.Таблица для расчета коэффициентов уравнения. Итоговое результирующее уравнение и его решение.

4.График расчетной кривой разгона ОУ совмещенный с экспериментальным графиком.

5.Выводы о точности используемого метода.

5.Вопросы для самостоятельной подготовки

1.Запишите формулы количественной оценки динамических свойств ОУ.

2.Что такое переходная характеристика? Как определить уравнение переходной характеристики объекта?

3.Запишите уравнение динамики для объектов I и II порядков.

4. Запишите формулы для расчета коэффициентов дифференциальных уравнений.

5. Постройте кривую разгона, по известному уравнению динамики объекта:

0,1Y΄(t) + Y(t) = 2,5Х(t).

16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА

В КРИВУЮ РАЗГОНА

Цель работы: изучить характеристики объектов, научиться перестраивать кривую разгона из импульсной характеристики объекта.

1.Общие сведения

ВТАУ широко применяется операторная форма записи дифференциальных уравнений. Преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях позволяет значительно упростить запись и решение дифференциальных уравнений:

	L	d n y t		pn Y p ,		L	dy t		p Y p ,
		dtт					dt
									(13)
				1
	L	y t dt			Y p ,	L Const y t			Const Y p .
				p

Уравнение (13) в операторной форме будет примет вид:

a2 p 2 a1 p1 a0 Y p X p ,

(14)

где Y(p), Х(p) – изображение по Лапласу выходного и входного сигналов.

Операторная форма записи уравнения позволяет получить очень важную динамическую характеристику объекта W(p) – передаточную функцию (ПФ):

W p	Y p			1		.	(15)
	X p a p2			a p
					a
	2			1	0

ПФ определяет отношение выходной величины к входной величине объекта (или динамического звена, системы) в операторной форме по Лапласу при нулевых начальных условиях. По передаточной функции можно определить выходной сигнал звена в каждый момент времени при любом входном воздействии:

y t L 1 W p X p L 1 W p L x t ,

(16)

где L-1{} – обратное преобразование Лапласа.

Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Это позволяет сравнивать отдельные звенья между собой с точки зрения их динамических свойств. А также, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как система будет вести себя при сложных изменениях входной вели-

17

чины. К типовым воздействиям относятся: единичное ступенчатое (скачкообразное) 1(t), единичное импульсное δ(t), гармоническое синусоидальное sin(ωt).

Импульсная (весовая) характеристика g(t) описывает реакцию звена на импульсное (единичное импульсное) воздействие при нулевых начальных условиях.

Единичный импульс представляет очень короткий импульс, ограничивающий единичную площадь, продолжительность импульса стремится к нулю, а высота – к бесконечности. Математически он описывается дельта-функцией δ(t) = 1΄(t).

0, при t	0	t dt 1.
t	,		(17)
, при t	0

Примерное изображение дельта-функции и импульсной характеристики для объектов с самовыравниванием и без самовыравнивания представлено на рис. 5.

Импульсную (весовую) характеристику можно найти математически по ПФ, выполнив обратное преобразование Лапласа или продифференцировав кривую разгона h(t) (переходную функцию):

g(t) L 1{W ( p)}	dh(t)	.	(18)
	dt

На практике проще получить переходную или импульсную характеристику экспериментально, а уже затем по ним вычислить ПФ.

s(t)								s(t)
o								o

t

t

g(t)

g(t)

t	t
a	б

Рис. 5. Импульсная характеристика объекта с самовыравниванием (а) и без самовыравнивания (б)

18

2.Перестроение импульсной характеристики объекта в кривую разгона

Видеальном случае импульсное воздействие имеет вид прямоугольника и тогда его можно представить как алгебраическую сумму двух равных по величине и противоположных

по направлению однократных скачкообразных возмущений в моменты времени t1 и t2 соответственно δ(t)=1(t1) – 1(t2); продолжительность импульсного воздействия tИМП = t2 – t1, см. рис. 6.

Теоретически подобным образом любое входное воздействие можно разложить на сумму простейших скачкообразных воздействий. И изменение выходной величины определять как сумму реакций звена на простейшие единичные воздействия. Например, траектория изменения выходного сигнала во времени при подаче на вход объекта импульса продолжительностью tИМП определяется:

g(t) yП (t)	yП (t tИМП ),	(19)
где yП (t) – переходная характеристика объекта,	yП (t tИМП) – та же характеристика, но сме-

щенная по оси времени вправо на время tИМП .

Для построения кривой разгона импульсную характеристику g(t) разбивают по времени на 4-5 равных участков Δt, каждый из которых равен продолжительности импульсного входного возмущающего воздействия tИМП, см. рис. 7. С целью повышения точности построения кривой разгона каждый интервал Δt следует разбить на 10 мелких интервалов времени Δtij (j=10), но для простоты иллюстрации выберем i=4, j=4.

1(t)

0

t 1

t

-1(t)

0			t2		t

so (t)
		t ИМП
0	t1	t 2	t

Рис. 6. Представление импульсной характеристики

На первом участке Δt1, см. рис. 7, траектория импульсной характеристики совпадает с траекторией кривой разгона. На втором участке Δt2 ординаты yП(t) получаем складывая соответствующие ординаты первого и второго участков разбиения импульсной характеристики:

19

			yП(t21)= y(t11) + y(t21)= а1 + а2;
			yП(t22)= y(t12) + y(t22)= b1 + b2;
			yП(t23)= y(t13) + y(t23)= c1 + c2;											(20)
			yП(t24)= y(t14) + y(t24)= d1 + d2.
	На третьем участке разбиения Δt3 ординаты yП(t) получаем, суммируя соответствующие
	ординаты второго участка yП(t) и третьего участка импульсной характеристики:
	yП(t31)= yП (t21) + y(t31)= (а1 + а2) + а3;
	yП(t32)= yП (t22) + y(t32)= (b1									+ b2) + b3;				(21)
	yП(t33)= yП (t23) + y(t33)= (c1 + c2) + c3;
	yП(t34)= yП (t24) + y(t34)= (d1 + d2) + d3.
	х(t)
	tИМП							X
													t
	g(t)			yП(t)
			1
		a
				1	1	2 2		2 2		3 3		3	3
				b1 c d +a			+b	+c	+d	+a	+b	+c	+d
						1	1	1	1	2	2	2	2
						a b c d				+a	+b	+c	+d
										1	1	1	1
										a b c d
	1
	a
	1	1	2	2	2
						3
								3	3
	b1 c d a b2 c d a b3 c d
	t1			t 2			t 3				t4		t
	Рис. 7. Перестроение импульсной характеристики g(t) в кривую разгона yП(t)

На четвертом участке разбиения Δt4 ординаты yП(t) получаем, суммируя соответствующие ординаты третьего участка yП(t) и четвертого участка импульсной характеристики:

yП(t41)= yП (t31) + y(t41)= (а1 + а2 + а3) + а4.

(22)

И так далее для всех участков разбиения, пока не будет определено новое установившееся состояние. Параметры объекта З, ТО и КОБ определяем графически по перестроенной кривой разгона способом, рассмотренным в л.р. №2.

20