- •Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
- •Тема 1.2. Алгебраические структуры
- •Тема 1.3. Основные свойства групп
- •Тема 1.4. Поля и кольца
- •Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств
- •Тема 2.2. Подмножество, понятие универсального множества
- •Тема 2.3. Операции над множествами
- •Раздел 3. Основные теоремы комбинаторики
- •Тема 3.1. Метод математической индукции
- •Тема 3.2. Основные принципы комбинаторики
- •Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания
- •Тема 4.2. Размещения и перестановки
- •Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
- •Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений
- •Тема 5.3. Метод производящих функций
- •Тема 5.4. Метод траекторий
- •Тема 5.5. Примеры комбинаторных задач
- •Раздел 6. Соответствие, отношение, отображение Тема 6.1. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств
- •Тема 6.2. Определения и свойства
- •Тема 6.3. Типы отношений
- •Пересечение и объединение отношений
- •Композиция отображений и отношений
- •Тема 6.5. Решётки
- •Тема 6.4. Верхняя и нижняя границы множества.
- •Раздел 7. Операции булевой алгебры Тема 7.1.Понятие высказывания, простые и составные высказывания
- •Тема 7.2.Операции на множестве высказываний
- •Отрицание
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •«Исключающее или»
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Раздел 8. Законы и тождества Булевой алгебры Тема 8.1.Формулы Булевой алгебры
- •Тема 8.2.Законы и тождества Булевой алгебры
- •Тема 8.3.Составление формулы по заданной таблице истинности
- •Тема 8.4. Двойственность
- •Тема 8.5.Булева алгебра и теория множеств
- •Тема 8.6.Днф, интервалы и покрытия
- •Раздел 9. Функциональная полнота. Алгебра Жегалкина
- •Тема 9.1.Функционально полные системы
- •Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •Тема 9.3.Замкнутые классы. Монотонные функции
- •Тема 9.4.Теоремы о функциональной полноте
- •Раздел 10. Хорновские формулы
- •Тема 10.1.Задача получения продукции
- •Тема 10.2.Решение задачи о продукции
- •Алгоритм замыкание(X,f)
- •Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,f)
- •Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,f)
- •Раздел 11. Теория релейно-контактных схем Тема 11.1.Основные понятия
- •Тема 11.2.Основные задачи теории релейно-контактных схем
- •Тема 11.3.Построение машины голосования
- •Тема 11.4.Двоичный сумматор
- •Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач
- •Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката
- •Тема 12.2.Логические операции над предикатами
- •Тема 12.3.Кванторы
- •Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов
- •Раздел 13. Теория графов
- •Тема 13.1.Основные определения теории графов
- •Тема 13.2. Способы задания графов
- •Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
- •Тема 13.4. Числовые характеристики графа
- •Тема 13.5.Изоморфизм графов
- •Раздел 14. Проблемы достижимости на графах Тема 14.1.Граф достижимости
- •Тема 14.2.Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа
- •Раздел 15. Некоторые классы графов Тема 15.1.Деревья
- •Тема 15.2. Обход графа
- •Тема 15.3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Раздел 16. Машина Тьюринга
- •Тема 16.1. Формальное описание машины Тьюринга
- •Тема 16.2. Примеры построения машины Тьюринга
- •Тема 16.3. Свойства машины Тьюринга как алгоритма
- •Раздел 17. Машина Поста
- •Тема 17.1. Теоретическая часть. Состав машины Поста
- •Тема 17.2. Применимость программ. Определение результата выполнения программ
- •Раздел 18. Основные понятия теории автоматов Тема 18.1. Общие подходы к описанию устройств, предназначенных для обработки дискретной информации
- •Тема 18.2. Способы задания конечного автомата
- •Тема 18.3. Эквивалентные автоматы
- •Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили
- •Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов
Тема 13.2. Способы задания графов
Пусть – вершины графа, а– его дуги или рёбра. Существуют различные способы задания графов:
матрицей смежности;
матрицей инцидентности;
перечислением упорядоченных или неупорядоченных пар смежных вершин;
заданием множества вершин графа, и способа отображения множества в множество.
Матрица смежности для неориентированного графа - это бинарная матрица, размерностью, такая что:
Пример 13.2:
Матрица смежности для ориентированного графа - это матрица, размерностью, такая что:
Пример 13.3:
Матрица инцидентности для неориентированного графа - это бинарная матрица, размерностью, такая что:
Матрица инцидентности для ориентированного графа - это матрица, размерностью, такая что:
Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
Граф даёт удобное геометрическое представление отношений на множестве. Будем считать, что на графе введено отношение порядка, если для любых двух вершини, удовлетворяющих условию, существует путь изв. В этом случае говорят, что вершинапредшествует вершине, или чтоследует за вершиной. Покажем, что данное определение отражает на графе все свойства отношения порядка.
Рефлексивность: Условие– истинно. Это означает эквивалентность вершины самой себе. Однако, при желании, это условие можно рассматривать как наличие петли в вершине.
Транзитивность: Условие «еслии, то» означает, что вершины последовательно встречаются на одном и том же пути.
Антисимметричность:«еслии, то». Левая часть этого выражения говорит о том, что существует путь изви путь изв. Т.о. в графе существует контур, на котором лежат вершиныи. Из правой части свойства вытекает, что вершины лежащие на одном контуре – эквивалентны. Будем рассматривать этот вывод, как определение отношения эквивалентности на графе и покажем, что такое определение удовлетворяет всем условиям отношения эквивалентности.
Рефлексивность: Условие– вытекает из определения отношения эквивалентности. Всегда можно считать, что существует путь извдлины 0.
Транзитивность: Условие «еслии, то» так же очевидно, так как если в графе есть контур, содержащий вершиныи, и есть контур, содержащийи, то существует контур, содержащий вершиныи.
Симметричность: Условие «если, то» так же очевидно и вытекает из определения отношения эквивалентности и понятия контура графа.
Таким образом, отношения порядка и эквивалентности определяют некоторый связный граф.
На графе может быть также введено отношение строгого порядка. В этом случае для любых двух вершин и, удовлетворяющих условию, существует путь, идущий изв. В этом случае условие антирефлексивности означает отсутствие петель, а условие несимметричности говорит об отсутствии контуров. Т.о. отношение строгого порядка определяет граф без петель и контуров.
Тема 13.4. Числовые характеристики графа
Определение: Пусть– неориентированный граф, имеющий– вершин,– рёбер и– компонент связности.Цикломатическим числом графаназывается.
Это число имеет интересный физический смысл – оно равно наибольшему числу независимых циклов в графе. При расчёте электрических цепей цикломатическим числом можно пользоваться для определения числа независимых контуров. Ещё одно свойство – это число показывает, какое наименьшее число рёбер надо удалить, чтобы получить граф без циклов.
Определение:Множествографаназываетсявнутренне устойчивым, если никакие две вершины изнесмежны, т.е. для.
Определение:Множество внутренней устойчивости, содержащее наибольшее число элементов, называетсячислом внутренней устойчивостиграфа.