Тема 18.3. Эквивалентные автоматы

Автоматы являются устройствами для переработки дискретной информации. При этом характером перерабатываемой информации определяется входной и выходной алфавиты (и); алфавит внутренних состояний () определяется строением автомата и, вообще говоря, он может различаться у разных автоматов с одинаковыми входными и выходными алфавитами. Следовательно, одно и то же преобразование информации может быть осуществлено автоматами с разным числом состояний и, следовательно, посредством различного числа команд. Введём ряд определений:

Состояния автоматаиавтоматасчитаются эквивалентными, если оба автомата, получив одну и ту же (любую) входную последовательность символов, перерабатывают её в одинаковую выходную последовательность.

Автоматы иназываются эквивалентными, если для каждого состояния автоматасуществует эквивалентное ему состояние автоматаи наоборот.

Другими словами, эквивалентные автоматы реализуют одинаковые преобразования, но могут иметь различное число внутренних состояний.

Понятие эквивалентности состояний применимо и к одному автомату (формально можно считать, что исовпадают). Для одного автомата эквивалентными будут различные состояния, через которые одна и та же входная последовательность символов преобразуется в одинаковую выходную.

Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили

На практике наибольшее распространение получили два класса автоматов - автоматы Мили и Мура. Закон функционирования автомата Мили задаётся уравнениями:

Автоматами Мура называют автоматы, у которых выход зависит только от состояния, и не зависит от значения входа:

Теорема: Для любого автомата Мура существует эквивалентный автомат Мили и наоборот.

Доказательство теоремы построим на преобразовании автомата одного типа в автомат другого типа, на примере конкретных автоматов, описанных с помощью графов.

Необходимость:  Докажем, что для любого (полностью определённого) автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили.

Рассмотрим автомат Мура, описанный в виде графа

Перенесём выходы автомата с вершин графа на входящие ветви графа.

Достаточность: Докажем, что для любого полностью определённого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура. Рассмотрим автомат Мили, с заданными алфавитами, описанный в виде графа

Таким образом получим граф, который описывает автомат

Докажем, что автоматы иэквивалентны. Для этого докажем, что для любого состоянияавтоматасуществует эквивалентное ему состояниеавтоматаи наоборот. Покажем, что для любого состояния множествасуществует эквивалентное из множества.

;;;

покажем обратное утверждение

;;;;;;

В связи с синтезом схем практический интерес представляет задача построения автомата, выполняющего заданный набор преобразований при минимальном числе внутренних состояний.

Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов

Пример: Синтезировать автомат, на вход которого поступают в любом порядке и с любым числом повторений монеты достоинством 1, 2 и 3 руб. Автомат продаёт билет, если сумма опущенных монет равна 3. В случае превышения суммы автомат возвращает деньги.

Входной алфавит

Выходной алфавит , где

– автомат выдаёт билет;

– автомат возвращает деньги;

– автомат ничего не делает.

Внутреннее состояние автомата ассоциируем с суммой, которую помнит автомат. Предполагая, что после продажи билета и после возврата денег автомат помнит нулевую сумму .

Задание автомата в виде графа будет выглядеть так:

Опишем автомат, задав его функцию переходов и функцию выходов:

1					1
2					2
3					3

Пример: Синтезировать автомат, на вход которого подаются монеты достоинством 1, 2, 3 руб. Автомат выдаёт сигнал «Ч» - если сумма чётна, и «Н» - если сумма нечётна.

Сумма 0 считается чётной. Это автомат Мура, поскольку его выходной сигнал однозначно определяется состоянием, в которое автомат перешёл.

	Н	Ч
1
2
3