- •Правила и порядок выполнения курсовой работы
- •1. Определение операторной передаточной функции
- •2. Построение и анализ амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик
- •3. Расчёт установившегося режима
- •4. Расчёт установившегося режима при периодическом несинусоидальном воздействии. Спектральный анализ
- •5. Проверка баланса мощностей
- •6. Расчёт переходного процесса при заданном воздействии методом переменных состояния
- •7. Расчёт переходного процесса при заданном воздействии операторным методом
- •8. Расчёт переходного процесса при произвольном воздействии с помощью интеграла Дюамеля
- •9. Анализ свойств цепи по расположению полюсов на комплексной плоскости.
- •Варианты заданий
- •Непериодическое входное воздействие (таблица 2)
- •Вариант №4
- •Вариант №9
- •Вариант №10
- •Библиографический список
- •Приложение 1. Вычисление передаточной функции
- •Фазочастотная характеристика Град полюса передаточной функции Приложение 2. Получение передаточной функции цепи в программе Electronics Workbench Professional
- •Приложение 3. Расчёт переходного процесса в программе Electronics Workbench Professional
- •Приложение 4. Расчёт установившегося режима при заданной частоте синусоидального воздействия
- •- Напряжение на входе - напряжение на нагрузке Приложение 7. Переходный процесс при негармоническом периодическом воздействии
- •Оглавление
- •Теория линейных электрических цепей.
- •136002, Г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17
7. Расчёт переходного процесса при заданном воздействии операторным методом
Операторный метод основан на замене функций времени e(t), u(t), i(t), которые принято называть оригиналами, соответствующими функциями комплексного переменного E(p), U(p) и I(p), которые принято называть операторными изображениями. Здесь - есть комплексный оператор (комплексная функция или число). Связь между оригиналомf(t) и его изображением F(p) устанавливается посредствам преобразования Лапласа, т.е. вычислением определённого интеграла
.
Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается условной записью. В расчётной практике применение операторного метода не сопряжено с процедурой интегрирования, т.к. существуют таблицы таких интегралов. Ниже приведена таблица функций, которые могут встретиться при выполнении курсовой работы.
Таблица преобразования Лапласа.
Оригинал |
Изображение |
Использование операторных изображений токов и напряжений позволяет устанавливать соотношения между ними в алгебраической форме. Дифференцированию оригинала по времени, на комплексной плоскости соответствует умножение изображения на оператор р, т.е.
а интегрированию - деление на р:
Структурные уравнения по законам Кирхгофа и компонентные уравнения для операторных изображений формируются так же, как и для оригиналов. Величины иназываются операторными сопротивлениями: резистора, индуктивности и ёмкости. Следует помнить, что при формировании уравнений учитывается запас энергии цепи на момент коммутации. На рисунке 8 операторные схемы
Рис.8
замещения индуктивности и ёмкости при и . Соответственно операторные изображения напряжений на этих элементах: и .
Расчёт переходного процесса операторным методом представляет следующую последовательность:
а) Определяются начальные условия, т.е. по законам коммутации находятся токи на индуктивностях и напряжения на ёмкостях.
б) Составляется операторная схема замещения, представляющая собой схему исходной цепи после коммутации с дополнительными источниками, если начальные условия не нулевые.
в) Для операторной схемы замещения формируется необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. В итоге получается система структурных алгебраических уравнений.
г) Посредствам компонентных операторных уравнений и алгебраических преобразований из системы находятся операторные изображения токов и напряжений, подлежащих определению.
д) Находятся оригиналы (функции времени), соответствующие полученным изображениям. Пользование для этой цели таблицами бывает затруднено в силу сложности изображения. В этом случае следует применить процедуру обратного преобразования Лапласа, либо воспользоваться теоремой разложения.
Рассмотрим расчёт на примере той же цепи (раздел 6, рис.6) при таком же воздействии (Гц. или 1/с) и с теми же (нулевыми) начальными условиями. Если, как и в предыдущих примерах, требуется найти выходное напряжение, то следует использовать полученные в разделе 1 (определение операторной передаточной функции) алгебраические преобразования. Не трудно заметить, что эти преобразования есть реализация пунктов б, в, и г, поскольку передаточная функция определяет напряжение на выходе цепи (на нагрузке) . Изображение входного напряжения при в соответствии с приведённой таблицей. Таким образом, изображение напряжения на нагрузке
.
Последний пункт д - переход к оригиналу, можно выполнить:
а) посредствам обратного преобразования Лапласа. Трудности расчётного характера просто разрешаются с помощью стандартной процедуры Mathcad`а (invlaplace). Её применение требует определённого преобразования выражения , что продемонстрировано в приложении 8. Не трудно убедиться в идентичности решения с решением методом переменных состояния.
б) с помощью теоремы разложения. Операторное изображение реакции есть дробно-рациональное выражение
Если полином знаменателя не имеет кратных корней и корней, равных корням полинома числителя, то дробь можно представить в виде суммы
,
где - корни полинома(полюса изображения ). Оригиналомбудет функция времени
,
где коэффициенты Ак находятся по формулам:
или .
В приложении 9 показана такая реализация обратного преобразования Лапласа для рассмотренного выше примера.