Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко
Несобственные интегралы
Методические указания для студентов 2-го курса
механико-математического факультета РГУ
отделений «Математика» и «Механика»
г. Ростов-на-Дону
2004
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.
Методическая разработка по теме «Несобственные интегралы» содержит базовый материал для проведения лабораторных занятий на втором курсе механико-математического факультета РГУ по специальностям «Математика» и «Механика». Она также содержит основные теоретические факты, необходимые для решения рассматриваемых задач.
1 Исследование сходимости несобственных
интегралов по определению и их вычисление
Определение 1.Если -- локально интегрируемая функция наи существует конечный предел, то говорят, что функцияинтегрируема нав несобственном смысле, а величинуобозначают символоми называют сходящимся несобственным интегралом.
Сформулируем основные свойства несобственных интегралов.
1.1 Если тои.
1.2 Если -- локально интегрируемая функция наи, то, при этом.
1.3 Если , то .
1.4 Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Пусть ,-- единственная особая точкана. Для того , чтобысходился необходимо и достаточно, чтобы
.
1.5 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов
Пусть ,-- единственная особая точканаи нафункцияимеет первообразнуютакую, что существует конечный предел. Тогда и
.
Замена переменных в несобственном интеграле
Пусть ,-непрерывная функция на. Пусть, причем
а) -- непрерывно дифференцируемая нафункция;
б) -- строго монотонная функция на;
в) .
Тогда интегралы ,сходятся или расходятся одновременно и, в случае сходимости они равны.
Интегрирование по частям в несобственном интеграле
Пусть -- непрерывно дифференцируемые функции наи существует конечный предел. Если один из несобственных интеграловсходится, то сходится и второй, и справедливо равенство
, где .
Перейдем к решению задач, в которых требуется исследовать несобственный интеграл на сходимость и, в случае сходимости вычислить его.
Пример 1. .
Функция (-- частное двух непрерывных нафункций). Следовательно-- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла имеем:
.
Следовательно, исходный интеграл сходится по определению.
Пример 2..
Функция , в точкене определена, причем. Следовательно, функцияне ограничена в правосторонней окрестности точки, а потому точка-- единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла
.
Следовательно, исходный интеграл сходится по определению.
Пример 3. .
Функция , следовательно,единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла
.
Здесь мы использовали теорему I.7 об интегрировании по частям несобственного интеграла. Так как последний предел не существует, то по определению несобственный интеграл расходится.
Пример 4..
Функция , следовательно,единственная особая точка. По определению сходимости несобственного интеграла
.
Здесь мы применили теорему I.6 о замене переменной (заметим, что все условия этой теоремы выполнены).
Упражнения
Исследовать на сходимость и в случае сходимости вычислить следующие несобственные интегралы:
1. 2. 3. 4.
5. 6.7. 8.
9. 10.11.12. .
2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций
2.1 Первый признак сравнения (непредельная форма признака сравнения)
Пусть ,, и пусть--единственная особая точкаина. Тогда
а) если сходится, тосходится;
б) если расходится, торасходится.
Второй признак сравнения (предельная форма признака
сравнения)
Пусть ,,--единственная особая точкаина. Еслиисохраняет знак в окрестности точкии существует предел, то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.