- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
Дифференциал функции
Дифференциал (первого порядка) функции -это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.
Основные свойства дифференциала:
1. , где-const.
2. .
3. .
4. .
5. ,.
6. ,. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойствоинвариантности формы дифференциала первого порядка.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка:.
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: .Дифференциал n-го порядка: .
Если и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
, ,…..,.
Если ,, то, где дифференцирование функциивыполняется по переменной. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.
.
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке .
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значениемназывается абсолютной погрешностью и обозначается .
Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается . Относительная погрешность обычно выражается в процентах.
Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения . В этом случае абсолютная погрешность равна, а относительная погрешность будет.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функции при некотором значении аргумента, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью,. Тогда
.
Отсюда видно, что .
Относительная погрешность функции выражается формулой
.
Пример 1. Найти дифференциал функции .
Решение: .
Пример 2. Найти все дифференциалы функции .
Решение: ,
, ,
, .
Пример 3. Найти для неявно заданной функции.
Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную
, тогда .
Вычислим вторую производную
, отсюда .
Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал: ,,.
Решение: ..
Пример 5. Вычислить приближенное значение .
Решение: Рассмотрим функцию . Полагая,и применяя формулу, получим:
.
Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение: Воспользуемся формулой . Полагая , , имеем. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет.
Пример 7. Для функции найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргументаот значенияк.
Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции .
При иполучим.
Приращение функции находим по формуле
.
Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к. , то.
Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции в точкеи. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение: Имеем: ,
.
При иполучим:
, .
Абсолютная погрешность , а относительная погрешность.
Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерениянаходится в пределахсм. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.
Решение: Объем куба равен см.
Возможная неточность измерения .
Отсюда абсолютная погрешность .
Относительная погрешность .
Пример 10. Найти приближенно .
Решение: Полагаем , тогда,
.
Если принять , то,.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
1. ,-?. Ответ:.
2. ,-? Ответ:.
3. ,-? Ответ:.
4. ,-? Ответ:.
5. ,,,-? Ответ:.
, .
6. ,-?
Ответ: .
7. ,-? Ответ:.
8. ,-? Ответ:.
9. -? Ответ:.
10. -? Ответ:.
11. ,-? Ответ:.
12. ,-? Ответ:.
13. ,.-? Ответ:,.
14. ,,-?
Ответ: ,.
15. -?
Найти приближенное значение:
16. . Ответ: 0,811.
17. . Ответ: 1,035.
18. . Ответ: 0,078.
19. . Ответ: 1,9938.
20. . Ответ: 2,02.
21. . Ответ:3,03.
22. . Ответ:.
23. . Ответ:.
24. . Ответ: 0,1.
25. . Ответ:.
26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус см увеличить на 0,2см. Ответ: 565.
27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .
28. Сравнить приращение и дифференциал функции .
Ответ: ,.
29. Вычислить ,для функцииприи.
Ответ: ,.
30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ: .
31. Найти приближенное значение из уравнения:
. Ответ: .
32. Найти приближенно значение объема шара радиуса .
Ответ: .
33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал объемакуба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.
34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным см. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.
35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила . Ответ:.