- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
10. Наибольшее и наименьшее значение функции
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна наотрезке , то она принимает на нем наибольшего и наименьшего значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой.
1. Находим производную .
2. Определяем критические точки функции, в которых или не существует.
3. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.
Замечание. Если функция непрерывна наинтервале , то она может не принимать на нем наибольшего и наименьшего значения.
Если илибольше большего из значений функции в критических точках интервала, то наибольшего значения на всем интервале не существует. Аналогично не существует наименьшего значения, еслиилименьше меньшего из значений в критических точках.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Решение:
Производная функции:
.
Приравниваем производную функцию к нулю и находим критические точки.
Значения функции в критических точках ,и на концахи.
Следовательно, ,.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргументане ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для. Вычисляем производную. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку:. При переходе через эту точку производная функции меняет знак с плюса на минус, следовательно,точка максимума. Если, функция бесконечно убывает, но наименьшего значения не имеет.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргументане ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для.
Находим производную и приравниваем ее к нулю. Откуда,,,,. Подставляя найденные критические точки в функцию, находим, что при,функция имеет наибольшие значения, равные единице, а при,- наименьшие значения, равные.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргументане ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для. Найдем производную. В точкепроизводная не существует. Значение функции приравно -1. Прифункция неограниченно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет, а наибольшего значения функция не имеет.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1. . Ответ: 9; -7.
2. .
Ответ: Наибольшее значение не существует; 64.
3. . Ответ:.
4. . Ответ: 1;.
5. . Ответ: 0,.
6. . Ответ:.
7. . Ответ:.
8. ,. Ответ:.
9. . Ответ:.
10. . Ответ:.
11. . Ответ:.
12. . Ответ:.
13. . Ответ:.