- •Методические указания
- •Общие методические указания
- •Примеры решения задач
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Основы векторной алгебры
- •Вычислить длину вектора , если,,,.
- •Тема 4. Введение в математический анализ
- •Тема 5. Производная и дифференциал Правила дифференцирования:
- •Тема 6. Исследование поведения функции
- •Тема 7. Неопределенный интеграл
- •Тема 8. Определенный интеграл
- •Тема 9. Приложения определенного интеграла
- •Тема 10. Функции нескольких переменных
- •Тема 11. Кратные интегралы.
- •Тема 12. Ряды
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 14. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Тема 15. Основы теории вероятностей
- •Тема 16. Элементы математической статистики
- •Контрольные задания для студентов - заочников экономического факультета
- •Контрольная работа №1
- •Тема: «линейная алгебра»
- •Тема: «аналитическая геометрия (прямая на плоскости)»
- •Тема: «элементы векторной алгебры»
- •Тема: «функции 2-х переменных»
- •Контрольная работа №2
- •Тема: «случайные величины»
- •Контрольные задания для студентов - заочников агрономического факультета
- •Контрольная работа 1.
- •Контрольная работа 2.
- •Контрольные задания для студентов - заочников биолого-технологического факультета и факультета ветеринарной медицины
- •Контрольные задания для студентов - заочников инженерного факультета и института природообустройства
- •Приложение
- •Литература
- •Содержание
Тема 3. Основы векторной алгебры
Задача 7.
Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2;1;0), B(3;-1;2), C(13;3;10), D(0;1;4). Требуется:
1) записать векторы ив системе орт и вычислить модули этих векторов;
2) определить величину угла между векторами и ;
3) определить проекцию вектора на вектор;
4) вычислить площадь грани ABC;
5) вычислить объем пирамиды ABCD.
Решение:
1. Произвольный вектор может быть представлен в системе ортследующей формулой:
(1)
где ах, ау, аz — проекции вектора на координатные осиОх, Оу и Oz, a — единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осейОх, Оу и Oz.
Если даны точки то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:
. (2)
Тогда (3)
Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор:
Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим
.
Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор
.
Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле
. (4)
Применяя (4), получим модули найденных векторов:
2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:
Находим скалярное произведение векторов и по формуле:
.
Получаем
Модули этих векторов уже найдены: Следовательно,
3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора:
4. Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения векторов и . Вычислим векторное произведение по формуле:
.
Тогда значит,
5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение
по формуле: .
Тогда
Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD: куб. ед.
Задача 8.
Вычислить длину вектора , если,,,.
Решение:
Скалярное произведение векторов можно обозначать двумя способами или.
Используем свойства скалярного произведения векторов:
1) , 2),
3) , 4).
Получим
Вычислим модуль вектора, используя свойство 4:
Задача 9.
Вычислить , если,,,,.
Решение:
Векторное произведение векторов можно обозначать двумя способами или.
Используем свойства векторного произведения векторов:
1) , 2),
3) , 4).
Получим .
Вычислим модуль векторного произведения .
Задача 10.
При каком значении векторыкомпланарны?
Решение:
Векторы компланарны их смешанное произведение равно 0. Смешанное произведение векторов вычисляется с помощью определителя, строки которого состоят из координат векторов. Поэтому
Вычислим определитель, получим -6-5-30+3=-41+3=0. Отсюда
Задача 11.
Даны векторы . Определить единичный векторпараллельный вектору
Решение:
Вычислим векторное произведение по формуле:
.
Тогда
Длина . Параллельный полученному вектору единичный вектор имеет вид .
Задача 12.
Даны точки A(1,0,1), B(1,1,0), C(0,1,1), D(1,1,1). Исследовать линейную зависимость век торов
Решение:
Система векторов линейно независима, если из того, что следует
Вычислим координаты векторов
Тогда
Получим систему
Так как определитель системы , то по правилу Крамера (см. тему 2) система имеет единственное решение
Значит, векторы линейно независимы.
Задача 13.
Разложить вектор по векторам .
Решение:
Разложение имеет вид Необходимо определить коэффициенты
Имеем .
Получаем систему Решая ее, получим
Значит, искомое разложение вид