- •Тема VII. Ряды
- •Необходимый признак.
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
- •Пример 1. Доказать сходимость ряда
- •Интегральный признак Коши
- •Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно (т.Е. Из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).
- •Знакопеременные ряды.
- •Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.Е. Если выполняются следующие два условия:
- •Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда
- •Пример 2. Найти область сходимости ряда:
- •Решение.
- •Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
- •Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Решение
- •Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда
- •Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .
- •Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда
- •Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления с помощью рядов
- •1. Приближенное вычисление значений функций
- •2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •3. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Ряд Фурье
Тема VII. Ряды
Признаки сходимости числовых положительных рядов.
Необходимый признак.
Определения.
Пусть задана бесконечная последовательность чисел: u1, u2, …, un, …
Построим из этой последовательности выражение: u1+ u2 + u3 +…+ un +…
Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел
Числовой ряд часто записывается в виде . Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:
Sn = u1 + u2 + … + un
Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.
Если не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т.е.расходится.
Пример 1. Написать первые четыре члена ряда с общим членом .
Решение. Полагая в формуле для общего члена n=1,2,3,4, получаем:
; ; ;
Итак,
Пример 2. Написать первые четыре члена ряда, общий член которого задан формулой .
Решение. Полагая в данной формуле n=1,2,3,4,5,6, получаем
; ;
; ;
Таким образом, данный ряд можно записать так:
Пример 3. Найти формулу для общего члена ряда:
, считая, что каждый его член получается по тому закону, по которому образованы записанные члены.
Решение.
Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из которых равен единице (первый член тоже можно представить так: ), а знаменатель есть произведение нечётного числа на соответствующую степень числа 2 (для первого члена это тоже верно:).
Далее, так как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида , чтобы получить искомую формулу:.
Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде или
Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала:
n!=1234…(n-1)n.
В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т.д.; (n+1)!=n!(n+1). Считается, что 0!=1.
Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:
(2n)!!=246…(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!(2n+2).
(2n+1)!!=135…(2n-1)(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!(2n+3).
Решить:
Написать первые четыре члена ряда:
A 1) 2)3)4)
B 5) 6)
Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным его первым членам и записать ряд, используя знак суммы ():
A 7) 8)9)
10) 11)
B 12) 13)
14)15)
При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.
Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; таким образом, при исследовании ряда на сходимость мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
(т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится):
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастанииn, т.е.
Следствие:
если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится:
расходится
Указанный признак является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд:
расходится, хотя (расходимость гармонического ряда легко доказать с помощью интегрального признака – см. ниже)
Пример 4. Исследовать вопрос о поведении ряда с помощью необходимого признака сходимости:
Решение. Найдем предел общего члена ряда при n→ ∞ (вспомним, что в этом случае можно пренебречь младшими слагаемыми (степенями n) в числителе и знаменателе):
Данный ряд не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходится.
Пример 5. Проверить выполнимость необходимого признака сходимости для ряда
Решение. Здесь .
Необходимое условие сходимости ряда выполняется; сделать из этого вывод о том, сходится ряд или расходится, нельзя.
Решить:
A Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:
1)2)3)4)
5) 6)7)8)