Matematika_Zaytsev_ch2

	3) −12; 4) 5e. 8. 1) 2,95; 2) 8,29. 9. 1)	du		=	x( z + 2 yt2 )− yztet	;
		dt			tx2

∂z

ex

dz

ex +ey ( x2 +1)

∂z

ux

ylnv

2)

=

,

=

; 3)

=2u

−

,

∂ x

ex +ey

dx

ex +ey

∂ x

v

x2

4) du = − 2(sds + tdt). 10. 1) 0; 2) 0;

3) 1; 0,5;

4) 1; 0.

∂z	lnv			uy
	=2u		+			;
∂ y		x
				v

11.	1) exsiny = y+xy+r2;																										2) cos( x − y2 ) = 1 −																													x2				+ r .						12.						−9				3 .				13.					2				.
																																																						2						2															2										2
14.	68								15.									1) {9, –3},										3					10									5					; −							3				,		34						; 3) {6; 3; 2}, 7;
						.																														;		2)
	13																																									4												4						4
4) {4; 0; –2},															2 5 . 16.														grad u(O) = {0; –1; 0}, grad u(O) = 1.
17.			1					,		3										7		,				3								18. 1) P : x													+ y −z −													1=0, N :										x −1					=		y −1			=		z −1
	−																и								−			.																																																											;
			3																	3						4																																														1				1						−1
										4
2) P : 3 x + 4 y − 5z = 0 , N :																																				x − 3						=		y − 4											=			z − 5							;
																																				3
																																															4													−5
3) P : x + 11 y + 5z − 18 = 0, N :																																									x − 1							=						y − 2							=			z + 1				;
																																																						11
																																									1																			5
4) P : 5 x + 4 y + z − 28 = 0, N :																																							x − 2								=				y − 3									=		z − 6					.
																																									5													4						1
19.								2				,m				1				2				,m2				2								20.					1) zmin(0, 3)= – 9;
	±																																	.																																2) экстремума нет;
								11								2				11								11
3) zmax(4, 4) = 12;																								4) zmin(−2, 0)= −2 e ;																															5) экстремума нет; 6) zmin(0, 0)=0,
zmax(±1, 0)=2e–1. 21. 1) m=f(1, 1)= –1, M=f(3, 0)=f(0, 3)=6;																																																																	2)			m=f(1, 0)= –3,
M=f(1; 2)=17;																		3) m =							f			1						,−		1					= f									−				1				,			1					= −			1			,
																												2																										2															2
																																					2																								2
M =			f						1						,			1							f							1			,−			1									1							22.						радиус равен 1, высота равна 2.
																						=						−													=									.
												2						2															2					2									2
23. M						−			1			,			1			. 24. равнобедренный. 25. 1) y=0,95x–2,35; 2) y =−																																																												153			x +			39				.
									4						4																																																																				37
																																																																												74

217

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Глава 1

1.Охарактеризовать множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел, действительных чисел.

2.Определить понятия отрезка, интервала, окрестности точки на числовой пря-

мой.

3.Дать понятие комплексного числа и объяснить основные операции над ними.

4.Какие операции над множествами Вы знаете? Приведите примеры.

5.Определить операции над высказываниями и привести их таблицы истинно-

сти.

6.Что означают понятия: прямая теорема, обратная теорема, противоположная теорема, противоположная обратной теореме?

7.В чем заключается метод доказательства от противного?

Глава 2

1.Что называется действительной функцией действительного аргумента? Привести примеры функций и указать их область определения и область значения.

2.Какие способы задания функции Вы знаете? Привести примеры.

3.Какая функция называется сложной? Привести примеры.

4.Какая функция называется неявно заданной? Привести примеры.

5.В каком случае функцию называют четной, нечетной, периодической, возрастающей, убывающей, монотонной, ограниченной?

6.Какие функции называют взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику заданной функции?

7.Основные элементарные функции и их графики.

Глава 3

1.Понятие предела функции. Геометрическая иллюстрация.

2.Предел числовой последовательности. Привести примеры сходящейся и расходящейся последовательности.

3.Сформулировать условие сходимости монотонной числовой последовательности.

4.Б.м. и б.б. функции, их основные свойства. Привести примеры.

5.Какая связь между функцией, ее пределом и б.м.? Доказать соответствующую теорему.

6.Сформулировать и доказать теоремы о пределах (о единственности предела; о пределе суммы, произведения и частного; о переходе к пределу в неравенстве; «принцип двух милиционеров»; о пределе сложной функции).

7.Сформулировать и доказать теорему о первом замечательном пределе.

8.Сформулировать теорему о втором замечательном пределе.

9.Что значит сравнивать две б.м. или две б.б. функции? Объяснить понятия: сравниваемые функции одинакового порядка; эквивалентные; одна из них имеет больший порядок, чем другая. Привести примеры.

10.Привести и обосновать таблицу эквивалентностей.

218

11.Дать равносильные определения непрерывности функции в точке.

12.Что называется точкой разрыва функции? Дать их классификацию и привести геометрическую иллюстрацию.

13.Сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, произведения

ичастного непрерывных функций.

14.Сформулировать и доказать теорему о непрерывности сложной функции.

15.Обосновать непрерывность основных элементарных функций на их области определения. Какие точки могут являться точками разрыва таких функций?

16.Сформулировать свойства функции, непрерывной на отрезке. Дать геометрическую иллюстрацию этих свойств.

Глава 4

1.Дать определение производной функции. В чем состоит механический и геометрический смысл производной?

2.Вывести уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x).

3.Какая функция называется дифференцируемой? В чем состоит необходимое условие дифференцируемости функции?

4.Вывести правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций.

5.Вывести правила дифференцирования сложной функции, обратной функции и функций, заданных в параметрической и неявной формах.

6.Вывести правила дифференцирования основных элементарных функций.

7.Что называется дифференциалом функции? Приближенное вычисление значений функции с помощью дифференциала функции.

8.Производные и дифференциалы высших порядков.

Глава 5

1.Сформулировать и доказать теорему Ролля. В чем состоит ее геометрический смысл?

2.Сформулировать и доказать теорему Коши.

3.Сформулировать и доказать теорему Лагранжа. В чем состоит ее геометрический смысл?

4.Сформулировать и доказать теорему Лопиталя.

5.Вывести формулу Тейлора для многочлена.

6.Записать формулу Тейлора n-й степени для функции.

7.Получить остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано.

8.Получить остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

9.Вывести формулу Маклорена для функций ex, sinx, ln(1+x), (1+x)a.

10.В чем заключается достаточный признак монотонности дифференцируемой функции? Привести доказательство.

11.Сформулировать и доказать необходимый признак существования экстре-

мума.

12.Доказать первый достаточный признак экстремума.

13.Доказать второй достаточный признак экстремума.

219

14.Доказать необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции.

15.Сформулировать и доказать достаточный признак существования точки пе-

региба.

16.Что называется асимптотой графика функции?

17.Необходимый и достаточный признак существования вертикальной асим-

птоты.

18.Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимпто-

ты.

19.Описать общую схему полного исследования функции.

Глава 6

1.Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.

2.Что называется пределом функции z = f(x,y) при x→ x0, y→ y0?

3.Дать определение непрерывности функции z = f(М) в точке М0. Привести пример разрывной функции.

4.Дать определение частных производных функции.

5.Какая функция нескольких переменных называется дифференцируемой?

6.Сформулировать необходимый и достаточный признаки дифференцируемости функции нескольких переменных.

7.Что называется полным приращением и дифференциалом функции z=f(x,y)? Какова их связь?

8.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

9.Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных.

10.Вывести правило дифференцирования неявно заданной функции.

11.Записать формулу Тейлора для функции двух переменных.

12.Что называется производной функции по направлению?

13.Дать определение градиента функции. Как выражается производная по направлению через градиент?

14.Сформулировать и обосновать свойства градиента.

15.Что называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке? Записать уравнение касательной плоскости и нормали.

16.Дать определение точки экстремума (максимума и минимума) функции двух переменных. В чем состоит необходимый признак экстремума?

17.Сформулировать и обосновать достаточное условие экстремума функции двух переменных.

18.Сформулировать признак Сильвестра.

19.Описать способ отыскания наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

220

CПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники и учебные пособия

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1984. – 432с.

2.Зайцев В.П., Головичёва И. Э., Зинович С. А. Математика. Часть 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова.– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2003. – 144 с.

3.Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики: В З т. Т.1. – М.:

Высш. шк., 1986.– 480с.

4.Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.– 408с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып.1)

5. Хавинсон С.Я. Лекции по интегральному исчислению: Учеб. пособие для вту-

зов.– М.: Высш. шк., 1976.–198с.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие. для втузов: В 2 т. Т.1.– М.: Наука, 1985.– 432с.

7.Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов.– 4-е изд. – М.: Высш.

шк., 1998. – 479с.

8.Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики:

Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 1987.–320с.

Задачники

1.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнени-

ях и задачах: В 2 т. Т.1, – 4-е изд.,– М.: Высш. шк., 1986. – 304с.

2.Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича: В 3 т. Т.1.– М.: Наука, 1981.– 484с.

3.Шипачев В.С. Задачи по высшей математике: – М: Высш. шк., 1997. – 304 с.

221