Matematika_Zaytsev_ch2

Пример 3. Проверить, что lim x2 = 4 .

x→2

• Рассмотрим произвольное ε > 0 и предположим, что |x2 – 4| < ε. С учётом того, что |x2 – 4| = |(x – 2) (x + 2)| = |x – 2| |(x – 2) + 4| ≤ |x – 2| (|x – 2| + 4),

достаточно рассмотреть неравенство |x – 2|2 + 4|x – 2| < ε , эквивалентное нера-

венству | x − 2 |< −2 +	4 + ε . Поэтому для выполнения условия |x2 – 4| < ε в (3)
достаточно взять δ = −2 +		4 + ε . •
Пример 4. Доказать, что		lim a x = 1 .
		x→0
• Ограничимся случаем а > 1 (случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично).
Нужно указать δ(ε) > 0:	|аx – 1| < ε при |x| < δ(ε), если число ε > 0 любое малое

(будем считать, что 0 < ε < 1). Для этого преобразуем неравенство |аx – 1| < ε:

|ax – 1| < ε 1 – ε < ax < 1 + ε loga(1 – ε) < x < loga(1+ ε)−loga 1 −1 ε < x < loga ( 1 + ε ).

Сравнивая последнее двойное неравенство с неравенством |x| < δ(ε) или, что то же самое, с двойным неравенством –δ(ε) < x < δ(ε), замечаем, что можно в каче-

	стве δ(ε) взять меньшее из двух положительных чисел loga ( 1 + ε ) и	loga		1	.
			1	−ε

Меньшим из них будет первое. В самом деле, исходя из очевидного неравенства

	1 > 1 −ε 2		(при 0 < ε < 1), деля обе его части на положительное число 1 – ε, по-
	лучаем		1	> 1 + ε loga	1	> loga ( 1 + ε ) .
		1	−ε		1 −ε

Итак, чтобы выполнялось неравенство |ax – 1| < ε, достаточно потребовать, чтобы x удовлетворял неравенству |x| < loga(1 + ε), т.е. δ(ε) = loga(1 + ε). •

1.2 Конечный предел функции в бесконечно удалённой точке

Расшифровывая окрестности бесконечно удалённой точки в определении 1, можно сформулировать определения, которые будем записывать кратко, используя символику.

Определение 3.

b = lim	f ( x ) : ε > 0	M( ε ) > 0 : ( x > M | f ( x ) − b |< ε ).	(4)
x→+∞
Определение 4.
b = lim	f ( x ) : ε > 0	M( ε ) > 0 : ( x < −M | f ( x ) − b |< ε ) .	(5)
x→−∞
Определение 5.

b = lim f ( x ) : ε > 0 M( ε ) > 0 : ( x > M | f ( x ) − b |< ε ) . (6)

x→∞

61

Здесь, как и раньше, число ε является произвольным сколь угодно малым положительным числом, а число М(ε), как правило, с уменьшением числа ε увеличивается и может быть достаточно большим, выбор числа М зависит от выбора ε.

Все три случая существования конечного предела b для функции y = f(x) в бесконечно удалённой точке имеют простой геометрический смысл. Из рисунков 2

а), б), в) ясно, как по заданному значению ε выбрать положение точки с абсциссой M или – М, при котором будут выполнены условия определений 3, 4, 5.

Рисунок 2 а)

Рисунок 2 б)

Рисунок 2 в)

62

График функции y = f(x) при x→ +∞ неограниченно приближается к горизонтальной прямой y = b, называемой в этом случае правосторонней горизонтальной асимптотой графика функции.

Аналогично, при x→ – ∞ прямая y = b называется левосторонней горизон-

тальной асимптотой, а при x→∞ двусторонней горизонтальной асимптотой

графика функции.

Пример 5. Доказать, что lim a x = 0 при 0 < a < 1.

x→+∞

• При произвольном ε > 0 предположим, что |ax – 0| = ax < ε, т.к. ax > 0 xR. Используя свойства логарифмической функции logax при 0 < a < 1, вместо

ax	<	ε	можно	записать	x	>	logaε.	Итак,
ε > 0 M = loga ε : ( x > M | a x − 0 |< ε ) ,
т.е. утверждение			lim a x = 0 верно по определению 3. Прямая y = 0 является
			x→+∞

правосторонней горизонтальной асимптотой графика функции y = ах при 0< a <1.•

1.3 Бесконечный предел функции в конечной точке

Пусть теперь область определения функции f(x) включает некоторую проколотую окрестность конечной точки a, а значения функции могут являться сколь угодно большими числами. В зависимости от их знака определение 1 будет эквивалентно следующим определениям.

Определение 6.

lim	f ( x ) = +∞ : Ε > 0	δ ( Ε ) > 0 : ( 0 < | x − a |< δ f ( x ) > Ε ) . (7)
x→a
Определение 7.
lim	f ( x) = −∞ : Ε > 0	δ( Ε ) > 0 : ( 0 <| x − a |< δ f ( x ) < −Ε ) .(8)
x→a
Определение 8.
lim	f ( x) = ∞ : Ε > 0	δ ( Ε ) > 0 : ( 0 <| x − a |< δ | f ( x ) |> Ε ) . (9)
x→a

Здесь Е является сколь угодно большим произвольным положительным числом, а

число δ(Ε), как правило, с увеличением числа Ε уменьшается и может стать достаточно малым.

Все три случая существования бесконечного предела имеют геометрический смысл. Из рисунков 3 а), б), в) ясно, как по заданному значению Ε выбрать значе-

ние δ = min{a – x1, x2 – a}, при котором будут выполнены условия определений

6, 7, 8.

63

При x→ a график функции неограниченно приближается к прямой x = а, на-

зываемой в этих случаях вертикальной асимптотой.

Рисунок 3 а)

Рисунок 3 б)

Рисунок 3 в)

Пример 6.

Покажем, что lim

1

= +∞ .

1

x→0

x2

1

• Пусть

> E > 0 , т.е.

x2 <

1

или 0 < | x | <

.

x2

E

1

E

Итак, lim

= +∞ – верное утверждение, так как выполняется определение 6,

x2

x→0

1

если в (7) взять δ =

. •

E

1.4 Бесконечный предел функции в бесконечно удалённой точке

Пусть область определения и область значений функции f(x) включают некоторую окрестность вида U(∞) = {x R : |x| > M > 0}. Если в определении 1 считать

точки а и b соответствующими ∞, то можно сформулировать следующее определение.

Определение 9.
lim f ( x) = ∞ : Ε > 0 М( Ε ) > 0 : (| x | > M | f ( x )|> Ε ).	(10)
x→∞
64

На рисунке 4 представлен возможный вариант графика функции f(x), удовлетворяющий условию этого определения.

	Здесь Е и М являются сколь угодно
	большими положительными числами и, как
	правило, с увеличением Е увеличивается
	М.
	Аналогично можно дать определения
	lim	f ( x ) = +∞ ,	lim	f ( x ) = +∞ ,
	x→+∞		x→−∞
	lim	f ( x ) = −∞ ,	lim	f ( x ) = −∞ ,
	x→−∞		x→+∞
	что рекомендуется читателю проделать
	самостоятельно.
Рисунок 4
Пример 7. Проверить, что	lim x3 = ∞ .
	x→∞			|x3| > E, т.е.
• Предположим, что при	произвольном E > 0 выполняется

x > 3 E . Чтобы lim x3 = ∞ удовлетворяло определению 9, нужно в (10) взять

x→∞

M = 3 E . •

1.5 Предел числовой последовательности

Рассмотрим действительную функцию натурального аргумента, т.е. f(n) R,

n N. Такую функцию называют числовой последовательностью и обычно обозначают так:

xn = f(n) R, n N или {xn}, n N.

Числа x1, x2, x3, …, xn, …называют элементами (или членами) последовательности, символ xn – общим элементом последовательности, а число n – его

номером.

Формула, задающая xn, называется формулой общего элемента последователь-

ности {xn} и она полностью определяет последовательность.

Например, последовательность {n2} задана формулой xn = n2. С помощью этой

формулы можно вычислить любой элемент этой последовательности: x1 = 12 = 1, x2 = 22 = 4, x5 = 52 = 25 и т. д.

Однако знание нескольких первых элементов последовательности ещё не определяет саму последовательность. Нужно ещё определить вид общего элемента.

Например, последовательность задана такими первыми элементами: 2, 10, 26,

82, 242, 730, … . Заметим, что 2 = 3 – 1, 10 = 32 + 1, 26 = 33 –1, 82 = 34 + 1 и

т. д. Итак, формула общего элемента xn = 3n +(–1)n.

65

Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (число m) такое, что xn ≤ M ( xn ≥ m ) n N .

Последовательность {xn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Условие ограниченности можно записать в виде:

C : xn ≤ C n N .

Дадим определение конечного предела последовательности.

Определение 10. Конечное число b называют пределом последовательности

{xn} и обозначают b = lim{xn} ( b = lim xn или xn → b при n → ∞), если для лю-

n→∞

бого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать натуральное число n0, такое, что начиная с номера n = n0 + 1 все элементы последовательности попадают в ε – окрестность точки b, т.е.

b = lim{xn} : ε > 0 n0(ε) > 0 : (n > n0 |xn – b| < ε).

(11)

В общем случае n0 зависит от ε, на что указывает в (11) обозначение n0(ε). Как правило, чем меньше ε, тем больше n0.

Последовательность, для которой точка b является пределом, называют сходя-

щейся к этой точке.

Определение 10 по геометрическому смыслу означает, что какой бы малый интервал длины 2ε с центром в точке b ни взять на числовой прямой, все элемен-

ты последовательности {xn}, начиная с некоторого номера n0 + 1, должны попадать в этот интервал (рисунок 5). Вне этого интервала будет только конечное число элементов последовательности.

Рисунок 5

1

Пример 8.

Показать, что lim

= 0 .

n

• При произвольном ε > 0 предположим, что

1

− 0

< ε . Тогда

n >

1

. Если

n

ε

взять n

=

1

(целая часть числа

1

), то утверждение будет верно по определе-

0

ε

ε

нию 10. •

( −1 )n n

Пример 9. Показать, что последовательность не имеет предела,

n + 1

66

( −1 )n n

т.е. lim не существует.

n + 1

• В самом деле, если выбрать, например, ε = 1, то все элементы последовательности с чётными номерами попадают в ε – окрестность точки x = 1, а все элементы

с нечётными номерами – в ε – окрестность совсем иной точки x = –1, причём эти окрестности не имеют общих точек (рисунок 6).

Рисунок 6

Но, по определению 10, если бы одна из точек x = 1 или x = –1 была пределом этой последовательности, то все ее элементы, начиная с некоторого номера, должны были попасть в выбранную окрестность этой точки. •

В определении 10 речь идёт о конечном пределе. Рассмотрим определение бес-

конечного предела для числовой последовательности.

Определение 11.
lim{xn} = ∞ : E > 0 n0(E) > 0 : (n > n0 |xn| > E).	(12)

В отличие от сходящихся последовательностей, которые сходятся к конечному пределу, последовательности, которые имеют бесконечный предел (так же, как и последовательности, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела) назы-

вают расходящимися.

Если для последовательности {xn} справедливо неравенство xn ≤ xn+1 (в ча-

стности, xn < xn+1 ) или xn ≥ xn+1 (в частности, xn > xn+1 ) n N, то её назы-

вают неубывающей (в частности, возрастающей) или невозрастающей (в частно-

сти, убывающей). Последовательности всех этих типов, изменяющиеся в одном направлении, объединяются под общим названием монотонных (в частности,

строго монотонных) последовательностей. В этом случае обычно говорят, что последовательность монотонно возрастает или монотонно убывает.

Для монотонных последовательностей имеет место очень важная теорема.

Теорема 1 (о сходимости монотонной последовательности).

Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.

Доказательство этой теоремы в данном пособии не приводится.

Пример 10. Доказать, что последовательность с общим элементом xn = nn!n

сходится.

• Напомним, что n! = 1 2 3 ... ( n −1 ) n - факториал числа n.

67

Достаточно показать, что данная последовательность монотонна и ограничена.

Для этого рассмотрим	x	n+1	=	( n + 1 )!	:	n!	=	n!( n + 1 )nn	=	nn	.
				(n + 1)n+1		nn		(n + 1)n ( n + 1 )n!		( n + 1 )n
	xn

	Так как	nn	< 1 , то xn+1 < xn , а это означает, что последовательность мо-
		( n + 1 )n

нотонно убывает и ограничена сверху. Так как xn > 0, то она ограничена снизу, например, нулём. Следовательно, последовательность монотонна и ограничена. По теореме 1 она сходится, т. е. имеет конечный предел. •

1.6Односторонние пределы функции

Вопределении 1 предела функции f(x) в точке a не было никаких ограничений

на закон изменения аргумента x при x→ а в пределах окрестности U o ( a ) точки

а. Но точка а может не иметь окрестности U o ( a ) в области определения D(f) функции (например, для f ( x ) = x точка x = 0 в D( f ) ={x R : x ≥ 0}). Тогда

x → а имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а полуокре-

стности этой точки U−o ( a ) = ( a −δ ,a ) или U+o ( a ) = ( a,a +δ ), где δ > 0 . Но даже в случае, когда функция определена в U o ( a ) , для анализа особенностей

поведения функции при x → а бывает целесообразно рассматривать изменение аргумента x в одной из полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела.

Определение 12. Число b называют левосторонним пределом функции f(x) в

точке a и пишут lim f ( x ) , если для любой окрестности U( b ) точки b най-

x→a−0

дется положительное число δ, такое, что для всех точек проколотой левой полуокрестности ( a −δ , δ ) точки а значения функции будут принадлежать окрестности U( b ), т.е.

b = lim f ( x ) : U( b ) δ > 0 : ( a −δ < x < a f ( x ) U( b )) . (13)

x→a−0

Ясно, что определение 12 можно конкретизировать для случаев, когда точка b конечна или бесконечна, как это сделано в (3), (7), (8) и (9).

Определение правостороннего предела функции f(x) в точке а формулируется аналогично и рекомендуется провести читателю самостоятельно.

Для значений односторонних пределов используют обозначения

lim	f ( x ) = f ( a − 0 ) и lim f ( x ) = f ( a + 0 ) .
x→a−0	x→a+0
	68

Чтобы отличить от односторонних, пределы в точке называют двусторонними. Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема 2. Число b является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке a тогда и только тогда, когда b является и левосторонним, и правосторонним пределами этой функции в точке a, т.е.

lim f ( x ) = b ( f ( a − 0 ) f ( a + 0 )) ( f ( a − 0 ) = f ( a + 0 ) = b ) .

x→a

Доказательство.

Необходимость. ( ) Согласно определению 1, для любой окрестности U( b )

точки b найдется окрестность Uδo ( a ) точки a, такая,	что	f ( x ) U( b ) при
x Uδo ( a ) . Значит, существует U−o ( a ) = ( a −δ ,a ) ,	такая,	что f ( x ) U( b )

x (a – δ, a). По определению 12 это означает, что f(a – 0) и им является число b.

Аналогично этому заключаем, что f(a + 0) и им также является число b. Достаточность. ( ) По определению 12 для любой окрестности U( b )точки

b найдутся левая ( a −δ1 , a ) и правая ( a , a +δ2 ) полуокрестности точки a

(δ1 > 0, δ2 > 0), такие, что x ( a −δ1 ,a ) U ( a,a +δ2 ) = U 0 ( a ) будет выпол-

няться f ( x ) U( b ) . Согласно определению 1 это означает, что число b является двусторонним пределом данной функции в точке a. Теорема доказана.

Замечание. Пределы lim f ( x ) и	lim f ( x ) можно считать односторон-
x→−∞	x→+∞

ними пределами функции f(x) при x → ∞ и в случае их равенства обозначать дву-

сторонним пределом			lim f ( x ) , что формально не противоречит теореме 2.
			x→∞
Например, непосредственно из определения функции arctgx следует, что
lim	arctgx = π	,	lim	arctgx = −π . Поэтому	lim arctgx не существует.
x→+∞	2		x→−∞	2	x→∞

2.ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

2.1Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функцию f(x) называют бесконечно малой (б.м.) при x → a , если при этом стремлении аргумента предел функции равен нулю, т.е.

f(x) – б.м. при x → a : lim f ( x ) = 0 .

x→a

69

Замечание. Отличное от нуля постоянное число, сколько бы оно ни было мало по абсолютному значению, не является б.м. функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, так как функция f(x) ≡ 0 имеет нулевой предел.

Рассмотрим основные теоремы о б.м. функциях.

Теорема 3 (связь функции, её предела и б.м.).

Функция f(x) имеет в точке a конечный предел b тогда и только тогда, когда

эта функция равна сумме этого числа b и б.м. функции α(x) при x → а, т.е.
lim f ( x ) = b ( f ( x ) = b +α( x )) ( lim α( x ) = 0 ) .					(14)
	x→a			x→a
Доказательство.			lim f ( x ) = b . Согласно определениям 1
Необходимость. ( )		Пусть			и 2
			x→a
имеем: ε > 0	U o( a ) : | f ( x ) −b |<ε x U o( a ) . Но это означает,				что
функция α(x) = f(x) – b б.м. при x → a. Отсюда f(x) = b + α(x).
Достаточность. ( )		Пусть теперь f(x) = b + α(x), где α(x) – б.м. при x → a.
Согласно определению б.м. функции α(x) имеем
ε > 0 U o( a ) : x U o( a ) |α( x )|=| f ( x ) − b |< ε ,
а это означает, что lim f ( x ) = b . Теорема доказана.
	x→a
Теорема 4.	Сумма конечного числа функций, б.м. при x → a, есть снова б.м.
при x → a, т.е.				n
k = 1,	... , n,	n N	lim αk ( x ) = 0 lim ∑αk ( x ) = 0 .
			x→a	x→a k =1
Доказательство. Зададим произвольное число ε > 0. Так как αk(x) – б.м. при
x→ a, то можно указать такие числа δk, что |αk ( x )|<				ε при 0 < |x – a| < δk или
				n

при 0 < |x – a| < δ, где δ = min {δк}. Для модуля суммы имеем:

n	n	ε
| ∑	αk ( x )|≤ ∑|αk ( x )|< n		= ε	при 0 < |x – a| < δ,
k =1	k =1	n

а это доказывает теорему. Ясно, что доказательство полностью сохраняется, если вместо суммы рассматривать разность б.м.

Теорема 5. Произведение функции, б.м. при x→ a, и функции, ограниченной в некоторой окрестности U o( a ) точки a, есть функция, б.м. при x→ a.

Доказательство. Для ограниченной в U o( a ) функции f(x) можно указать число M > 0: x U o( a ) |f(x)| ≤ M. По определению б.м. функции α(x) при x → a

	имеем: ε > 0 U1o( a ) : x U1o( a )		α( x )		<	ε	. Тогда
						M
	70