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x1. •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨
1.1. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯à¥¤¥«
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§- ç ¥âáï A = lim f (x)), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« " (8" > 0)
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(a; a + ), > 0 |
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®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ 4, - ¯à¨¬¥à,2 |
¨-â¥à¢ « (3;5). „«ï ¢á¥å x 2 (3;5) ¨¬¥¥¬ |
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jx + 4j < 9, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, jx 16j |
< 9 jx 4j. ’ ª ª ª -®ªà¥áâ-®áâì |
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â®çª¨ x = 4"(4 ;4 + ) -¥ ¤®«¦- |
¢ë室¨âì § ¯à¥¤¥«ë (3;5), â® ¡¥àñ¬ |
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j 4j |
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j |
j |
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= min |
1; 9 , ¨ ¨§ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ®æ¥-®ª ¢¨¤-®, çâ® ¨§ -¥à ¢¥-á⢠0 < |
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< x |
< á«¥¤ã¥â -¥à ¢¥-á⢮ x2 |
16 |
< ". ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, lim x2 = 16. |
h
—¨á«® A - §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ äã-ªæ¨¨ f (x) ¯à¨ x ! +1 x ! 1;
x |
! 1 ®¡®§- ç¥-¨¥: |
lim f (x) = A |
lim f (x) = A; |
lim f (x) = A , |
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x!+1 |
x! 1 |
x!1 |
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¥á«¨ |
¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« |
" ( " > 0) áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯®«®- |
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8 |
i |
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¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® C (9C = C(")), çâ® ¤«ï «î¡®£® x, â ª®£® çâ® x > C, x 2 E 1
2 |
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x1. •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ |
|
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x < C; x 2 E; jxj > C; x 2 E |
¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ jf (x) Aj < ". |
|||
h |
•à¨¬¥à 2. •®ª § âì, çâ® |
ilim |
x cosx |
|
= 0. |
2 |
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x!+1 x 10x+100 |
|
•¥è¥-¨¥. • áᬮâਬ «ãç x > 20, - |
ª®â®à®¬ ¡ã¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤¨âì ¤ «ì- |
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-¥©è¨¥ ®æ¥-ª¨. „«ï x > 20 ¨¬¥¥¬: |
|
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x2 10x + 100 > x2 |
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x2 |
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10x = x(x 10) > |
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; |
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||||||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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á«¥¤®¢ ⥫ì-®, |
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x |
2 |
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10x + 100 |
x2=2 |
x |
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’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ C |
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2 |
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x cosx |
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x cosx |
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< "; |
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lim |
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: |
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x2 |
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10x + 100 |
â® ¥áâì |
|
|
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|
|
10x + 100 = 0 |
||||||||||||||||||||||
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|
x!+1 x2 |
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•à¨¬¥à 3. •®ª § âì, çâ® äã-ªæ¨ï f (x) = sin 1 -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
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x ! 0. |
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•¥è¥-¨¥. ‡ ¯¨è¥¬ á ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ᨬ¢®«®¢ ã⢥ত¥-¨¥ \ç¨á«® A |
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-¥ ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ äã-ªæ¨¨ f (x) ¯à¨ x ! a": |
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|
|
|
|
|
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9"0 > 0 : 8 > 9x = x( ) : 0 < jx aj < ; x 2 E; jf (x ) Aj > "0: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
…᫨ A = 0, â® ¢®§ì¬ñ¬ "0 |
= |
1 |
¨ xk |
= |
|
|
1 |
|
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, ⮣¤ |
|
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|
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|
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2 k+ =2 |
|
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|
2 |
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|
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8 > 09k 2 N : 0 < xk < ¨ jf (xk) 0j = jf (xkj = 1 > "0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
â ª¨¬ ®¡à §®¬, -ã«ì -¥ ¥áâì ¯à¥¤¥« f (x) = sin x1 |
¯à¨ x ! 0. …᫨ ¦¥ A 6= 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
â® ¢®§ì¬ñ¬ "0 |
= |
jAj |
¨ xk = |
|
1 |
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. ’®£¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 k |
|
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||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
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|
|
|
|
|
|
8 > 09k 2 N : 0 < xk < ¨ jf (xk) Aj = jAj > "0;
â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨ «î¡®¥ ®â«¨ç-®¥ ®â -ã«ï ç¨á«® -¥ ¥áâì ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ f (x) = sin x1 ¯à¨ x ! 0.
1.2. ‘¢®©á⢠¯à¥¤¥«®¢
‘ä®à¬ã«¨à㥬 ®á-®¢-ë¥ ã⢥ত¥-¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯à¥¤¥«®¢.
…᫨ áãé¥áâ¢ãîâ lim f1(x) ¨ lim f2(x), â® |
|
||
x!a |
x!a |
|
|
lim(f1(x)+ f2(x)) = lim f1(x) + lim f2(x); |
|||
x!a |
|
x!a |
x!a |
xlim(!a |
f1(x) f2(x)) = xlim!a f1(x) |
xlim!a f2(x); |
x1. •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ |
|
|
|
3 |
|
¥á«¨ xlim!a f2(x) 6= 0, â® |
|
|
|
|
|
|
f1(x) |
|
lim f1(x) |
|
|
lim |
= |
x!a |
; |
|
|
|
|
||||
x!a f2(x) |
|
lim f2(x) |
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
|
¥á«¨ ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x = a ¨¬¥¥¬ |
|||||
f1(x) 6 g(x) 6 f2(x) ¨ lim f1(x) = lim f2(x) = A; â® |
lim g(x) = A: |
||||
x!a |
|
x!a |
|
x!a |
•à¨¬¥à 4. • ©â¨ lim(x3 + 3x2 + 4x 5).
x!2
•¥è¥-¨¥. •®«ì§ãïáì ã⢥ত¥-¨ï¬¨ ® ¯à¥¤¥«¥ áã¬¬ë ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¯®«ãç ¥¬, çâ®
lim(x3 + 3x2 + 4x 5) = 23 + 3 22 + 4 2 5 = 23:
x!2
•à¨¬¥à 5. • ©â¨ lim 3x2 1 .
x! 2 x 2x+1
•¥è¥-¨¥. •®«ì§ãïáì ã⢥ত¥-¨ï¬¨ ® ¯à¥¤¥«¥ ®â-®è¥-¨ï ¯®«ãç ¥¬, çâ®
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
xlim2(x2 1) |
|
|
|
( |
|
2)2 |
|
1 |
3 |
|
|
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|||||||||
lim |
|
|
|
= |
|
! |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
1: |
|||||||
|
|
2x + 1 |
lim (x3 |
|
2x + 1) |
|
|
2)3 |
|
|
2 |
|
|
|
2)+ 1 |
|
3 |
|||||||||||||
x |
! |
2 x3 |
|
|
|
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ⥬, çâ® ¤«ï «î¡®© í«¥- ¬¥-â à-®© äã-ªæ¨¨ f (x) ¨ «î¡®© â®çª¨ a ¨§ ¥ñ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï á¯à -
¢¥¤«¨¢® á®®â-®è¥-¨¥ lim f (x) = f (a).
x!a
•à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ ¯à¥¤¥«®¢ ç áâ® ¯à¨¬¥-ï¥âáï á«¥¤ãîé ï ⥮६ ® ¯à¥- ¤¥«¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨: ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f (x) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim x(t) = a, â®
|
|
t!t0 |
|
|
t!t0 |
|
|
t!t0 |
|
|
|||
|
lim f (x(t)) = f lim x(t) |
= f (a): |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• ©â¨ x!4 |
1 + q |
1 + sin |
2 |
2 |
. |
•à¨¬¥à 6. |
lim ln |
|
|
|
|
|
•¥è¥-¨¥. • ¯¨è¥¬ 楯®çªã á®®â-®è¥-¨©:
y1 |
= |
x |
; y2 = siny1; y3 = y22; y4 = 1 + y3; |
||
|
|||||
|
2 |
y5 = p |
|
|
|
|
|
|
|
; y6 = 1 + y5; y7 = lny6: |
|
|
|
|
y4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1. |
•à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ |
||
•à¨¬¥-ïï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ⥮६㠮 ¯à¥¤¥«¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨, ¯®«ã稬 |
|||||||||||||||
lim y1(x) = 2 ; |
lim y2(x) = lim |
siny1 = 0; |
|
|
|
|
|||||||||
x!4 |
x!4 |
|
|
y1!2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
lim y3(x) = lim y22 = 0; |
lim y4(x) = lim(1 + y3) = 1; |
|
|
||||||||||||
x!4 |
|
y2!0 |
x!4 |
|
y3!0 |
|
|
|
|
||||||
lim y5(x) = lim p |
|
= 1; |
lim y6(x) = lim(1+ y5) = 2; |
|
|
||||||||||
y4 |
|
|
|||||||||||||
x!4 |
|
y4!1 |
|
|
|
|
x!4 |
|
y5!1 |
|
|
|
|||
|
lim ln |
1 + |
|
|
2 x |
|
lim y |
(x) = lim lny |
|
= ln2: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!4 |
|
|
r1 + sin 2 |
= x!4 7 |
|
y6!2 |
6 |
|
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ ⥮६¥ ® ¯à¥¤¥«¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ãá«®¢¨¥ -¥¯à¥àë¢-®á⨠äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x = a -¥«ì§ï § ¬¥-¨âì - ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ -¨ï ¯à¥- ¤¥« äã-ªæ¨¨ f (x) ¯à¨ x ! a. „¥«® ¢ ⮬, çâ® ¥á«¨ lim f (x) = A, lim x(t) =
x!a |
t!t0 |
= a ¨ lim f (x(t)) áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¢¥à-® à ¢¥-á⢮ lim f (x(t)) = lim f (x) = A,
t!t0 |
t!t0 |
x!a |
-® áãé¥á⢮¢ -¨¥ ¯à¥¤¥« f (x(t)) -¥ á«¥¤ã¥â ¨§ áãé¥á⢮¢ -¨ï ¯à¥¤¥«®¢ äã-ªæ¨© f (x) ¨ x(t).
•ãáâì a | â®çª à áè¨à¥--®© ç¨á«®¢®© ¯àאַ© (â® ¥áâì ç¨á«® ¨«¨ ®¤¨- ¨§ ᨬ¢®«®¢ +1, 1, 1). Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ U (a) ®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ a: ¥á«¨ a | ç¨á«®, â® U (a) | ¨-â¥à¢ « á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ a; ¥á«¨ a = +1, â® U (a) |
«î¡®© «ãç x > ; ¥á«¨ a = 1, â® U (a) | «î¡®© «ãç x < ; ¥á«¨ a = 1, â® U (a) | ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ ¤¢ãå «ã祩: fx > g [ fx < g. Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ U_ (a)
¯à®ª®«®âãî ®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ a: U_ (a) = U (a)\fag.
1.3. •¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè ï äã-ªæ¨ï
”ã-ªæ¨ï f (x) - §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 ¯à¨ x ! a, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« C áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ-®áâì U (a) â ª ï, çâ® jf (x)j > C ¤«ï «î¡®£® x 2 U_ (a) \ E (E | ¬-®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï äã-ªæ¨¨
f(x)).
‡¬¥-ïï ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ -¥à ¢¥-á⢮ jf (x)j > C - f (x) > C (f (x) < < C) ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-®© (®âà¨æ ⥫ì-®©) ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 äã-ªæ¨¨.
“⢥ত¥-¨¥, çâ® äã-ªæ¨ï f (x) ¯à¨ x ! a ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让 (¯®«®¦¨â¥«ì-®© ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让, ®âà¨æ ⥫ì-®© ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ì让) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
x!a |
1 |
x!a |
1 |
; |
x!a |
1 |
lim f (x) = |
|
lim f (x) = + |
|
lim f (x) = |
: |
‘ä®à¬ã«¨à㥬 ®á-®¢-ë¥ á®®â-®è¥-¨ï ¤«ï ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè¨å äã-ªæ¨©.
x2. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¯à¥¤¥« |
¢ á«ãç ¥ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®á⨠|
|
5 |
||||||||||
…᫨ xlima f (x) = 0, f (x) 6= 0, â® xlima |
1 |
= 1, ¨ ®¡à â-®, ¥á«¨ xlima f (x) = |
|||||||||||
f (x) |
|||||||||||||
! |
1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
||
= 1, â® xlima |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…᫨ xlim!a f1(x) = 1 ¨ xlim!a f2(x) = A, â® xlim(!a |
f1(x)+ f2(x)) = 1. |
||||||||||||
…᫨ xlim!a f1(x) = +1 ¨ xlim!a f2(x) = +1, â® xlim(!a |
f1(x)+ f2(x)) = +1. |
||||||||||||
…᫨ xlim!a f1(x) = 1 ¨ xlim!a f2(x) = A 6= 0, â® xlim(!a |
f1(x) f2(x)) = 1. |
||||||||||||
…᫨ xlim!a f1(x) = A 6= 0, f2(x) 6= 0 ¨ xlim!a f2(x) = 0, â® xlim!a |
f1(x) |
= 1. |
|||||||||||
f2(x) |
|||||||||||||
…᫨ xlima f1(x) = A ¨ xlima f2(x) = 1, â® xlima |
f1(x) |
= 0. |
|
|
|||||||||
f2(x) |
|
|
|
||||||||||
! |
|
|
!ln(x3+4x+2) |
! |
|
|
|
|
|
|
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•à¨¬¥à 7. • ©â¨ lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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ln(x10+x3+x2) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
•¥è¥-¨¥. •®«ì§ãïáì ã⢥ত¥-¨¥¬ ® ¯à¥¤¥«¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï, ¯®«ãç ¥¬:
xlim0 |
ln(x3 + 4x + 2) |
|
= xlim0 ln(x3 |
+4x +2) |
|
|
1 |
|
|
|
|
= ln2 0 = 0: |
||||||||||||||||||
ln(x10 + x3 |
+ x2) |
lim ln(x10 + x3 + x2) |
||||||||||||||||||||||||||||
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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x!0 |
|
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|
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|
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x |
|
|
|
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•à¨¬¥à 8. • ©â¨ |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
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|
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x! 1 |
2 |
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|
|
|
|
|
|
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x |
= 2x x1. •à¨¬¥-塞 ã⢥à- |
|||||||||
•¥è¥-¨¥. • áᬮâਬ ®¡à â-ãî ¢¥«¨ç¨-ã 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||
¦¤¥-¨¥ ® ¯à¥¤¥«¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¨ ¯®«ãç ¥¬: |
|
x! 1 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
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x! 1 2x |
x! 1 |
|
|
|
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x |
|
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x! 1 |
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|
|
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|
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x |
= |
lim |
|
|
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2 |
x |
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1 |
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= |
lim 2 |
x |
lim |
1 |
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= 0; |
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® x lim |
|
x |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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+ x . |
|
|
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|
|
|
|
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•à¨¬¥à 9. • ©â¨ |
lim |
|
4x2 + 4x |
|
|
|
|
|
|
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|
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è¨å ¯à¨ x ! +1 äã-ªæ¨©, ¯®í⮬ã |
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
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x!+1 |
|
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4 + 4 |
+ |
= +1 |
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p |
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lim |
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x |
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x |
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|
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x2. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¯à¥¤¥« ¢ á«ãç ¥ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®áâ¨
•à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ ¯à¥¤¥«®¢ |
|
|||
xlima |
f (x) |
; |
xlima (f (x) g(x)); |
xlima (f (x) g(x)) |
|
||||
g(x) |
||||
! |
|
|
! |
! |
¬®£ãâ ¢®§-¨ª-ãâì á¨âã 樨, ª®£¤ -¥¯®á।á⢥--®¥ ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ⥮६ ® ᢮©áâ¢ å ¯à¥¤¥«®¢ ¨ ¡¥áª®-¥ç-® ¡®«ìè¨å äã-ªæ¨© -¥ ¤ ñâ ¢®§¬®¦-®áâì ¨å ¢ëç¨á«¨âì. ’ ª®¥ ¯®«®¦¥-¨¥ ¢®§¬®¦-® ¢ á«¥¤ãîé¨å á«ãç ïå.
1. lim f (x) :
x!a g(x)
6 |
|
|
x2. |
‚ëç¨á«¥-¨¥ ¯à¥¤¥« ¢ á«ãç ¥ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®á⨠|
|||||
|
|
|
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|
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0 |
|
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) lim f (x) = lim g(x) = 0 (ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ®¡®§- ç ¥âáï |
); |
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x!a |
|
|
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0 |
|
|
|
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(ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ®¡®§- ç ¥âáï |
|
1 |
|
||
2. lim (f (x) |
|
g(x))!: |
|
|
|||||
|
¡) lim f (x) = lim g(x) = |
1 |
|
). |
|||||
|
x!a |
|
x a |
|
|
|
1 |
|
|
|
x!a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xlima f (x) = 0, xlima g(x) = 1 (ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ®¡®§- ç ¥âáï [0 1]). |
||||||||
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
3. |
xlima (f (x) g(x)) : |
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xlima f (x) = xlima g(x) = 1 (ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ®¡®§- ç ¥âáï [1 1]). |
||||||||
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
‚ ⮬ б«гз ¥, ª®£¤ ¨¬¥¥в ¬¥бв® -¥®¯а¥¤¥«с--®бвм, ¤«п ¢лз¨б«¥-¨п ¯а¥- ¤¥« - \а бªалв¨п -¥®¯а¥¤¥«с--®бв¨" - ¯а¥®¡а §®¢л¢ ов ¢ла ¦¥-¨¥ в ª, зв®¡л ¯®«гз¨вм ¢®§¬®¦-®бвм ¥£® ¢лз¨б«¨вм. „«п в ª¨е ¯а¥®¡а §®¢ -¨© ¨б¯®«м§говбп ¨«¨ ⮦¤¥бв¢¥--л¥ б®®в-®и¥-¨п ¨«¨ ба ¢-¥-¨п ¯®¢¥¤¥-¨п дг-ªж¨¨ ¯а¨ бва¥¬«¥-¨¨ x ! a (б®®в-®и¥-¨п нª¢¨¢ «¥-в-®бв¥©).
”ã-ªæ¨ï f (x) íª¢¨¢ «¥-â- äã-ªæ¨¨ g(x) ¯à¨ x ! a (f (x) g(x) ¯à¨ x ! a), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã-ªæ¨ï (x), çâ® f (x) = (x)g(x), £¤¥(x) ! 1 ¯à¨ x ! 0.
‘®®â-®è¥-¨ï íª¢¨¢ «¥-â-®á⥩ ®¡« ¤ îâ á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨ (¢¥§- ¤¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® x ! a).
1.…᫨ f (x) g(x), â® g(x) f (x).
2.…᫨ f (x) g(x) ¨ g(x) h(x), â® f (x) h(x).
3.…᫨ f (x) g(x) ¨ h(x) s(x), â® f (x) h(x) g(x) s(x).
4.…᫨ lim f (x) = k, â® f (x) k.
x!a
‘¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 á®®â-®è¥-¨ï (¤¢ ®á-®¢-ëå ¯à¥¤¥« ):
lim |
sinx |
= 1; |
lim |
ex 1 |
= 1: |
|
x |
||||
x!0 x |
|
x!0 |
|
‚ ¤à㣮© § ¯¨á¨:
sinx x ¯à¨ x ! 0; ex 1 x ¯à¨ x ! 0:
Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à¨ x ! 0:
1 cosx = 2sin2 |
x |
|
x2 |
|
sinx |
|
||
|
|
|
|
; |
tgx = |
|
x; |
|
2 |
|
2 |
cosx |
|||||
arcsinx sin(arcsinx) = x; |
ln(1+ x) eln(1+x) 1 = x: |
‘¢¥¤ñ¬ ¯®«ãç¥--ë¥ ¨ - «®£¨ç-ë¥ ¨¬ á®®â-®è¥-¨ï ¢ â ¡«¨æã.
x2. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¯à¥¤¥« |
|
¢ á«ãç ¥ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®á⨠|
|
|
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7 |
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||||||||||||||||||||||||||
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•ª¢¨¢ «¥-â-®á⨠¯à¨ x ! 0 |
|
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sinx x x2 |
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1 cosx |
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2 |
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tgx x |
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arcsinx x |
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arctgx |
x x |
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|
a |
xe |
1 x |
|
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|
1 x lna |
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ln(1+ x) xx |
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+ x) |
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loga(1m |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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(1+ x) |
|
|
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1 mx |
|
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|
|
|
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|
|
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|
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•à¨¬¥à 1. ‚ëç¨á«¨âì ¯à¥¤¥« |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0 |
|
|
|
( |
m > |
1 |
; n > |
1 |
; a b |
m 6= 0) |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!+1 bmxm + bm 1xm 1 + : : : + b1x + b0 |
|
|
|
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§- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ - |
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xm. |
|
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11 . • §¤¥«¨¬ ç¨á«¨â¥«ì ¨ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥. |
ˆ¬¥¥¬ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®áâì ¢¨¤ |
|
|
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lim |
anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0 |
|
= |
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x!+1 bmxm + bm 1xm 1 + : : : + b1x + b0 |
|
|
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|
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|
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xn m + a |
n 1 |
xn 1 m + : : : + |
|
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lim |
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x |
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= |
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+ : : : + |
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j |
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x2+1 |
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x |
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x |
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+ x + 1 |
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lim |
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2x3 1 |
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3 |
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lim |
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x!1 x2 |
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4x + 3 |
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x!1 |
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x |
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3 |
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2 |
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x |
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1 |
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x |
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3 |
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tgxx3sinx |
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x |
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tgx sinx |
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= lim |
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lim |
= lim |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x!0 |
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x3 |
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x!0 |
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x3 |
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x!0 |
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|
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|
|
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|
|
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|
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|
1 cost(x) |
t (x) |
|
|
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|
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|
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|
|
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arctgt(x) t(x) |
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|
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||||||||
|
et(x) 1 t(x) |
|
|
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|
||||||||
|
at(x) 1 t(x)lna |
|
|
|
|
|
|
|
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|
ln(1 + t(x)) t(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
log |
(1 + t(x)) |
|
|
t(x) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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a |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
(1 + t(x)) |
|
1 m t(x) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
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arcsin(x+3) |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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x |
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x + 3 |
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x + 3 |
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|
= xlim3 |
|
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: |
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x2 + 3x |
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x2 + 3x |
x(x + 3) |
3 |
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|
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1 cos10x . |
|
|
|
|
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|
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1 cos15x |
|
|
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|
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cost(x); £¤¥ t(x) = 100 x ¨ lim 10x = 0; |
||||||||||||
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ˆ¬¥¥¬ -¥®¯à¥¤¥«ñ--®áâì ¢¨¤ |
0 . • áᬮâਬ äã-ªæ¨î |
|||||||||||
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|
|
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x |
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0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯®í⮬ã 1 cos10x (102x)2 . €- «®£¨ç-®, 1 cos15x (152x)2 , ®âáî¤ ¯®«ã稬
lim |
1 cos10x |
= lim |
(10x)2 |
= |
4 |
: |
||
1 cos15x |
(15x)2 |
9 |
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x!0 |
x!0 |
|
|
|||||
•à¨¬¥à 13. ‚ëç¨á«¨âì ¯à¥¤¥« lim |
4x 64. |
|
|
|
||||
|
|
x!3 |
x 3 |
|
|
|