Функции нескольких переменных						357
	16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
		Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0				) .
		Точка M (x, y, z) называется обыкновен-				nG
	О
		ной, если все три частные производные
		∂F	∂F	∂F
		∂x ,	∂y ,	∂z существуют, непрерывны и		M	aG
		хотя бы одна из них отлична от нуля.			L

ОТочка M (x, y, z) называется особой точкой поверхности, если все три частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

О Прямая линия называется касательной к поверхности в точке M (x, y, z) , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей

на поверхности и проходящей через точку M .

ТВсе касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке M лежат в одной плоскости.

Рассмотрим на поверхности линию:

x = x(t),
L : y = y(t),	)
z = z(t).

Касательная к этой кривой будет касательной и к поверхности. Уравнения касательной в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) имеют вид:

x − x0

=

y − y0

=

z −

z0

.

dx

dy

dz

dt

M 0

dt

M 0

dt

M 0

Подставим уравнения L ) в уравнение поверхности ) :

F[x(t), y(t), z(t)]= 0 .

Продифференцируем полученное тождество по t , получим, что

Рассмотрим						вектор
G		∂F	,	∂F	,	∂F
n	=	∂x		∂y		.
						∂z

∂F dx

+

∂F dy

+

∂F dz

= 0 .

∂x dt

∂y dt

∂z dt

касательной

aG = dr

= dx

, dy

, dz

и вектор

dt

dt

dt

dt

358	Лекции 15 - 16

Скалярное произведение этих векторов равно:

(nG aG) = ∂∂Fx dxdt + ∂∂Fy dydt + ∂∂Fz dzdt .

Выше показано, что это выражение равно нулю, значит, действительно, вектор nG перпендикулярен вектору a в точке M (x, y, z) .

Итак, nG = ∂F , ∂F , ∂F – вектор нормали к поверхности F(x, y, z) = 0 .

∂x ∂y ∂z

ОПлоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности F( x, y,z ) = 0 в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид:

∂F			( x − x0 ) +	∂F			( y − y0 ) +	∂F		(z − z0 ) = 0 .
∂x		M0		∂y		M0		∂z		M0

Если поверхность задана явно: z = f (x, y) , то

z − f ( x, y ) = 0 , ∂∂Fx = − ∂∂fx , ∂∂Fy = − ∂∂fy , ∂∂Fz =1

и уравнение касательной принимает вид:

z − z	0	=	∂f		(x − x	0	) +	∂f	( y − y	0	) .
			∂x		M0			∂y	M0

ОПрямая, проведенная через точку M (x, y, z) поверхности, перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Уравнения нормали имеют вид:

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

,

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

∂F

∂F

∂F

∂f

∂f

−

−

1

∂x

M 0

∂y

∂z

M 0

∂x

M 0

∂y

M 0

M 0

Функции нескольких переменных

359

Пример:

Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к винтовой линии:

x = a cos t,	dx			dy = a cost ,			dz = am .
y = a sin t,		= −asin t ,
z = amt.	dt			dt			dt
Уравнения касательной:				x −a cost	=	y −asin t		=	z −amt	.
				−asin t
							a cost		am

Уравнение нормальной плоскости:

−asin t(x −a cost) + a cost( y −a sin t) + am(z −amt) = 0 .

Пример:

Найдите уравнения касательной и нормаль-

z

ной плоскости к линии пересечения сферы

x2 + y2 + z 2

= 4r 2

и цилиндра

x2 + y2 = 2ry

в точке M 0 (r, r, r

2) .

Здесь Φ1( x, y,z ) = x2 + y2 + z2 − 4r2 ,

y

Φ2 (x, y, z) = x2 + y2 −2ry .

2r

∂Φ1

= 2x ,

∂Φ1

= 2 y ,

∂Φ1

= 2z

;

O

∂x

∂y

∂z

∂Φ2

= 2x ,

∂Φ2

= 2 y −2r ,

∂Φ2

= 0 .

∂x

∂y

∂z

x

Значения производных в точке M :

∂Φ1

= 2r ,

∂Φ1

= 2r ,

∂Φ1

= 2r 2 ;

∂x

∂y

∂z

∂Φ2

= 2r ,

∂Φ2

= 0 ,

∂Φ2

= 0 .

∂x

∂y

∂z

Уравнения касательной:

x −r = y −r

= z −r 2 .

0

2

−1

Уравнение нормальной плоскости:

2( y −r) −(z −r

2) = 0 .

Пример:

Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

шара x2 + y2 + z 2

=14 в точке P(1,2,3) .

F (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 −14 = 0 .

∂F

= 2x ;

∂F

= 2 y ;

∂F

= 2z .

∂x

∂y

∂z

В точке P(1,2,3) :

∂F

= 2 ;

∂F

= 4 ;

∂F

= 6 .

∂x

∂y

∂z

Уравнение касательной плоскости:

360

Лекции 15 - 16

2(x −1) + 4( y − 2) + 6(z − 3) = 0 ↔ x + 2 y + 3z −14 = 0 .

Уравнения нормали:

x −1

=

y −2

=

z −3

↔

x −1

=

y −2

=

z −3

.

2

4

6

1

2

3

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен уметь:

вычислять частные производные функций, заданных явно, неявно, параметрически;

находить точки экстремумов и условных экстремумов;

владеть геометрическими приложениями (касательная плоскость и нормаль к поверхности и т.д.)