12. Вывод формулы гидравлического прыжка. Прыжковая функция. Графоаналичтический метод определения места расположения гидравлического прыжка.

Для решения многих задач гидравлики необходимо установить связь между сопряженными глубинами прыжка h₁ и h₂. При выводе уравнения, связывающего эти величины, используем закон изменения количества движения для отсека жидкости, находящегося между сечениями 1–1 и 2–2 (рис.11.2). Согласно этому закону, изменение количества движения рассматриваемого объема жидкости за малый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на отсек жидкости. .

Уравнение составим в проекциях на направление движения.

Так как прыжок имеет относительно малую длину, то при выводе уравнения используем следующие допущения:

• русло, в котором возникает гидравлический прыжок, считаем достаточно длинным и цилиндрическим, имеющим прямоугольное или близкое к нему сечение;

• уклоном дна русла в пределах прыжка можно пренебречь, считаем, что дно русла в пределах прыжка горизонтально, т. е. I₀ = 0;

• силы трения на стенках русла в пределах прыжка малы, и ими можно пренебречь;

• движение жидкости в сечениях 1–1 и 2–2 плавноизменяющееся, и давление в этих сечениях распределяется по гидростатическому закону;

• коэффициенты количества движения в сечениях равны между собой: .

Рис. 11.2

Отсек жидкости, находившийся в начальный момент времени между сечениями 1–1 и 2–2, за малый промежуток времени переместится в положение между сечениями 1'–1' и 2'–2'. Из рис. 11.2 видно, что количество движения объема жидкости, заключенного между сечениями 1'–1' и 2–2 за это время не изменилось. Таким образом, изменение количества движения всего начального отсека определится как разность количества движения отсека 2'–2' – 2–2 и отсека 1'–1' – 1–1.

Количество движения отсека 2'–2' – 2–2 определим как

.

Величина V₂ объема отсека 2'–2' – 2–2 здесь рассчитана как произведение образующей цилиндра на площадь поперечного сечения.

Количество движения отсека 1'–1' – 1–1 определится аналогично: .

Определим теперь проекции на направление движения всех сил, действующих на выделенный объем жидкости. На этот объем действуют следующие силы:

• вес объема жидкости G;

• сила реакции дна русла R;

• сила реакции боковых стенок русла R _бок;

• силы трения, распределенные по поверхности дна и стенок, T₀;

• сила давления P_д2 со стороны жидкости, находящейся вверх по течению от сечения 2–2;

• сила давления P_д1 со стороны жидкости, находящейся вниз по течению от сечения 1–1.

В соответствии с вышеприведенными допущениями, силами трения мы условились пренебречь. Вес объема жидкости и силы реакции дна и боковых стенок не дают проекций на направление движения, так как они перпендикулярны этому направлению. Таким образом, следует учесть лишь параллельные направлению движения силы давления. Мы приняли движение в сечениях 1–1 и 2–2 плавноизменяющимся и распределение давления в них гидростатическим. Это значит, что сила давления равна произведению площади сечения потока на давление в центре тяжести сечения. Таким образом, силы давления выразятся как

.

Здесь y₁ и y₂ – заглубление под уровнем поверхности жидкости центров тяжести соответствующих сечений.

Объединяя полученные выражения в закон изменения количества движения для отсека жидкости, получим

.

Учитывая, что и приводя подобные члены, окончательно получим:

.

(11.1)

Это уравнение называется основным уравнением гидравлического прыжка. Из него следует, что если заданы расход и форма русла, то левая часть уравнения (11.1) зависит только от глубины h₁, а правая – только от глубины h₂. Поэтому вводят обозначение

(11.2)

где h – глубина в данном сечении, ω и y – площадь сечения и заглубление центра тяжести, соответствующие этой глубине.

Функцию называют прыжковой функцией. Тогда основное уравнение прыжка (11.1) можно записать в следующем виде: ,

т. е. прыжковые функции для сопряженных глубин равны между собой.

Из формулы (11.2) видно, что прыжковая функция стремится к бесконечности при (т. е. при) и при(т. е. при). Это значит, что прыжковая функция имеет минимум. Глубину, соответствующую минимуму прыжковой функции, можно найти, взяв производную этой функции и приравняв ее нулю. Оказывается, что минимум прыжковой функции соответствует критической глубине. График прыжковой функции приведен на рис. 11.3. Пользуясь этим графиком, можно по заданной глубинеh₁ найти глубину h₂ и, наоборот, по известной глубине h₂ найти глубину h₁ (пример приведен на рисунке).

Рис.11.3 Рис. 11.4

Заметим, что зависимость удельной энергии сечения от глубины (рис. 10.7) имеет характер, схожий с зависимостью от глубины прыжковой функции, с минимумом при критической глубине.