Примерная программа зачета по квантовой механике

1. Квантовая гипотеза Планка. Краткая история становления и развития квантовых представлений.

2. Эрмитовые операторы в квантовой механике. Смысл собственных значений и собственных функций. Вырождение в квантовой механике.

3. Матрицы Паули и их свойства.

4. Перестановочные соотношения в квантовой механике. Примеры.

5. Соотношение неопределенностей. Примеры.

6. Принцип суперпозиции.

7. Вероятностный смысл волновой функции.

8. Измерение в квантовой механике. Среднее значение.

9. Симметрия и законы сохранения в квантовой механике.

10. Преобразование сдвига и оператор импульса.

11. Преобразование поворота и оператор момента количества движения.

12. Основные соотношения алгебры момента количества движения.

13. Основное соотношение векторной модели сложения моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана.

14. Алгебра Бозе-операторов.

15. Уравнение Шредингера. Плотность вероятности и плотность потока вероятности. Свойства стационарных состояний. Уравнение Шредингера и вариационный принцип.

16. Уравнение Гейзенберга. Законы сохранения в квантовой механике.

17. Уравнения Эренфеста – квантовый аналог уравнений Ньютона.

18. Одномерное движение. Кусочно-постоянный потенциал.

19. Гармонический осциллятор. Гамильтониан, энергетический спектр, волновые функции.

20. Движение в центральном поле. Вид волновой функции, общий характер энергетического спектра.

21. Пространственный ротатор. Гамильтониан, энергетический спектр, волновые функции.

22. Атом водорода. Гамильтониан, энергетический спектр, волновые функции, квантовые числа, вырождение. Пространственное распределение плотности вероятности. sp-гибридизация.

23. Основы квантовой химии. Метод молекулярных орбиталей (МО-ЛКАО). Гомоядерные и гетероядерные молекулы. Связывающие и антисвязывающие МО.

24. Сверхтонкие взаимодействия. Сверхтонкая структура спектра атома водорода.

25. Стационарная теория возмущений. Невырожденный уровень. Поправки первого и второго приближений теории возмущений для энергии и первого приближения для волновой функции.

26. Стационарная теория возмущений. Вырожденный уровень. Первое приближение. Система уравнений для коэффициентов правильной линейной комбинации и секулярное уравнение для энергии.

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #1 по квантовой механике

1. Симметрия и законы сохранения в квантовой механике.

2. Спин и перестановочная симметрия. Обменное взаимодействие Гейзенберга.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004г.

Экзаменационный билет #2 по квантовой механике

1. Преобразование сдвига и оператор импульса.

2. Тонкая структура спектра атома водорода.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004г.

Экзаменационный билет #3 по квантовой механике

1. Преобразование поворота и оператор момента количества движения.

2. Принцип тождественности частиц в квантовой механике. Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #4 по квантовой механике

1. Алгебра момента количества движения. Матрицы момента.

2. Симметризация и антисимметризация волновых функций. Детерминант Слэйтера. Принцип Паули.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #5 по квантовой механике

1. Векторная модель сложения моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана.

2. Представление чисел заполнения и метод вторичного квантования.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #6 по квантовой механике

1. Уравнение Шредингера. Плотность вероятности и плотность потока вероятности.

2. Дираковская частица в магнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный момент электрона.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #7 по квантовой механике

1. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния.

2. Дираковская частица в электрическом поле. Релятивистские поправки.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004г.

Экзаменационный билет #8 по квантовой механике

1. Представления зависимости от времени в квантовой механике. Уравнение Гейзенберга.

2. Метод парциальных волн в теории упругого рассеяния.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #9 по квантовой механике

1. Гармонический осциллятор.

2. Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. Свободное движение дираковской частицы.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #10 по квантовой механике

1. Движение в центральном поле.

2. Квантовая теория упругого рассеяния. Борновские приближения.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004г.

Экзаменационный билет #11 по квантовой механике

1. Пространственный ротатор.

2. Квантовая теория упругого рассеяния. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение рассеяния.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #12 по квантовой механике

1. Атом водорода.

2. Метод парциальных фотонов. Правила отбора для электромагнитных переходов.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #13 по квантовой механике

1. Стационарная теория возмущений. Невырожденный уровень.

2. Рассеяние в центральном поле. Формула Резерфорда.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #14 по квантовой механике

1. Стационарная теория возмущений. Вырожденный уровень.

2. Квантовая теория упругого рассеяния. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение рассеяния.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #15 по квантовой механике

1. Стационарная теория возмущений. Случай двух близких уровней.

2. Дираковская частица в магнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный момент электрона.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #16 по квантовой механике

1. Основы нестационарной теории возмущений. Матрица рассеяния.

2. Тонкая структура спектра атома водорода.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #17 по квантовой механике

1. Квантовые переходы. Золотое правило Ферми.

2. Векторная модель сложения моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #18 по квантовой механике

1. Основы теории электромагнитных переходов. Длинноволновое приближение.

2. Симметризация и антисимметризация волновых функций. Детерминант Слэйтера. Принцип Паули.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #19 по квантовой механике

1. Метод парциальных фотонов. Правила отбора для электромагнитных переходов.

2. Тонкая структура спектра атома водорода.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #20 по квантовой механике

1. Квантовая теория упругого рассеяния. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение рассеяния.

2. Преобразование поворота и оператор момента количества движения.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #21 по квантовой механике

1. Метод парциальных волн в теории упругого рассеяния.

2. Принцип тождественности частиц в квантовой механике. Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #22 по квантовой механике

1. Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. Свободное движение дираковской частицы.

2. Алгебра момента количества движения. Матрицы момента.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #23 по квантовой механике

1. Атом водорода.

2. Метод парциальных волн в теории упругого рассеяния.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #24 по квантовой механике

1. Дираковская частица в магнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный момент электрона.

2. Преобразование сдвига и оператор импульса.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #25 по квантовой механике

1. Тонкая структура спектра атома водорода.

2. Пространственный ротатор.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004г.

Экзаменационный билет #26 по квантовой механике

1. Квантовые переходы. Золотое правило Ферми.

2. Векторная модель сложения моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #27 по квантовой механике

1. Стационарная теория возмущений. Вырожденный уровень.

2. Рассеяние в центральном поле. Формула Резерфорда.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #28 по квантовой механике

1. Стационарная теория возмущений. Невырожденный уровень.

2. Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. Свободное движение дираковской частицы.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #29 по квантовой механике

1. Гармонический осциллятор.

2. Спин и перестановочная симметрия. Обменное взаимодействие Гейзенберга.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #30 по квантовой механике

1. Алгебра момента количества движения. Матрицы момента.

2. Принцип тождественности частиц в квантовой механике. Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #31 по квантовой механике

1. Движение в центральном поле.

2. Представление чисел заполнения и метод вторичного квантования.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #32 по квантовой механике

1. Дираковская частица в магнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный момент электрона.

2. Представление чисел заполнения и метод вторичного квантования.

3. Задача

Утверждаю:

Заведующий кафедрой

теоретической физики

_____________ 2004 г.

Экзаменационный билет #33 по квантовой механике

4. Векторная модель сложения моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана.

5. Приближение Хартри самосогласованного поля в теории атома

6. Задача

Задачи по квантовой механике.

1. Доказать, что оператор градиента является антиэрмитовым на базисе функций, обращающихся в нуль на бесконечности.

2. Доказать равенство [LL] = iL, где L – оператор орбитального момента.

3. Доказать равенство (a)( b)=(ab)+i([ab]), где  – матрицы Паули, a и b – произвольные векторы.

4. Рассчитать коммутаторы следующих операторов:

• 

• 

• 

- некоторый постоянный вектор, - векторное произведение.

5. Найти среднее значение кинетической энергии в n-состоянии линейного гармонического осциллятора.

6. Найти среднее значение потенциальной энергии в n-состоянии линейного гармонического осциллятора.

7. Найти матрицу оператора x³ на базисе |n> функций линейного гармонического осциллятора.

8. Найти матрицу оператора p_x³ на базисе |n> функций линейного гармонического осциллятора.

9. Частица находится в потенциальной яме ширины глубины. Определить энергетический спектр, волновые функции локализованных состояний.

10. Частица с энергией падает на потенциальный барьер высоты . Определить коэффициент отражения, коэффициент прохождения при .

11. Частица с энергией падает на потенциальный барьер высоты . Определить коэффициент отражения, коэффициент прохождения при .

12. Найти энергетический спектр и волновые функции частицы, движущейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:

если x<a, y<b.

13. Рассчитать коммутатор [H, r], где H – одночастичный оператор Гамильтона, r - радиус-вектор частицы.

14. Найти распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

15. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а: найти вероятность обнаружения частицы в области a/3 x2a/3.

16. Волновая функция частицы имеет вид

, - нормировочная постоянная. Определить распределение вероятностей различных значений импульса в этом состоянии.

17. Доказать, что в одномерной потенциальной яме конечной глубины и ширины всегда есть, хотя бы один локальный уровень.

18. Найти энергетический спектр и волновые функции двумерного гармонического осциллятора, описываемого гамильтонианом

.

19. Проверить непосредственным расчётом справедливость теоремы вириала для линейного гармонического осциллятора.

20. Построить оператор, эрмитово сопряжённый к (∂/∂r), где r – радиальная переменная в сферической системе координат.

21. Частица помещена в трёхмерную бесконечно глубокую потенциальную яму (U(x, y, z) = ∞, |x| > a, |y| > b, |z| > c). Определить среднее давление частицы на стенки ямы. Указание: рассмотреть выражение для работы, совершаемой при бесконечно малом изменении объёма области, доступной для частицы.

22. Линейный одномерный гармонический осциллятор, несущий заряд Q, помещён в однородное электрическое поле с напряжённостью E. Найти среднее значение координаты осциллятора в n-м состоянии.

23. Найти среднее значение x² для линейного гармонического осциллятора, находящегося в своём третьем возбуждённом состоянии.

24. Найти с.з. и нормированные с.ф. оператора ∂/∂,где  угловая переменная в полярной системе координат.

25. Определить энергетические уровни дискретного спектра частицы в потенциальной яме: U(x) = ∞, x < 0; 0, 0<x<a; U₀, x>a.

26. Вычислить среднее значение оператора вn-м стационарном состоянии _n гамильтониана: , где- оператор вириала. Получить отсюда соотношение между средней кинетической и потенциальной энергией для случаяU(x) ~ x^(теорема вириала). Указание: учесть, что, по определению, H _n = E_n _n

27. Частица, помещённая в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины a (0<x<a), находится в состоянии с волновой функцией A x (x  a). Найти для неё распределение различных значений энергии и среднюю энергию, определив константу A из условия нормировки. Указание: для нахождения распределения энергий рассмотреть ‹|_n›, где _n – в.ф. n-го стационарного состояния.

28. Частица, помещённая в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины a (0<x<a), находится в состоянии с волновой функцией A sin²(x/a). Найти для неё распределение различных значений энергии и среднюю энергию, определив константу A из условия нормировки. Указание: для нахождения распределения энергий рассмотреть ‹|_n›, где _n – в.ф. n-го стационарного состояния.

29. Вычислить коэффициент отражения от потенциального барьера: U = 0, x<0; U₀, x>0.

30. Оператор спина электрона (в единицах ħ) имеет вид: = ½ , где _x, _y_z, _i – матрицы Паули. Составить оператор S_n проекции спина на ось n. Найти среднее значение S_n в состояниях с S_z = ± ½ ? Каковы вероятности проекций S_n = ± ½ в указанных состояниях?

31. Проверить непосредственным расчётом справедливость теоремы вириала для линейного гармонического осциллятора.

32. В одномерной потенциальной яме сколь угодно малой глубины всегда имеется по крайней мере одно связанное состояние (один уровень дискретного спектра). Доказать эту теорему для случая симметричной прямоугольной ямы.

33. Рассчитать среднюю величину произведения неопределённостей xp для основного состояния линейного гармонического осциллятора (A = ‹A²›  ‹A›²).

34. Рассчитать среднюю величину произведения неопределённостей xp для основного состояния частицы в бесконечно глубокой симметричной потенциальной яме ширины a (A = ‹A²›  ‹A›²).

35. Найти среднее значение электрического квадрупольного момента в 2p_z-состоянии атома водорода.

36. Найти “среднеквадратичное” значение радиуса “орбиты” электрона в 1s-состоянии атома водорода.

37. Рассчитать матрицу электрического дипольного момента электрона на базисе состояний атома водорода с n=2.

38. Найти распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии атома водорода.

39. Найти средний потенциал поля, создаваемого ядром и электроном в основном состоянии атома водорода.

40. Найти с.з. и с. ф. спинового оператора (S=1)

a)V_S= DS_z² +E(S_x²-S_y²)

b)V_S= S_xS_y+S_yS_x (S=1)

c)V_S= S_xS_z+S_zS_x (S=1)

d)V_S= S_zS_y+S_yS_z (S=1)

41. Найти собственные значения и собственные функции спинового оператора V_S= I(S₁S₂) (I – «обменный» интеграл).

42. Найти собственные значения и собственные функции спинового оператора V_S= D[S₁S₂] (D – вектор Дзялошинского) для S₁=S₂=1/2.

43. Найти собственные функции квадрата и z-компоненты полного момента, являющегося суммой двух моментов S₁=S₂=1/2.

44. Найти расщепление и волновые функции nl-электрона атома водорода в кристаллическом поле, образованном точечными зарядами: а) 2p-электрон атома, находящегося в центре квадрата из точечных зарядов; б) 2p-электрон атома, находящегося в центре равностороннего треугольника из точечных зарядов; в) 3d-электрон атома, находящегося в центре квадрата из точечных зарядов (см., А.С. Москвин, Ю.Д. Панов, Атомы в кристаллах, УРГУ, 1999) ; г) 3d-электрон атома, находящегося в центре октаэдра из точечных зарядов (см., А.С. Москвин, Ю.Д. Панов, Атомы в кристаллах, УРГУ, 1999) ; д) 3d-электрон атома, находящегося в центре куба из точечных зарядов (см., А.С. Москвин, Ю.Д. Панов, Атомы в кристаллах, УРГУ, 1999) ; е) 3d-электрон атома, находящегося в центре тетраэдра из точечных зарядов (см., А.С. Москвин, Ю.Д. Панов, Атомы в кристаллах, УРГУ, 1999).

45. Рассчитать эффект Зеемана для 3dt_2g-электрона с учетом спин-орбитального взаимодействия.

46. Рассчитать вероятность электродипольного 1s-2p перехода в атоме водорода, помещенном в а) однородное электрическое поле, б) неоднородное электрическое поле тетрагональной (ромбической) симметрии, в) однородное магнитное поле.

47. Рассчитать поляризуемость атома водорода в основном состоянии.

48. Найти поправки к энергии и правильные линейные комбинации для N-кратно вырожденного уровня, если матрица оператора возмущения имеет вид: <i|V|j>=, i,j=1,2, …N (см. Ч. Китель, Введение в физику твердого тела, М., 1978, стр.757-760).