06 Крамеровские СЛУ
.pdfЛекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Вступительные замечания
В курсе аналитической геометрии упоминалась теорема Крамера для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными. В данной лекции эта теорема будет сформулирована и доказана в общем случае для систем n линейных уравнений с n неизвестными при любом n. Будут также получены некоторые следствия из этой теоремы.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Определение крамеровской системы. Определители, связанные с крамеровской системой (1)
Определение
Система линейных уравнений называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных.
Крамеровские системы получили название в честь швейцарского математика XVIII века Габриэля Крамера, который изучал их.
Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:
8a21x1 |
+ a22x2 |
+ |
+ a2nxn = b2 |
; |
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ + a1nxn = b1 |
; |
(1) |
|
>. . . . . . |
. . . . . . . . |
. . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
> |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
>an1x1 + an2x2 |
+ |
+ annxn = bn: |
|
||
> |
|
|
|
|
|
:
Определитель основной матрицы системы (1) обозначим через и будем называть определителем системы (1).
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Определители, связанные с крамеровской системой (2)
Далее, для всякого i = 1; 2; : : : ; n обозначим через i определитель матрицы, полученной заменой i-го столбца основной матрицы системы (1) на столбец свободных членов этой системы. Иными словами,
= |
a21 |
a22 |
: : : a2n |
; = |
b2 |
a22 |
: : : a2n |
; |
||||||
|
|
a11 |
a12 |
: : : |
a1n |
|
1 |
|
b1 |
a12 |
: : : |
a1n |
|
|
|
|
. . . . |
. . . . |
. . . . |
. . . |
|
|
|
. . . |
. . . . |
. . . . |
. . . |
|
|
|
|
|
an2 |
: : : |
ann |
|
|
|
|
an2 |
: : : |
ann |
|
|
|
an1 |
|
|
|
bn |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 b1 a13
a21 b2 a23
2 =
. . . . . . . . . .
an1 bn an3
|
|
|
|
|
|
|
: : : a1n |
|
a11 : : : a1 |
||
|
:.:. |
: a2n. |
|
|
|
. |
|
; : : : ; n = |
a.21. . .:.:.:. .a.2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : ann |
|
an1 : : : an |
n 1 b1
n 1 b2
:
. . . . . .
n 1 bn
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Теорема Крамера (1)
Основным результатом данного параграфа является следующая теорема, известная как теорема Крамера.
Теорема 1
Если 6= 0, то система (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам
x1 = 1 ; x2 = 2 ; : : : ; xn = n :
Доказательство. Пусть 6= 0. Докажем сначала существование решения системы (1). Для этого достаточно убедиться в том, что набор чисел
1 |
; |
2 |
; : : : ; |
n |
(2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
является решением системы, т. е. обращает все ее уравнения в верные равенства. Подставим этот набор в первое уравнение системы и разложим определитель 1 по первому столбцу, определитель 2 по второму столбцу, . . . , определитель n по n-му столбцу.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Теорема Крамера (2)
Получим
a11 1 + a12 2 + + a1n n =
=1 ( a11 1 + a12 2 + + a1n n) =
=1 a11(b1A11 + b2A21 + + bnAn1) +
+a12(b1A12 + b2A22 + + bnAn2) +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+a1n(b1A1n + b2A2n + + bnAnn) :
Раскрыв круглые скобки и сгруппировав слагаемые, содержащие b1; b2;
. . . , bn, можно переписать полученное выражение в виде
1 b1(a11A11 + a12A12 + + a1nA1n) + +b2(a11A21 + a12A22 + + a1nA2n) +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+bn(a11An1 + a12An2 + + a1nAnn) :
Выражение в первых круглых скобках есть не что иное, как разложение определителя по первой строке, а выражения в остальных круглых скобках равны нулю в силу предложения 8 из лекции 5.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Теорема Крамера (3)
Поэтому окончательно получаем, что
a11 1 + a12 2 + + a1n n = 1 b1 = b1;
т. е. набор чисел (2) обращает первое уравнение системы (1) в верное равенство. Аналогично проверяется, что он обращает в верные равенства и все остальные уравнения этой системы.
Докажем теперь единственность решения. Пусть (x10; x20; : : : ; xn0) произвольное решение системы (1). Иными словами, этот набор чисел обращает все уравнения системы в верные равенства:
|
a11x10 |
+ a12x20 |
+ + a1nxn0 |
= b1; |
|
8a21x10 |
+ a22x20 |
+ |
+ a2nxn0 |
= b2; |
|
> |
. . . . . . |
. . . . . . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . |
. . . . . . |
> |
|
|
|
|
|
< |
0 |
0 |
+ |
0 |
= bn: |
>an1x1 |
+ an2x2 |
+ annxn |
|||
> |
|
|
|
|
|
:
Умножим первое из этих равенств на A11, второе на A21, . . . , последнеена An1 и сложим полученные равенства.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Теорема Крамера (4)
Сгруппировав в левой части суммы слагаемые, содержащие x10; x20; : : : ; xn0,
получим
(a11A11 + a21A21 + + an1An1)x10 +
+(a12A11 + a22A21 + + an2An1)x20 +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+(a1nA11 + a2nA21 + + annAn1)xn0 = = b1A11 + b2A21 + + bnAn1:
Влевой части этого равенства выражение в первых круглых скобках есть в точности разложение определителя по первому столбцу, а выражения во всех остальных круглых скобках равны нулю в силу предложений 8 и 10 из лекции 5. А в правой части стоит разложение определителя 1 по первому столбцу. Следовательно, последнее равенство можно переписать в виде x10 = 1. Аналогично доказывается, что x20 = 2; : : : ; xn0 = n. Таким образом, справедливо
Замечание 1
Если (x10; x20; : : : ; xn0) решение системы (1), то x10 = 1, x20 = 2, . . . ,
xn0 = n.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Теорема Крамера (5). Следствия 1 и 2
Поскольку 6= 0, получаем, что
x10 = |
1 |
; |
x20 = |
2 |
; |
: : : ; xn0 = |
n |
: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Итак, мы взяли произвольное решение и доказали, что оно совпадает с решением (2). Следовательно, решение единственно. Теорема Крамера доказана.
Укажем ряд следствий из теоремы Крамера. Из замечания 1 непосредственно вытекает
Следствие 1
Если = 0, а по крайней мере один из определителей 1, 2, . . . , n отличен от 0, то система (1) не имеет решений.
Следствие 2
Если = 1 = 2 = = n = 0, то система (1) либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Доказательство следствия 2 приведено на следующем слайде.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |
Доказательство следствия 2
Доказательство. Предположим, что = 1 = 2 = = n = 0 и система (1) совместна. Достаточно проверить, что в этом случае система
(1) имеет бесконечно много решений. В силу теоремы 2 из лекции 3 для этого достаточно убедиться в том, что однородная система
8a21x1 |
+ a22x2 |
+ + a2nxn = 0; |
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ + a1nxn = 0; |
(3) |
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
> |
|
|
|
< |
|
|
|
>an1x1 |
+ an2x2 |
+ + annxn = 0; |
|
> |
|
|
|
соответствующая системе: |
(1), имеет бесконечно много решений. Ясно, что |
определители систем (1) и (3) совпадают. Следовательно, определитель системы (3) равен 0. Приведем основную матрицу последней системы к ступенчатому виду. Ясно, что полученная матрица будет верхнетреугольной. В силу предложения 11 из лекции 5 по крайней мере один элемент на ее главной диагонали равен 0. Из определения ступенчатой матрицы теперь вытекает, что последняя строка полученной нами ступенчатой матрицы является нулевой. Следовательно, число ненулевых строк в этой матрице меньше числа ее столбцов. В силу замечания 3 из лекции 4 однородная система, соответствующая полученной нами ступенчатой матрице, а значит и равносильная ей система (3), имеет бесконечно много решений.
Б.М.Верников |
Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений |