Матан, Лекции - Теляковский 1

6sTEPENNAQ FUNKCIQ f(x) = (1 + x)m

sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA m | NATURALXNOE ^ISLO. eSLI k 6 m, TO

f(k)(x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k

I, ZNA^IT,
f(k)(0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1) =	m!	:
	(m ; k)!

a ESLI k > m, TO f(k)(x) 0.

pO\TOMU OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n DLQ n >

m RAWEN NUL@ I

m

m!

xk

(1 + x)m =

X

k! :

(m

;

k)!

k=0

tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

m

m!

m

(1 + x)m =

X

xk

=

X

Cmk xk

(6.5.12)

(m

;

k)!k!

k=0

k=0

GDE Cmk | BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY (5.5.1), KOTORYE U^ASTWOWA- LI W FORMULE lEJBNICA DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ DWUH FUNK- CIJ.

iZ RAWENSTWA (6.5.12) LEGKO WYWESTI FORMULU BINOMA nX@TONA

						m
		(a + b)m =				X		Cmk akbm;k			(6.5.13)
						k=0
DLQ PROIZWOLXNYH ^ISEL a I b.									6
w SAMOM DELE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX b = 0, A W \TOM SLU^AE
m m		a		m		m		m	k ak	m	k k m;k
(a + b) = b		1 + b			= b		X		Cm bk =	X	Cma b :
							k=0			k=0

tOT FAKT, ^TO ^ISLA Cmk QWLQ@TSQ KO\FFICIENTAMI W PREDSTAW- LENII (6.5.13), SLUVIT OSNOWANIEM DLQ NAZWANIQ IH BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI.

eSLI m NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM, TO DLQ WSEH k f(k)(x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k

131

I, ZNA^IT,

				f(k)(0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1):
	pO\TOMU FORMULA tEJLORA PORQDKA n IMEET WID
				(1 + x)m = 1 + mx +
							1!				(6.5.14)
	m(m	1)			m(m		1) : : : (m		n + 1)
+	2!;		x2	+ +		;	n!	;		xn + Rn(x):
	w 16 GLAWE BUDET POKAZANO, ^TO PRI n ! 1 OSTATO^NYJ ^LEN
FORMULY tEJLORA (6.5.14) DLQ jxj < 1 STREMITSQ K NUL@, DLQ jxj > 1
\TO NE TAK, A DLQ x, RAWNYH +1							I ;1, WOPROS RE[AETSQ W ZAWISIMOSTI
OT ZNA^ENIQ m.

pROSTOE WYRAVENIE MNOGO^LENA tEJLORA IMEET E]E FUNKCIQ arctg x, OB \TOM BUDET GOWORITSQ W 16 GLAWE. wYRAVENIQ MNOGO^LE- NOW tEJLORA DRUGIH \LEMENTARNYH FUNKCIJ SLOVNY I MY NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ.

x 6.6. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@ STAR[IH PROIZWODNYH

dO SIH POR SWOJSTWA FUNKCIJ HARAKTERIZOWALSX S POMO]X@ PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA. sEJ^AS BUDEM ISSLEDOWATX SWOJSTWA FUNKCIJ, ISPOLXZUQ STAR[IE PROIZWODNYE.

sNA^ALA RASSMOTRIM WOPROS O LOKALXNYH \KSTREMUMAH.

tEOREMA 6.6.1.

pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@

PORQDKA

>

, PRI^EM

0

(x0) = f

00

(x0) = = f

(n;1)

(x0) = 0

, A

(n)

n n

1

f

f

(x0) 6= 0. tOGDA

1 .

eSLI n ^ETNO, TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ

\KSTREMUM, PRI^EM \TO MAKSIMUM, ESLI f(n)(x0) < 0, I MI-

NIMUM, ESLI f(n)(x0) > 0.

2 .

eSLI n NE^ETNO, TO f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0. pRI

\TOM f W TO^KE x0

STROGO WOZRASTAET, ESLI f(n)(x0) > 0, I

STROGO UBYWAET, ESLI f(n)(x0) < 0.

dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO PRI n = 1 USLOWIE TEOREMY OZNA-

^AET f0(x0) 6= 0.

w SILU USLOWIJ NA FUNKCI@ f(x) IZ FORMULY tEJLORA S OSTA- TO^NYM ^LENOM W FORME pEANO SLEDUET, ^TO

f(x) ; f(x0) =	f(n)(x0)	(x ; x0)n + o ((x ; x0)n) x ! x0: (6.6.1)
	n!

132

tAK KAK f(n)(x0) 6= 0, TO W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKREST- NOSTI TO^KI x0 ZNAK WYRAVENIQ W PRAWOJ ^ASTI OCENKI (6.6.1) OPRE- DELQETSQ PERWYM SLAGAEMYM. sEJ^AS NAS INTERESUET TOLXKO ZNAK \TOGO WYRAVENIQ PRI x, BLIZKIH K x0, PO\TOMU SLAGAEMOE o((x;x0)n) MOVNO NE U^ITYWATX.

pUSTX SNA^ALA n | ^ETNO. tOGDA (x ; x0)n > 0 DLQ WSEH x =6 x0.

pO\TOMU, ESLI f(n)(x0) > 0, TO f(x) ; f(x0) > 0, T.E. f(x) > f(x0),

DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0. a \TO OZNA^AET, ^TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. eSLI VE f(n)(x0) < 0, TO f(x) ; f(x0) < 0 DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, I, ZNA^IT, f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM.

pUSTX TEPERX n NE^ETNO. tOGDA (x ; x0)n > 0 DLQ x > x0 I

(x ; x0)n < 0 DLQ x < x0. pO\TOMU, ESLI f(n)(x0) > 0 I x PRI- NADLEVIT DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, TO

f(x) > f(x0), ESLI x > x0, I f(x) < f(x0), ESLI x < x0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f(x) STROGO WOZRASTAET W TO^KE x0. aNALOGI^NO

RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA f(n)(x0) < 0. tEOREMA DOKAZANA.

tAKIM OBRAZOM, ESLI U FUNKCII W NEKOTOROJ TO^KE ESTX NERAW- NAQ NUL@ PROIZWODNAQ KAKOGO-LIBO PORQDKA, TO W \TOJ TO^KE FUNK- CIQ ILI IMEET STROGIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM ILI QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ. tEOREMA 6.6.1 NEPRIMENIMA, ESLI FUNKCIQ NE IMEET W TO^KE OTLI^NYH OT NULQ PROIZWODNYH, T.E. ESLI WSE PROIZWODNYE DO NEKOTOROGO PORQDKA RAWNY NUL@, A PROIZWODNYE BOLEE WYSOKO- GO PORQDKA NE SU]ESTWU@T, ILI ESLI PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA SU]ESTWU@T, NO WSE ONI RAWNY NUL@.

tEOREMA 6.6.1 SFORMULIROWANA KAK DOSTATO^NOE USLOWIE SU]EST- WOWANIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA. nO IZ \TOJ TEOREMY MOVNO PO- LU^ITX I NEOBHODIMYE USLOWIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA, KOTORYE W ^ASTNOM SLU^AE DA@T TEOREMU fERMA 6.1.2.

tEOREMA 6.6.2. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@

PORQDKA n n > 1, PRI^EM WSE PROIZWODNYE MENX[EGO PORQDKA RAWNY NUL@, T.E. f0(x0) = f00(x0) = = f(n;1)(x0) = 0. tOGDA

1 . eSLI n ^ETNO, TO USLOWIE f(n)(x0) 6 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MAKSIMUM, A USLOWIE f(n)(x0) > 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MINIMUM.

2 . eSLI n NE^ETNO, TO USLOWIE f(n)(x0) = 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ \KSTEMUM.

dOKAZATELXSTWO. eSLI n ^ETNO I f(n)(x0) > 0, TO SOGLASNO TEORE- ME 6.6.1 f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. zNA^IT,

133

MUMA.

LOKALXNYJ MAKSIMUM WOZMOVEN TOLXKO PRI USLOWII f(n)(x0) 6 0. aNALOGI^NO POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE DLQ LOKALXNOGO MINI-

eSLI n NE^ETNO I f(n)(x0) =6 0, TO SOGLASNO TEOREME 6.6.1 f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0. zNA^IT, LOKALXNYJ \KSTREMUM W TO^KE x0 FUNKCIQ f MOVET IMETX TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA f(n)(x0) = 0.

rASSMOTRIM SWOJSTWA GRAFIKOW FUNKCIJ, IME@]IH PROIZWOD- NYE. w x5.2, BYLO DOKAZANO, ^TO SU]ESTWOWANIE PERWOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f(x) W TO^KE x0 \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ U GRAFIKA FUNKCII f KASATELXNOJ W TO^KE (x0 f(x0)).

sEJ^AS NAS BUDUT INTERESOWATX HARAKTERISTIKI GRAFIKA FUNK- CII, SWQZANNYE S POLOVENIEM GRAFIKA OTNOSITELXNO KASATELXNOJ. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0. gOWORQT, ^TO f WYPUKLA W TO^KE x0, ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKREST- NOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI WY[E KASATELXNOJ (T.E. NET TO^EK GRAFIKA, LEVA]IH NIVE KASATELXNOJ).

eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT WY[E KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WYPUKLOJ W TO^KE x0.

oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0. gOWORQT, ^TO f WOGNUTA W TO^KE x0, ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKREST- NOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI NIVE KASATELXNOJ.

eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NIVE KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WOGNUTOJ W TO^KE x0.

oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0. gOWORQT, ^TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f, ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII DLQ x < x0 LEVAT STROGO PO ODNU STORONU OT KASATELXNOJ W TO^KE x0, A DLQ x > x0 | STROGO PO DRUGU@ STORONU OT \TOJ KASATELXNOJ.

eSLI FUNKCIQ IMEET W TO^KE BESKONE^NU@ PROIZWODNU@ OPREDE- LENNOGO ZNAKA, TO TAKU@ TO^KU TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ PEREGIBA.

tEOREMA 6.6.3. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET OTLI^NU@

OT NULQ PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 2, A WSE PROIZWODNYE,										NA^I-
(n;1)			(n)	n ; 1	, RAWNY NUL@, T.E.		f	00	(x0) =	=
NAQ SO WTOROJ DO PORQDKA
f		.	(x0) = 0, A f (x0) 6= 0. tOGDA			STROGO WYPUKLA,				ESLI
1			eSLI n ^ETNO, TO	f W TO^KE x0

f(n)(x0) > 0, I STROGO WOGNUTA W TO^KE x0, ESLI f(n)(x0) < 0.

134

2 . eSLI n NE^ETNO, TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f.

dOKAZATELXSTWO. pRI n = 2 USLOWIE NA PROIZWODNYE OZN^AET, ^TO f00(x0) 6= 0.

uRAWNENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE x0 IMEET WID y = f(x0) + f0(x0)(x ; x0). rASSMOTRIM FUNKCI@

'(x) := f(x) ; f(x0) ; f0(x0)(x ; x0): dLQ FUNKCII '(x) WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ

'(x0) = '0(x0) = '00(x0) = = '(n;1)(x0) = 0:

pROIZWODNYE PORQDKA n W TO^KE x0 FUNKCIJ '(x) I f(x) RAWNY MEVDU SOBOJ. pO\TOMU W SLU^AE, KOGDA n ^ETNO, SOGLASNO TEORE- ME 6.6.1 '(x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM, ESLI

f(n)(x0) > 0, I STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM, ESLI f(n)(x0) < 0. a

TAK KAK

f(x) = '(x) + f(x0) + f0(x0)(x ; x0)

TO W TO^KE x0 FUNKCIQ f(x) STROGO WYPUKLA, ESLI f(n)(x0) > 0, I STROGO WOGNUTA, ESLI f(n)(x0) < 0.

eSLI VE n NE^ETNO, TO FUNKCIQ '(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE x0. zNA^IT, x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f(x).

tEOREMA DOKAZANA.

tAKIM OBRAZOM, W KAVDOJ TO^KE, W KOTOROJ FUNKCIQ IMEET OT- LI^NU@ OT NUL@ WTORU@ PROIZWODNU@, \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ILI STROGO WYPUKLOJ ILI STROGO WOGNUTOJ, PRI^EM PO ZNAKU WTOROJ PRO- IZWODNOJ MOVNO UZNATX, KAKOJ IMENNO SLU^AJ IMEET MESTO. eSLI VE WTORAQ PROIZWODNAQ RAWNA NUL@, A TRETXQ PROIZWODNAQ OTLI^NA OT NULQ, TO TAKAQ TO^KA QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA.

rAZUMEETSQ, FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI, KOTORYE NE QWLQ@TSQ EE TO^KAMI WYPUKLOSTI, WOGNUTOSTI ILI TO^KAMI PEREGIBA. nO W \TIH TO^KAH FUNKCIQ NE IMEET OTLI^NOJ OT NULQ PROIZWODNOJ PO- RQDKA n > 2.

x 6.7. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE

oPREDELENIE. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ NA PROMEVUT-

KE [a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA [x1 x2] [a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f(x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2), LEVAT NA HORDE, PRO- HODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f(x1)) I (x2 f(x2)), ILI NIVE \TOJ HORDY.

135

fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE

[a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA [x1 x2] [a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f(x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2), LEVAT NIVE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f(x1)) I (x2 f(x2)).

zDESX, KAK I W ANALOGI^NYH SLU^AQH NIVE, KONCEWYE TO^KI a I b MOGUT KAK PRINADLEVATX, TAK I NE PRINADLEVATX PROMEVUTKU [a b].

oPREDELENIE. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ WOGNUTOJ NA PROMEVUT-

KE [a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA [x1 x2] [a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f(x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2), LEVAT NA HORDE, PRO- HODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f(x1)) I (x2 f(x2)), ILI WY[E \TOJ HORDY. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ STROGO WOGNUTOJ NA PROMEVUTKE

[a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA [x1 x2] [a b]		WSE TO^KI GRAFIKA
FUNKCII f(x), SOOTWETSTWU@]IE x 2	(x1 x2), LEVAT WY[E HORDY,
PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f(x1)) I	(x2 f(x2)).
y	y
f выпукла	f	вогнута

a

x1

x2 b

x

a

x1

x2 b

x

nARQDU S \TOJ TERMINOLOGIEJ ISPOLXZU@T I DRUGU@, KOGDA WY- PUKLYE FUNKCII NAZYWA@T WYPUKLYMI WNIZ, A WOGNUTYE FUNK- CII | WYPUKLYMI WWERH.

oPREDELENIQ WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ S POMO]X@ SWOJSTW IH GRAFIKOW DA@T NAGLQDNOE PREDSTAWLENIE O TAKIH FUNKCIQH, NO \TIMI OPREDELENIQMI NEUDOBNO POLXZOWATXSQ. uKAVEM SWOJSTWA SA- MIH FUNKCIJ, RAWNOSILXNYE IH WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI.

zAMETIM, ^TO WOGNUTOSTX FUNKCII f(x) RAWNOSILXNA WYPUKLOS- TI FUNKCII ;f(x). |TO POZWOLQET PRI IZU^ENII SWOJSTW WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ RASSMATRIWATX TOLXKO WYPUKLYE FUNKCII.

fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE, NE OBQZATELXNO IME@T PRO- IZWODNU@ WO WSEH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA. nAPRIMER, WYPUKLOJ QWLQETSQ FUNKCIQ jxj. pO\TOMU W NEOBHODIMYH USLOWIQH WYPUKLOS- TI PROIZWODNYE NE MOGUT U^ASTWOWATX.

136

tEOREMA 6.7.1. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE [a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0, x, t0, t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM

x0 6 t0 < t		x0 < x 6 t	(6.7.1)
WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO
f(x)	; f(x0) 6 f(t) ; f(t0) :		(6.7.2)
x	; x0	t ; t0

dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE [a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO- ^EK x0, x, t0, t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM (6:7:1), WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO

f(x) ; f(x0) < f(t) ; f(t0) :		(6.7.3)
x ; x0	t ; t0

dOKAZATELXSTWO. pUSTX FUNKCIQ f WYPUKLA NA [a b]. sNA^ALA DOKAVEM NERAWENSTWO (6.7.2) PRI t0 = x.

uRAWNENIE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x0 f(x0)) I (t f(t))

GRAFIKA FUNKCII f, IMEET WID
y =	t ; x		f(x0) + x ; x0 f(t):
	t ; x0				t ; x0
tAK KAK t0 = x, TO x0 < x < t I W SILU WYPUKLOSTI f IMEEM
f(x) 6		t ; x		f(x0) + x ; x0 f(t):		(6.7.4)
		t ; x0			t ; x0
nO W NA[EM SLU^AE MY MOVEM NAPISATX
f(x) =		t ; x		f(x) +	x ; x0 f(t0):
		t ; x0			t ; x0

pO\TOMU POSLE SOOTWETSTWU@]EJ GRUPPIROWKI SLAGAEMYH OCENKA (6.7.4) PREOBRAZUETSQ W RAWNOSILXNU@ EJ OCENKU

f(x) ; f(x0) x ; x0

tAKIM OBRAZOM, PRI t0

6 f(t) ; f(x)	x0 < x < t:	(6.7.5)
t ; x

= x NERAWENSTWO (6.7.2) DOKAZANO.

137

eSLI x < t0, TO PRIMENIW OCENKU WIDA (6.7.5) SNA^ALA K TO^KAM x0, x, t0, A ZATEM K TO^KAM x, t0, t, POLU^IM

f(x) ; f(x0) 6 f(t0) ; f(x)		6 f(t) ; f(t0)
x ; x0	t0 ; x	t ; t0

T.E. SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (6.7.2).

rASSMOTRIM OSTAW[IJSQ SLU^AJ, KOGDA x0 6 t0 < x 6 t.

pO ANALOGII S (6.7.4) OCENIM f(t0) ^EREZ f(x0) I f(x), A f(x) ^EREZ f(t0) I f(t):

f(t0) 6	x ; t0	f(x0)+ t0 ; x0 f(x) f(x) 6	t ; x	f(t0)+ x ; x0 f(t):
	x ; x0	x ; x0	t ; x0	t ; t0

sLOVIW \TI NERAWENSTWA, POSLE PRIWEDENIQ PODOBNYH SLAGAEMYH PRIHODIM K (6.7.2).

iTAK, NEOBHODIMOSTX USLOWIQ (6.7.2) DLQ WYPUKLYH FUNKCIJ USTANOWLENA.

dOSTATO^NOSTX \TOGO USLOWIQ WYTEKAET IZ RAWNOSILXNOSTI OCE-

NOK (6.7.4) I (6.7.5).

dOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ TEOREMY O STROGO WYPUKLYH FUNK- CIQH PROWODITSQ ANALOGI^NO. nUVNO TOLXKO W NERAWENSTWE (6.7.4), EGO SLEDSTWIQH I ANALOGAH WMESTO 6 PISATX <.

tEOREMA DOKAZANA.

gEOMETRI^ESKI OCENKI (6.7.2) I (6.7.3) OZNA^A@T SRAWNENIE UGLOW NAKLONA HORDY, PROHODQ[EJ ^EREZ TO^KI (x0 f(x0)) I (x f(x)), I HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (t0 f(t0)) I (t f(t)).

y

y=f(x)

x0

t0

x

t

x

tAK KAK W TEOREME 6.7.1 PRI DOKAZATELXSTWE DOSTATO^NOSTI USLO- WIJ (6.7.2) I (6.7.3) ISPOLXZOWALASX TOLXKO OCENKA (6.7.4), TO IMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

138

s L E D S T W I E 6.7.2. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE [a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 < x < t IZ \TOGO PROMEVUTKA WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO

f(x)	; f(x0) 6 f(t)		; f(x) :	(6.7.6)
x	; x0	t	; x
a DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII f NEOBHOLIMO I DOSTATO^-
NO USLOWIE
f(x) ; f(x0) < f(t) ; f(x)			x0 < x < t:	(6.7.7)
x ; x0		t ; x

s POMO]X@ NERAWENSTWA (6.7.2) USTANAWLIWAETSQ ODNOSTORONNQQ DIFFERENCIRUEMOSTX WYPUKLYH FUNKCIJ.

tEOREMA 6.7.3. eSLI FUNKCIQ f WYPUKLA NA PROMEVUTKE [a b], TO

W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE x0 \TOGO PROMEVUTKA SU]ESTWU@T

ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE f;0 (x0) I f+0 (x0) I f;0 (x0) 6 f+0 (x0). pRI \TOM, ESLI a < x1 < x2 < b, TO f+0 (x1) 6 f;0 (x2), A DLQ

STROGO WYPUKLYH FUNKCIJ f+0 (x1) < f;0 (x2).

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK x0 | WNUTRENNQQ TO^KA PROMEVUTKA

[a b], TO DLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH h TO^KI x0									; h I
x0 + h PRINADLEVAT (a b).
iZ NERAWENSTWA (6.7.6) SLEDUET, ^TO
	f(x0)	f(x0		h)	6	f(x0 + h)	f(x0)
		; h	;			h ;		h > 0:	(6.7.8)

oCENKA (6.7.2) POKAZYWAET, ^TO PRI UBYWANII h DROBX IZ PRA- WOJ ^ASTI NERAWENSTWA (6.7.8) UBYWAET, A DROBX IZ LEWOJ ^ASTI |

WOZRASTAET. pO\TOMU, PEREHODQ W (6.7.8) K PREDELU PRI h ! +0, PO-

LU^IM SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH f;0 (x0) I f+0 (x0) I NERAWENSTWO f;0 (x0) 6 f+0 (x0).

oTMETIM, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH WY-

TEKAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f NA (a b). tO^KAMI RAZRYWA MOGUT BYTX TOLXKO KONCEWYE TO^KI PROMEVUTKA WYPUKLOSTI.

pUSTX TEPERX a < x1 < x2 < b. dLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x 2
(x1 x2) IZ (6.7.6) NAHODIM
f(x) ; f(x1) 6 f(x2) ; f(x)		:	(6.7.9)
x ; x1	x2 ; x
iZ (6.7.9) PRI x ! x1 + 0 POLU^AEM
f+0 (x1)	6 f(x2) ; f(x1)		(6.7.10)
	x2 ; x1

139

s L E D S T W I E

A PRI x ! x2 ; 0

f(x2) ; f(x1) 6 f;0 (x2):	(6.7.11)
x2 ; x1

tAKIM OBRAZOM, f+0 (x1) 6 f;0 (x2).

nAKONEC, ESLI FUNKCIQ f STROGO WYPUKLA, TO W (6.7.9) IMEEM STROGOE NERAWENSTWO. tAK KAK PRI UBYWANII x DROBX IZ LEWOJ ^ASTI (6.7.9) STROGO UBYWAET, TO WMESTO (6.7.10) POLU^IM

f+0 (x1) < f(x2) ; f(x1) x2 ; x1

^TO WMESTE S (6.7.11) DAET OCENKU f+0 (x1) < f;0 (x2). tEOREMA DOKAZANA.

6.7.4. eSLI FUNKCIQ WYPUKLA NA PROMEVUTKE, TO ONA DIFFERENCIRUEMA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM S^ETNOGO MNOVESTWA TO^EK.

w SAMOM DELE, DLQ KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KI x0 PROMEVUTKA WY- PUKLOSTI FUNKCII f, W KOTOROJ f;0 (x0) < f+0 (x0), MOVNO NAJTI RA- CIONALXNOE ^ISLO, PRINADLEVA]EE INTERWALU (f;0 (x0) f+0 (x0)). zNA- ^IT, MO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK NEDIFFERENCIRUEMOSTI NE MOVET PREWY[ATX MO]NOSTI MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL.

wYPUKLOSTX FUNKCIJ, IME@]IH PERWU@ PROIZWODNU@, HARAKTE- RIZUETSQ W TERMINAH MONOTONNOSTI PROIZWODNOJ.

tEOREMA 6.7.5. pUSTX FUNKCIQ f(x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA DLQ WYPUKLOSTI f(x) NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f0(x), A DLQ STROGOJ WYPUK-

LOSTI f(x) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO STROGOE WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f0(x).

dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO TEOREME 6.7.3, ESLI DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ WYPUKLA NA (a b), TO EE PROIZWODNAQ WOZRASTAET. a W SLU- ^AE STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII PROIZWODNAQ STROGO WOZRASTAET. tAKIM OBRAZOM, USLOWIQ TEOREMY NEOBHODIMY.

dOKAVEM, ^TO IZ WOZRASTANIQ PROIZWODNOJ f0(x) NA (a b) SLEDUET WYPUKLOSTX f(x).

rASSMOTRIM PROIZWOLXNYE TRI TO^KI x1 x x2, TAKIE, ^TO a < x1 < x < x2 < b. pOLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lA- GRANVA, NAHODIM TO^KI 1 2 (x1 x) I 2 2 (x x2), DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA

f(x) ; f(x1) = f0( 1) x ; x1

140