Матан, Лекции - Теляковский 1

n FUNKCIQ f(x) = xn QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ,

RASSUVDAQ PO INDUKCII. a OTS@DA SLEDUET NEPRERYWNOSTX L@BOGO MNOGO^LENA anxn + an;1xn;1 + : : : a1x + a0. rACIONALXNYE DROBI,

T.E. OTNO[ENIQ DWUH MNOGO^LENOW, NEPRERYWNY WO WSEH TO^KAH, W KOTORYH ZNAMENATELX NE OBRA]AETSQ W NULX.

nAKONEC, TEOREMA 3.5.2 POKAZYWAET, ^TO ESLI FUNKCIQ f(x) NE- PRERYWNA W TO^KE x0, A FUNKCIQ '(y) NEPRERYWNA W TO^KE y0 := f(x0), TO SLOVNAQ FUNKCIQ '(f(x)) NEPRERYWNA W TO^KE x0.

nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ FUNKCII W TO^KE RASSMATRIWA@T OD- NOSTORONN@@ NEPRERYWNOSTX.

oPREDELENIE. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SPRAWA W TO^KE x0, ESLI f(x0 + 0) = f(x0).

fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SLEWA W TO^KE x0, ESLI f(x0 ; 0) = f(x0).

nEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI f W \TOJ TO^KE I SPRAWA I SLEWA.

pONQTNO, KAK PRIWEDENNYE WY[E SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYW- NYH W TO^KE, PERENOSQTSQ NA FUNKCII, NEPRERYWNYE SPRAWA ILI SLE- WA.

x 4.2. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA

rASSMOTRIM, KAKIMI MOGUT BYTX TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ. tAKIE TO^KI NAZYWA@T TO^KAMI RAZRYWA FUNKCII.

bUDEM S^ITATX, ^TO FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLO- TOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, ^TOBY MOVNO BYLO GOWORITX O PREDELE f W TO^KE x0. |TO USLOWIE W DALXNEJ[EM OTME^ATX NE BUDEM.

eSLI FUNKCIQ f IMEET RAZRYW W TO^KE x0 I SU]ESTWU@T KONE^NYE PREDELY f(x0 + 0) I f(x0 ; 0), TO GOWORQT, ^TO \TO RAZRYW PERWOGO RODA.

eSLI FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 RAZRYW PERWOGO RODA I f(x0 + 0) = f(x0 ;0), TO LIBO f NE OPREDELENA W \TOJ TO^KE, LIBO f OPREDE-

LENA W TO^KE x0, NO f(x0) =6 f(x0 + 0). pOLOVIIW f(x0) := f(x0 + 0), T.E. DOOPREDELIW ILI PEREOPREDELIW f W TO^KE x0, POLU^IM NEPRE-

RYWNU@ FUNKCI@. tAKIM OBRAZOM, MY \USTRANILI" RAZRYW. tAKIE RAZRYWY NAZYWA@T USTRANIMYMI.

rAZRYW PERWOGO RODA NAZYWA@T NEUSTRANIMYM, ESLI f(x0 + 0) =6 f(x0 ; 0). w \TOM SLU^AE DOOPREDELENIEM ILI PEREOPREDELENIEM FUNKCII W TO^KE x0 NELXZQ POLU^ITX NEPRERYWNU@ FUNKCI@.

nA RISUNKE IZOBRAVENY NEUSTRANIMYE RAZRYWY PERWOGO RODA.

61

x0

x0

x0

x0

pUSTX FUNKCIQ f ZADANA W ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, DLQ OPREDELENNOSTI | W PRAWOJ OKRESTNOSTI. eSLI SU]ESTWUET PRE- DEL f(x0 + 0) I f(x0 + 0) 6= f(x0), TO x0 TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ RAZRYWA PERWOGO RODA.

eSLI RAZRYW FUNKCII NE QWLQETSQ RAZRYWOM PERWOGO RODA, TO EGO NAZYWA@T RAZRYWOM WTOROGO RODA. nA RISUNKE IZOBRAVENY NE- KOTORYE HARAKTERNYE PRIMERY RAZRYWOW WTOROGO RODA.

y				y					1
		1				1		y		f (x)=sin–x
		f(x)= –x				f(x)= –x2
O		x		O			x	O		x

sOGLASNO TEOREIE 3.6.2, ESLI FUNKCIQ f(x) MONOTONNA NA NEKO- TOROM PROMEVUTKE, TO W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE x0 \TOGO PROME- VUTKA SU]ESTWU@T PREDELY f(x0 ;0) I f(x0 +0). sOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL SU]ESTWUET I W KONCEWYH TO^KAH PROMEVUTKA MONOTONNOSTI, ESLI \TI TO^KI EMU PRINADLEVAT.

zNA^IT, WSE TO^KI RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII QWLQ@TSQ TO^- KAMI RAZRYWA PERWOGO RODA.

zAMETIM, ^TO ESLI MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA MONOTONNOJ FUNK- CII BESKONE^NO, TO ONO OBQZATELXNO S^ETNO. w SAMOM DELE, POSTAWIM KAVDOJ TO^KE RAZRYWA x0 KAKOE-LIBO RACIONALXNOE ^ISLO, ZAKL@- ^ENNOE MEVDU f(x0 ; 0) I f(x0 + 0). pOLU^IM WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA I NEKOTOROGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL, A KAVDOE TAKOE BESKONE^NOE MNO- VESTWO S^ETNO.

iTAK, MONOTONNAQ FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI RAZRYWA TOLXKO PERWOGO RODA I MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA NE BOLEE ^EM S^ETNO.

62

[a b].

x 4.3. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE

oPREDELENIE. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZ-

KE [a b], ESLI ONA NEPRERYWNA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA, T.E. WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b), NEPRERYWNA SPRAWA W TO^KE a I NEPRERYWNA SLEWA W TO^KE b.

mNOVESTWO WSEH NEPRERYWNYH NA OTREZKE [a b] FUNKCIJ OBOZNA- ^A@T C[a b] I TOT FAKT, ^TO f NEPRERYWNA NA [a b], ZAPISYWA@T

TAK: f 2 C[a b].

nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ NA OTREZKE RASSMATRIWA@T NEPRERYW- NOSTX NA INTERWALE, NA POLUOTREZKE, POLUOSI I WSEJ OSI. mNOVESTWO FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE (a b), OBOZNA^A@T C(a b).

kOGDA QSNO, O NEPRERYWNOSTI NA KAKOM PROMEVUTKE IDET RE^X,

PI[UT f 2 C.

pONQTNO, ^TO ESLI FUNKCII f(x) I g(x) NEPRERYWNY NA OTREZKE

[a b], TO NA \TOM OTREZKE NEPRERYWNY FUNKCII f(x) g(x), f(x) g(x), A ESLI g(x) =6 0 DLQ WSEH x 2 [a b], TO NEPRERYWNA I FUNKCIQ f(x)=g(x).

tEOREMA 4.3.1. fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ NA OTREZKE, OGRANI^ENA NA \TOM OTREZKE.

dOKAZATELXSTWO. oGRANI^ENNOSTX FUNKCII f NA OTREZKE [a b] OZNA- ^AET SU]ESTWOWANIE TAKOGO ^ISLA L, ^TO jf(x)j 6 L DLQ WSEH x 2

dOKAVEM TEOREMU OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ

f 2 C[a b] I NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ NA [a b]. tOGDA DLQ KAVDOGO
n 2 N SU]ESTWUET TO^KA xn 2 [a b], DLQ KOTOROJ jf(xn)j > n. tAKIM
OBRAZOM	, limn!1 f(xn) = 1.

pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxng OGRANI^ENA, TAK KAK WSE \TI TO^- KI PRINADLEVAT OTREZKU [a b]. zNA^IT, PO TEOREME bOLXCANO{wEJ-

ER[TRASSA SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g.
pUSTX t := limk xnk . tOGDA t 2 [a b].
w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE t (ESLI TO^KA t OKA-
ZALASX ODNIM IZ KONCOW OTREZKA, TO IMEETSQ W WIDU ODNOSTORON-
NQQ NEPRERYWNOSTX) DLQ L@BOJ SHODQ]EJSQ K \TOJ TO^KE POSLEDO-
WATELXNOSTI TO^EK	f	zk	g	IZ [a b] IMEEM lim f(zk) = f(t). zNA^IT,
							k
lim f(xnk ) = f(t).	nO TAK KAK				lim		f(xn) =	1	, TO DOLVNO WYPOL-
k!1				n!1
NQTXSQ RAWENSTWO	lim		f(xnk ) =		1	.	mY PRI[LI K PROTIWORE^I@,
n!1
KOTOROE ZAKAN^IWAET DOKAZATELXSTWO TEOREMY.

oTMETIM, ^TO DLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, UTWERV- DENIE, ANALOGI^NOE TEOREME 4.3.1, NE WERNO. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ

63

NA PRIMERE FUNKCII f(x) := 1=x. |TA FUNKCIQ NEPRERYWNA, NO NE OGRANI^ENA NA (0 1).

tEOREMA 4.3.2 (tEOREMA wEJER[TRASSA). eSLI FUNKCIQ NE-

PRERYWNA NA OTREZKE [a b], TO W NEKOTORYH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA DOSTIGAET TO^NU@ WERHN@@ I TO^NU@ NIVN@@ GRANI SWOIH ZNA^ENIJ NA [a b].

dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM UTWERVDENIE O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. tO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ FUNKCII f(x), NEPRERYWNOJ NA OT- REZKE [a b], SU]ESTWUET, TAK KAK SOGLASNO TEOREME 4.3.1 FUNKCIQ OGRANI^ENA.

pUSTX M := sup f(x). dLQ KAVDOGO NATURALXNOGO n NAJDEM

x2[a b]

TO^KU xn 2 [a b] TAKU@, ^TO f(xn) > M ; 1=n. nO f(xn) 6 M DLQ
WSEH n, PO\TOMU
lim f(xn) = M:		(4.3.1)
n!1
pOLXZUQSX TEOREMOJ bOLXCANO{wEJER[TRASSA, NAHODIM SHODQ-
]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g POSLEDOWATELXNOSTI		fxng.
pUSTX t := lim xnk , TOGDA t	[a b].
k
tAK KAK f NEPRERYWNA W2TO^KE t, TO lim f(xnk ) = f(t). s DRUGOJ
	k!1
STORONY, SOGLASNO (4.3.1)	lim f(xnk ) = M, ZNA^IT, M = f(t).
k!1

dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO.

tAKIM OBRAZOM, MOVNO GOWORITX O MAKSIMALXNOM ZNA^ENII FUNK-

CII, NEPRERYWNOJ NA OTREZKE, I PISATX W \TOM SLU^AE NE		sup f(x),
A max	f(x).	x2[a b]
x2[a b]

dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, TEOREMA 4.3.2 NE IME- ET MESTA, DAVE ESLI DOPOLNITELXNO PREDPOLAGATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCII.

tEOREMA 4.3.3 (tEOREMA kO[I O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENI-

QH). pUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [a b] I f(a) 6= f(b). tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d, ZAKL@^ENNOGO MEVDU f(a) I f(b), SU]ESTWUET TO^KA t 2 [a b] TAKAQ, ^TO d = f(t).

dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SNA^ALA ^ASTNYJ SLU^AJ \TOGO UTWERV- DENIQ, KOGDA ^ISLA f(a) I f(b) IME@T RAZNYE ZNAKI I d = 0.

rAZDELIM OTREZOK [a b] POPOLAM. eSLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII RAWNO NUL@, TO W KA^ESTWE t MOVNO WZQTX TO^KU DELENIQ. a ESLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII f OTLI^NO OT NULQ, TO W KONCAH ODNOGO IZ POLU^ENNYH OTREZKOW ZNA^ENIQ f(x) IME@T

64

s L E D S T W I E

I f(t) = d.

RAZNYE ZNAKI. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK [a1 b1]. zAMETIM, ^TO b1 ;

a1 = (b ; a)=2.

dELIM TEPERX OTREZOK [a1 b1] POPOLAM I POWTORQEM PREDYDU]EE RASSUVDENIE. t.E., ESLI W TO^KE DELENIQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W NULX, TO NUVNAQ TO^KA UVE NAJDENA. w PROTIWNOM SLU^AE WYBEREM TOT IZ POLU^IW[IHSQ OTREZKOW, W KONCAH KOTOROGO FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK [a2 b2] I ZAMETIM, ^TO EGO DLINA W DWA RAZA MENX[E DLINY OTREZKA [a1 b1].

pRODOLVIM \TOT PROCESS. eSLI MY NE WSTRETIM NULX FUNKCII

NA KAKOM-TO [AGE, TO POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OT- REZKOW f[an bn]g, DLINY KOTORYH bn ; an = (b ; a)=2n STREMQTSQ K

NUL@. zNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.7.1 SU]ESTWUET TO^KA t, PRINAD- LEVA]AQ WSEM \TIM OTREZKAM. pOKAVEM, ^TO f(t) = 0.

eSLI \TO NE TAK, TO FUNKCIQ f SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t. dLQ DOSTATO^NO BOLX[IH n OTREZKI [an bn] CE- LIKOM SODERVATSQ W \TOJ OKRESTNOSTI, TAK KAK ONA SODERVIT TO^KU t I DLINY OTREZKOW STREMQTSQ K NUL@. pOSKOLXKU W KONCAH OTREZKOW [an bn] FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, MY PRI[LI K PROTIWORE^I@ S TEM, ^TO FUNKCIQ SOHRANQET ZNAK W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI t.

pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@ W TEOREME kO[I. wWEDEM FUNKCI@ g(x) := f(x) ; d. fUNKCIQ g NEPRERYWNA I W KONCAH OTREZKA [a b] PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU SU]ESTWUET TO^KA t 2 [a b], W KOTOROJ g(t) = 0. oTS@DA f(t) ; d = 0

tEOREMA DOKAZANA.

4.3.4. pUSTX [a b] | PROMEVUTOK, T.E. OTREZOK, INTERWAL ILI POLUOTREZOK. pUSTX, DALEE, FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA \TOM PROMEVUTKE I

M := sup f(x)

x2[a b]

ESLI ZNA^ENIQ f NA [a b] OGRANI^ENY SWERHU, I M := +1 W PROTIWNOM SLU^AE. aNALOGI^NO POLAGAEM

m := inf f(x)

x2[a b]

ILI m := ;1. [a b] tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d 2 (m M) SU]ESTWET TO^KA t 2

TAKAQ, ^TO d = f(t).

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK m < d < M, TO, POLXZUQSX OPREDELENIEM TO^NYH GRANEJ, WIDIM, ^TO SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA m0 I M0, ^TO

65

m < m0 < d < M0 < M I ^ISLA m0 I M0 QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI

FUNKCII f, T.E. m0 = f(x1) I M0 = f(x2) DLQ NEKOTORYH TO^EK x1 I x2 IZ PROMEVUTKA [a b].

rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH x1 I x2. tAK KAK f NEPRERYWNA NA \TOM OTZEZKE, A W KONCAH EGO IMEET ZNA- ^ENIQ m0 I M0, TO W SILU TEOREMY kO[I 4.3.3 FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIE d W NEKOTOROJ TO^KE, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

eSLI W SLEDSTWII 4.3.4 PROMEVUTOK [a b] QWLQETSQ OTREZKOM, TO SOGLASNO TEOREME wEJER[TRASSA 4.3.2 ^ISLA m I M TAKVE QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f. zNA^IT, W \TOM SLU^AE ZNA^ENIQ f CELIKOM ZAPOLNQ@T OTREZOK [m M], T.E. OTREZOK [m M] QWLQETSQ OBRAZOM OT- REZKA [a b] PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f(x).

x 4.4. rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ

eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA PROMEVUTKE [a b], TO DLQ L@BOJ TO^KI x0 2 [a b] I L@BOGO ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO = (x0 ") TAKOE, ^TO 8x IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f, DLQ KOTORYH jx ;

x0j < , IMEEM jf(x) ; f(x0)j < ".

pOD^ERKNEM, ^TO ZAWISIT NE TOLXKO OT ", NO I OT x0 I, PEREHODQ OT ODNOJ TO^KI K DRUGOJ, PRI ODNOM I TOM VE " BUDEM POLU^ATX RAZNYE . a W TOM SLU^AE, KOGDA MOVNO WYBRATX ZAWISQ]IM TOLXKO OT ", GOWORQT O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII. oPREDELENIE. fUNKCIQ, ZADANNAQ NA PROMEVUTKE [a b], NAZYWAET- SQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA \TOM PROMEVUTKE, ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") TAKOE, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 I x00 IZ [a b], UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx0 ; x00j < , WYPOLNQETSQ OCENKA

jf(x0) ; f(x00)j < ":

pROMEVUTOK, O KOTOROM ZDESX GOWORITSQ, NE OBQZATELXNO QWLQET- SQ OTREZKOM. oN MOVET BYTX INTERWALOM ILI POLUOTREZKOM, W TOM ^ISLE I BESKONE^NYM.

tEOREMA 4.4.1 (tEOREMA kANTORA). eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA NA OTREZKE, TO ONA RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA \TOM OTREZKE.

dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE: PUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA, NO NE QWLQETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA OTREZKE

[a b]. |TO OZNA^AET, ^TO

9

"0

> 0

TAKOE, ^TO

8

> 0

NAJDUTSQ TO^KI

x

0

I x

00

0

00

0

00

)j > "0.

IZ [a b], DLQ KOTORYH jx

; x

j < , NO jf(x ) ; f(x

wYBIRAQ W KA^ESTWE

^ISLA WIDA 1=n n

2

N,

DLQ KAVDOGO n

0

I x

00

IZ

0

00

< 1=n I

NAHODIM PARU TO^EK x

[a b] TAKU@, ^TO

j

x

x

0

00

n

n

n ;

nj

jf(xn) ; f(xn)j > "0.

66

rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX

f

x0

. oNA OGRANI^ENA, ZNA^IT,

ng

0

pUSTX

SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX

fxnk g.

x0

:=

0

,

TOGDA x0 [a b]. iZ NERAWENSTWA

limk x

nk

2

jxn00k ; x0j 6 jxn00k ; xn0 k j + jxn0

k ; x0j

SLEDUET,

^TO I lim xn00k = x0.

k

tAK KAK f NEPRERYWNA W TO^KE x0, TO limk f(xn0

k )

= f(x0)

I

limk f(x00

) = f(x0), A \TO WSTUPAET W PROTIWORE^IE S NERAWENSTWOM

jf(xn0 k )

nk

; f(xn00k )j > "0.

tEOREMA DOKAZANA.

dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, PODOBNAQ TEOREMA NE IMEET MESTA.

sWOJSTWO RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII UDOBNO WYRA- VATX W TERMINAH EE MODULQ NEPRERYWNOSTI.

oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA NA NEKOTOROM PRO- OMEVUTKE. mODULEM NEPRERYWNOSTI FUNKCII f NAZYWAETSQ FUNK- CIQ

!(f ) := sup jf(x0) ; f(x00)j > 0

GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM TO^KAM x0 I x00 IZ UKAZANNOGO PROMEVUTKA TAKIM, ^TO jx0 ; x00j 6 .

mODULX NEPRERYWNOSTI !(f ) OPREDELQ@T DLQ , NE PREWOSHODQ-

[IH DLINY PROMEVUTKA, NA KOTOROM RASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f. w OBOZNA^ENII !(f ) SIMWOL f OPUSKA@T, ESLI QSNO, O MODULE

NEPRERYWNOSTI KAKOJ FUNKCII IDET RE^X.

lEGKO WIDETX, ^TO MODULX NEPRERYWNOSTI OBLADAET SLEDU@]IMI

SWOJSTWAMI:

1 . !( ) > 0 I !(0) = 0

2 . !( ) UBYWAET PRI UBYWANII .

oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO PREDEL !(+0) SU]ESTWUET I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO !(+0) > 0.

tEOREMA 4.4.2. eSLI FUNKCIQ !( ) QWLQETSQ MODULEM NEPRERYWNOSTI NEKOTOROJ FUNKCII f, TO DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL1 I 2 SPRAWEDLIWA OCENKA

!( 1 + 2) 6 !( 1) + !( 2):

(4.4.1)

w ^ASTNOSTI, !(2 ) 6 2!( ).

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX x0 I x00 | PROIZWOLXNYE TO^KI IZ OBLASTI

OPREDELENIQ FUNKCII f TAKIE, ^TO

j

x0

;

x00

j

6 1

+ 2. wOZXMEM MEVDU

0

00

0

00

x

I x

TO^KU z, DLQ KOTOROJ jx ; zj 6

1 I jz ; x j 6 2. tOGDA

jf(x0) ; f(x00)j 6 jf(x0) ; f(z)j + jf(z) ; f(x00)j 6 !( 1) + !( 2):

67

w POLU^ENNOM NERAWENSTWE PRAWAQ ^ASTX NE ZAWISIT OT TO^EK x0 I x00. pO\TOMU WYRAVENIE W LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX EGO ZNA^ENIJ, WZQTU@ PO WSEM RASSMATRIWAEMYM x0 I x00, A \TO DAET OCENKU (4.4.1).

tEOREMA DOKAZANA.

sWOJSTWO, WYRAVENNOE NERAWENSTWOM (4.4.1), NAZYWA@T POLUAD- DITIWNOSTX@ FUNKCII !( ).

tEOREMA 4.4.3. uSLOWIE !(f +0) = 0 NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII f.

dOKAZATELXSTWO. eSLI !(f +0) = 0, TO DLQ KAVDOGO " > 0 SU]EST- WUET = (") > 0 TAKOE, ^TO !(f ) < ".

zNA^IT, DLQ L@BYH TO^EK x0 x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f, DLQ KOTORYH jx0 ; x00j < , IMEEM jf(x0) ; f(x00)j < ". a \TO OZNA-

^AET RAWNOMERNU@ NEPRERYWNOSTX FUNKCII f, T.E. DOSTATO^NOSTX DOKAZANA.

dOKAVEM NEOBHODIMOSTX. pUSTX FUNKCIQ f RAWNOMERGO NEPRE- RYWNA. tOGDA DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO

DLQ L@BYH TO^EK x0, x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ f, DLQ KOTORYH jx0 ; x00j < , IMEEM

jf(x0) ; f(x00)j < "=2:

tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT x0 I x00, WYRAVENIE IZ LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX PO WSEM x0 I x00, DLQ KOTORYH jx0 ; x00j < . tOGDA POLU^IM !( ) 6 "=2 < ", ^TO PRIWODIT K RAWENSTWU !(f +0) = 0.

tEOREMA DOKAZANA.

x 4.5. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII

pUSTX NA D ZADANA FUNKCIQ f I E { MNOVESTWO EE ZNA^ENIJ, T.E. \TO MNOVESTWO TEH ^ISEL y = f(x), KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE MNOVESTWO D. gOWORQT, ^TO E | OBRAZ MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f.

wOSSTANOWITX x PO ZNA^ENI@ y 2 E NE WSEGDA MOVNO, TAK KAK DLQ ODNOGO y 2 E MOVET BYTX MNOGO TO^EK x 2 D TAKIH, ^TO y = f(x). eSLI FUNKCIQ f OSU]ESTWLQET WZAIMNO ODNOZNA^NOE OTOBRAVE- NIE MNOVESTWA D NA E, TO NA E MOVNO ZADATX FUNKCI@, POSTAWIW W SOOTWETSTWIE KAVDOMU y 2 E TO ^ISLO x 2 D, DLQ KOTOROGO y = f(x). w SILU WZAIMNOJ ODNOZNA^NOSTI TAKOE ^ISLO x TOLXKO ODNO. |TU FUNKCI@ x = '(y) NAZYWA@T FUNKCIEJ, OBRATNOJ K f. oBRATNU@

FUNKCI@ ^ASTO OBOZNA^A@T x = f;1(y).

68

eSLI FUNKCIQ f STROGO MONOTONNA NA D, T.E. f STROGO WOZRAS- TAET ILI STROGO UBYWAET, TO OTOBRAVENIE f : D ! E OBRATIMO. w \TOM SLU^AE OBRATNAQ FUNKCIQ TAKVE STROGO MONOTONNA, PRI^EM ONA QWLQETSQ STROGO WOZRASTA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f WOZRASTALA, I QWLQETSQ STROGO UBYWA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f UBYWALA.

tEOREMA 4.5.1. pUSTX FUNKCIQ f NA OTREZKE [a b] STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA, c := f(a) I d := f(b). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ x = f;1(y) STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA NA OTREZKE [c d].

dOKAZATELXSTWO. o STROGOM WOZRASTANII OBRATNOJ FUNKCII UVE GOWORILOSX. kROME TOGO, MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII f(x) W SILU EE NEPRERYWNOSTI CELIKOM ZAPOLNQET OTREZOK [c d]. nOWYM QWLQETSQ UTWERVDENIE O NEPRERYWNOSTI FUNKCII f;1(y) NA OTREZKE [c d].

rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ TO^KU y0 2 (c d) I NAJDEM TO^KU x0 2 (a b), DLQ KOTOROJ f(x0) = y0. wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO " TAKOE, ^TO "-OKRESTNOSTX TO^KI x0 PRINADLEVIT INTERWALU (a b). tOGDA TO^KI y1 := f(x0 ; ") I y2 := f(x0 + ") POPADA@T W INTERWAL

(c d).

d y2

y0+δ y0

y –δ

0 y1

c

y

(

(

y=f(x)

a	x –ε x	0	x +ε	b	x
	0		0

w SILU STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f(x) ONA USTANAWLIWAET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE OTREZKA [x0 ;" x0 +"] NA OSI OX I OTREZKA [y1 y2] NA OSI OY .

wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRINADLEVIT (y1 y2). tOGDA WSQ -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRI OTO- BRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f;1(y), POPADAET W "-OKREST- NOSTX TO^KI x0. a \TO I OZNA^AET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f;1 W

TO^KE y0.

pRI DOKAZATELXSTWE NEPRERYWNOSTI f;1 W KONCEWYH TO^KAH c I d RASSUVDENIQ ANALOGI^NY, NUVNO TOLXKO BRATX SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE OKRESTNOSTI.

tEOREMA DOKAZANA.

69

pRIWEDEM WARIANT TEOREMY O NEPRERYWNOSTI OBRATOJ FUNKCII, KOGDA ISHODNAQ FUNKCIQ ZADANA NE NA OTREZKE, A NA INTERWALE. tEOREMA 4.5.2. pUSTX FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET I NEPRE-

RYWNA	NA INTERWALE (a b). oBOZNA^IM c :=	inf	f(x) I d :=
		x2(a b)
sup	f(x). tOGDA OBRAZOM INTERWALA (a b) PRI OTOBRAVENII y =
x2(a b)

f(x) QWLQETSQ INTERWAL (c d) I FUNKCIQ x = f;1(y) NEPRERYWNA NA (c d).

dOKAZATELXSTWO. zDESX INTERWAL (a b) MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM. eSLI FUNKCIQ f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWER- HU NA (a b), TO POD TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ ZNA^ENIJ f(x) PONIMAEM +1. aNALOGI^NO POLAGAEM c = ;1, ESLI f NE QWLQETSQ OGRANI- ^ENNOJ SNIZU. tAKIM OBRAZOM, INTERWAL (c d) TAKVE MOVET BYTX BESKONE^NYM.

eSLI d < +1, TO NIKAKOE ^ISLO y > d NE MOVET BYTX ZNA^ENIEM FUNKCII f(x). dLQ y > d \TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI. a ESLI BY ^ISLO d BYLO ZNA^ENIEM FUNKCII f PRI NEKOTO- ROM x0 2 (a b), TO DLQ x > x0 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f MY POLU^ILI BY ZNA^ENIQ, PREWY[A@]IE d. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ LEWOGO KONCA INTERWALA (c d). tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x 2 (a b) IMEEM f(x) 2 (c d).

l@BOE ^ISLO y0 2 (c d) QWLQETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f W NEKOTO- ROJ TO^KE IZ (a b). w SAMOM DELE, SOGLASNO OPREDELENI@ WELI^IN c I

d W (a b) SU]ESTWU@T ^ISLA x1 I x2 TAKIE, ^TO f(x1) < y0 < f(x2). pRI \TOM x1 < x2 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f.

rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE [x1 x2]. tAK KAK f STRO- GO WOZRASTAET NA [x1 x2], TO ZNA^ENIQ FUNKCII f CELIKOM ZAPOLNQ- @T OTREZOK [f(x1) f(x2)], T.E. TO^KA y0 QWLQETSQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ FUNKCII I, KROME TOGO, SOGLASNO TEOREME 4.5.1 OBRATNAQ FUNKCIQ f;1(y) NEPRERYWNA W TO^KE y0.

tEOREMA DOKAZANA.

pONQTNO, KAK DOLVNY WYGLQDETX ANALOGI TEOREM 4.5.1 I 4.5.2 DLQ STROGO UBYWA@]IH FUNKCIJ.

rASSMOTRIM WOPROS O GRAFIKE OBRATNOJ FUNKCII. pUSTX FUNK- CIQ y = f(x) STROGO MONOTONNA. bUDEM OBOZNA^ATX ARGUMENT OBRAT- NOJ FUNKCII f;1 ^EREZ x, KAK MY OBY^NO OBOZNA^AEM NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, A ZAWISIMU@ PEREMENNU@ BUDEM OBOZNA^ATX y. tOGDA GRAFIK FUNKCII y = f;1(x) MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ ZERKALX- NOGO OTRAVENIQ GRAFIKA FUNKCII y = f(x) OTNOSITELXNO PRQMOJ y = x. dELO W TOM, ^TO TO^KI, PRINADLEVA]IE GRAFIKU FUNKCII y = f(x) IME@T KOORDINATY (x f(x)), A KOORDINATY TO^EK, POLU- ^ENNYH PRI IH ZERKALXNOM OTRAVENII, RAWNY (f(x) x).

70