Матан, Лекции - Теляковский 1

eSLI PARAMETR t BUDET IZMENQTXSQ OT b K a, TO POLU^IM TU VE KRIWU@ ;, NO S PROTIWOPOLOVNYM NAPRAWLENIEM DWIVENIQ (S PRO- TIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ).

qSNO, ^TO NEPRERYWNAQ KRIWAQ MOVET BYTX ZADANA RAZNYMI NE- PRERYWNYMI WEKTOR-FUNKCIQMI. nAPRIMER, ESLI SDELATX ZAMENU ARGUMENTA t PO FORMULE t = ( ), GDE ( ) | NEPRERYWNAQ STRO- GO WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ, OTOBRAVA@]AQ OTREZOK [ ] NA [a b], TO POLU^IM TU VE KRIWU@ (7.2.1), ZADANNU@ TEPERX FORMULOJ

; := fr ( ( )) 2 [ ]g:

pRI \TOM W SILU WOZRASTANIQ FUNKCII ORIENTACIQ NA KRIWOJ ; SOHRANITSQ. eSLI VE WZQTX FUNKCI@ NEPRERYWNOJ I STROGO UBY- WA@]EJ, TO POLU^IM KRIWU@ ; S PROTIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ.

oPREDELIM DLINU KRIWOJ.

zDESX PONADOBITSQ PONQTIE LOMANOJ. pUSTX ZADANY TO^KI M0, M1 : : : Mn. sOEDINIW IH POSLEDOWATELXNO OTREZKAMI S KONCAMI W

TO^KAH Mk;1 I Mk, k = 1 2 : : : n, POLU^IM LOMANU@, KOTORAQ QW- LQETSQ NEPRERYWNOJ KRIWOJ. dLINU \TOJ LOMANOJ OPREDELIM KAK

SUMMU DLIN SOSTAWLQ@]IH EE OTREZKOW Mk;1Mk.

pUSTX ZADANA NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 [a b]g. wWEDEM RAZBIENIE T OTREZKA [a b] TO^KAMI tk:

a = t0 < t1 < < tn = b:

pOSTROIM LOMANU@ S WER[INAMI W TO^KAH Mk = M(r(tk)), k = = 0 1 : : : n. tAKU@ LOMANU@ NAZYWA@T WPISANNOJ W KRIWU@ ;. dLI- NU POLU^ENNOJ LOMANOJ OBOZNA^IM T .

oPREDELENIE. dLINOJ NEPRERYWNOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ WERHNQQ GRANX DLIN WPISANNYH W NEE LOMANYH:

S; := sup T :	(7.2.2)
T

zDESX sup PONIMAETSQ KAK TO^NAQ WERHNQQ GRANX, ESLI ONA SU- ]ESTWUET, I KAK +1, ESLI WELI^INY T NE OGRANI^ENY.

oPREDELENIE DLINY KRIWOJ NE ZAWISIT OT FUNKCII r(t), S POMO- ]X@ KOTOROJ KRIWAQ ZADANA, POSKOLXKU W OPREDELENII DLINY U^AS- TWU@T TOLXKO LOMANYE, WPISANNYE W KRIWU@.

qSNO, ^TO WSEGDA 0 6 S; 6 +1. eSLI S; < +1, TO KRIWAQ ; NAZYWAETSQ SPRQMLQEMOJ. eSLI S; = +1, KRIWU@ NAZYWA@T NE- SPRQMLQEMOJ.

tEOREMA 7.2.1. pUSTX ZADANY NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 [a b]g I TO^KA c 2 (a b). pOLOVIM

;1 := fr(t) t 2 [a c]g ;2 := fr(t) t 2 [c b]g:

151

tOGDA

S; = S;1 + S;2 :

(7.2.3)

dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO SPRQMLQEMOSTX KRIWYH NE PREDPO- LAGAETSQ I, KAK OBY^NO, SUMMA ^ISLA I +1 S^ITAETSQ RAWNOJ +1. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA [a b] POSTROIM RAZBIE- NIE T , POLU^ENNOE PUTEM DOBAWLENIQ K T TO^KI c, ESLI EE TAM NE BYLO. qSNO, ^TO PRI \TOM DLINA WPISANNOJ W ; LOMANOJ NE MOVET

UMENX[ITSQ, T.E. T 6 T .

pUSTX T1 I T2 | TE RAZBIENIQ OTREZKOW [a c] I [c b], KOTORYE POROVDA@TSQ RAZBIENIEM T . tOGDA DLINY LOMANYH T , T1 I T2 , WPISANNYH SOOTWETSTWENNO W KRIWYE ;, ;1 I ;2, SWQZANY RAWENSTWOM

T = T1 + T2 . pO\TOMU

T 6 T1 + T2 :

zAMENIW W PRAWOJ ^ASTI \TOJ OCENKI DLINY LOMANYH NA DLINY SOOTWETSTWU@]IH KRIWYH, POLU^IM

T 6 S;1 + S;2 :

(7.2.4)

tEPERX, WZQW W LEWOJ ^ASTI OCENKI (7.2.4) WERHN@@ GRANX PO RAZ-

BIENIQM T OTREZKA [a b], NAHODIM
S; 6 S;1	+ S;2 :	(7.2.5)
uSTANOWIM DLQ S; OCENKU SNIZU:
S; > S;1	+ S;2 :	(7.2.6)

eSLI S; = +1, TO OCENKA (7.2.6) O^EWIDNA. pO\TOMU NUVNO RAS- SMOTRETX SLU^AJ, KOGDA S; < +1.

pUSTX T1 I T2 | PROIZWOLNYE RAZBIENIQ OTREZKOW [a c] I [c b] SOOTWETSTWENNO I T | POROVDENNOE IMI RAZBIENIE OTREZKA [a b]. tOGDA T = T1 + T2 , OTKUDA

T1 = T ; T2

I, ZNA^IT,

T1 6 S; ; T2 :

pOLXZUQSX TEM, ^TO PRAWAQ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ T1, PEREHODIM W LEWOJ ^ASTI K WERHNEJ GRANI PO RAZ- BIENIQM T1:

S;1 6 S; ; T2

152

OTKUDA SLEDUET, ^TO

T2 6 S; ; S;1 :

wYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA QWLQETSQ FIKSI- ROWANNYM ^ISLOM. pO\TOMU, ZAMENIW LEWU@ ^ASTX NERAWENSTWA NA WERHN@@ GRANX WELI^IN T2 PO RAZBIENIQM T2, POLU^IM

S;2 6 S; ; S;1

I MY PRI[LI K (7.2.6).

iZ (7.2.5) I (7.2.6) WYTEKAET RAWENSTWO (7.2.3) I TEOREMA DOKAZA-

NA.

sWOJSTWO DLINY KRIWOJ, WYRAVENNOE RAWENSTWOM (7.2.3), NAZY- WA@T ADDITIWNOSTX@: DLINA OB_EDINENIQ DWUH KRIWYH RAWNA SUMME DLIN \TIH KRIWYH.

x 7.3. gLADKE KRIWYE

mOVNO POKAZATX, NO NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ, ^TO ES- LI W OPREDELENII KRIWOJ NA FUNKCI@ r(t) NE NAKLADYWATX NIKAKIH USLOWIJ, KROME NEPRERYWNOSTI, TO W KA^ESTWE NEPRERYWNYH KRIWYH MOVNO POLU^ITX MNOVESTWA TO^EK, NE SOOTWETSTWU@]IE INTUITIW- NYM PREDSTAWLENIQM O KRIWOJ KAK O \TONKOJ NITI".

pO\TOMU W DALXNEJ[EM BUDUT RASSMATRIWATXSQ BOLEE UZKIE KLAS- SY KRIWYH.

oPREDELENIE. kRIWAQ

; := f		(t) t 2 [a b]g	(7.3.1)
	r

NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, ESLI FUNKCIQ r(t) IME-

ET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE [a b].

eSLI FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNA I IMEET KUSO^NO NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@, TO KRIWAQ (7.3.1) NAZYWAETSQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ.

tEOREMA 7.3.1. nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ KRIWAQ (7:3:1) SPRQMLQEMA I DLQ EE DLINY SPRAWEDLIWY OCENKI

q		(b ; a) 6 S; 6 q						(b ; a) (7.3.2)
	mx2 + my2 + mz2					Mx2 + My2 + Mz2
GDE			x0(t)				x0(t)
	mx := min				Mx := max				j
		t2[a b] j	j			t2[a b] j

I ANALOGI^NO OPREDELQ@TSQ WELI^INY my My mz Mz.

153

dOKAZATELXSTWO. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA [a b] a = t0 < t1 < < tn = b

IMEEM

n

T = X jr(tk) ; r(tk;1)j =

k=1

n

= X p[x(tk) ; x(tk;1)]2 + [y(tk) ; y(tk;1)]2 + [z(tk) ; z(tk;1)]2 =

k=1 n

= X p[(tk;tk;1) x0( k)]2 + [(tk;tk;1) y0( k)]2 + [(tk;tk;1) z0( k)]2

k=1

GDE k, k, k | NEKOTORYE TO^KI IZ (a b). oTS@DA

n

T = X(tk ; tk;1)p[x0( k)]2 + [y0( k)]2 + [z0( k)]2 :

k=1

pEREHODQ ZDESX K MINIMALXNYM I MAKSIMALXNYM NA [a b] ZNA^E- NIQM MODULEJ PROIZWODNYH, POLU^AEM

qm2x + m2y + m2z(b ; a) 6 T 6 qMx2 + My2 + Mz2(b ; a):

iZ \TIH OCENOK WYTEKAET (7.3.2) I, W ^ASTNOSTI, SPRAMLQEMOSTX KRI- WOJ ;.

tEOREMA DOKAZANA.

oCENKA (7.3.2) SPRAWEDLIWA I DLQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFE- RENCIRUEMYH KRIWYH. dOKAZATELXSTWO OSTAETSQ TEM VE, ESLI ZAME- TITX, ^TO W OPREDELENII DLINY KRIWOJ (7.2.2) MOVNO RASSMATRI- WATX TOLXKO TAKIE RAZBIENIQ T, SREDI TO^EK KOTORYH SODERVATSQ WSE TO^KI, GDE U FUNKCII r(t) NET PROIZWODNOJ.

oPREDELENIE. pUSTX KRIWAQ

; := f		( ) 2 [a b]g					(7.3.3)
	r
SPRQMLQEMA I
;(t) := f				( )	2	[a t]g
			r
| ^ASTX KRIWOJ ;, SOOTWETSTWU@]AQ IZMENENI@ PARAMETRA OT a
DO t 6 b. dLINOJ DUGI KRIWOJ ; NAZYWAETSQ FUNKCIQ
s(t) := S;(t) t					2	[a b]:

154

tEOREMA 7.3.2. eSLI KRIWAQ (7:3:3) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA, TO DLINA DUGI s(t) MONOTONNO WOZRASTAET, IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

ds =			= d		(t) :
				r
		[x0(t)]2 + [y0(t)]2 + [z0(t)]2				(7.3.4)
dt	p			dt
dOKAZATELXSTWO. wOZRASTANIE FUNKCII s(t) SLEDUET						IZ OPREDELE-
NIQ DLINY DUGI. |TOT FAKT WEREN DLQ L@BOJ SPRQMLQEMOJ KRIWOJ.
rASSMOTRIM OTNO[ENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t)						K PRIRA]E-

NI@ ARGUMENTA s= t. w SILU WOZRASTANIQ FUNKCII s(t) DLQ WSEHt IMEEM

	s		> 0:	(7.3.5)
	t
wYBEREM TO^KU t0 2 (a b) I PRI ZADANNOM PRIRA]ENII ARGU-

MENTA t RASSMOTRIM ^ASTX KRIWOJ, SOOTWETSTWU@]U@ IZMENENI@ ARGUMENTA t W PREDELAH [t0 t0 + t], ESLI t > 0, I [t0 + t t0], ESLIt < 0. zDESX S^ITAETSQ, ^TO t DOSTATO^NO MALO I MY NE WYHODIM ZA PREDELY OTREZKA [a b].

w SILU TEOREMY 7.3.1 DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t), SOOTWET- STWU@]EGO \TOMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA t, SPRAWEDLIWY OCENKI SWERHU I SNIZU

qm2x + m2y + m2z j tj 6 j sj 6 qMx2 + My2 + Mz2 j tj (7.3.6)

GDE mx Mx I OSTALXNYE PODOBNYE WELI^INY | \TO MINIMUMY I MAKSIMUMY MODULEJ PROIZWODNYH KOMPONENT WEKTORA r(t) NA DANNOM OTREZKE IZMENENIQ ARGUMENTA t.

iZ (7.3.6) I (7.3.5) NAHODIM

qm2x + m2y + m2z 6 st 6 qMx2 + My2 + Mz2

I, PEREHODQ K PREDELU PRI t ! 0, W SILU NEPRERYWNOSTI PROIZWOD- NOJ r0(t) POLU^AEM (7.3.4).

|TI RASSUVDENIQ OHWATYWA@T I SLU^AJ, KOGDA t0 QWLQETSQ ODNOJ IZ KONCEWYH TO^EK OTREZKA [a b].

tEOREMA DOKAZANA. oPREDELENIE. kRIWAQ

; := fr(t) t 2 [a b]g

155

NAZYWAETSQ GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA I r0(t) =6 0 DLQ WSEH t 2 [a b].

kRIWAQ NAZYWAETSQ KUSO^NO GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA I QW- LQETSQ OB_EDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA GLADKIH KRIWYH.

eSLI KRIWAQ ; QWLQETSQ GLADKOJ, TO W KAVDOJ TO^KE t0 2 [a b] OTLI^NA OT NULQ PO KRAJNEJ MERE ODNA IZ PROIZWODNYH x0(t0), y0(t0), z0(t0). pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x0(t0) 6= 0. tOGDA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 PROIZWODNAQ x0(t) SOHRANQET ZNAK I, SLEDOWA- TELXNO, FUNKCIQ x(t) STROGO MONOTONNA.

zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI x(t) IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ t = t(x), KOTORAQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA. pO\TOMU W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI KRIWOJ SAMU KRIWU@ MOVNO ZADATX URAWNENIQMI y = y(t(x)), z = z(t(x)), T.E. URAWNENIQMI WIDA y = g(x), z = h(x).

oSOBENNO PROSTO \TO WYGLQDIT DLQ PLOSKIH KRIWYH. tOGDA z 0 I URAWNENIE SOOTWETSTWU@]EGO KUSKA GLADKOJ KRIWOJ IMEET WID y = g(x). pRI \TOM FUNKCIQ g(x) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@. tAKIM OBRAZOM, PLOSKAQ GLADKAQ KRIWAQ W NEKOTOROJ OKRESTNOS- TI KAVDOJ EE TO^KI PREDSTAWLQET SOBOJ GRAFIK NEPRERYWNO DIFFE-

RENCIRUEMOJ FUNKCII.

rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@ ; := fr(t) t 2 [a b]g. wEKTOR

		(t)	=		(t0 + t)	;		(t0)
	r			r			r
t					t

LEVIT NA SEKU]EJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI KRIWOJ, SOOTWETSTWU@- ]IE ZNA^ENIQM t, RAWNYM t0 + t I t0. dLQ KAVDOGO t \TOT WEKTOR NAPRAWLEN W STORONU WOZRASTANIQ PARAMETRA t. tAK KAK SU]ESTWUET NENULEWOJ PREDEL

lim r(t)

t!0 t

TO \TOT WEKTOR OPREDELQET PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ, KOTOROE NAZYWA@T KASATELXNYM NAPRAWLENIEM. pRQMU@, PARALLELXNU@ WEK- TORU r0(t0), PROHODQ]U@ ^EREZ TO^KU, RADIUSOM-WEKTOROM KOTOROJ QWLQETSQ r(t0), NAZYWA@T KASATELXNOJ K KRIWOJ ; W TO^KE r(t0).

w PRIMENENII K GRAFIKU NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNK- CII TAKOE OPREDELENIE KASATELXNOJ SOWPADAET S TEM, KOTOROE BYLO

DANO W x5.2.

eSLI KRIWAQ ; := r(t) t 2 [a b]g QWLQETSQ GLADKOJ, TO jr0(t)j > 0 I SOGLASNO TEOREME 7.3.2 DLQ FUNKCII DLINY DUGI s(t) IMEEM s0(t) > 0. pO\TOMU FUNKCIQ s(t) QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ I EE MOVNO WZQTX

W KA^ESTWE PARAMETRA W OPREDELENII KRIWOJ.

156

tOGDA ; MOVNO RASSMATRIWATX KAK KRIWU@, ZADANU@ WEKTORNOJ FUNKCIEJ r(t(s)). iZMENIW OBOZNA^ENIQ, POLU^IM

; := fr(s) s 2 [0 S;]g

PRI^EM
	dr		(s)				= ds = 1:
		ds						ds
tAKIM OBRAZOM, PRI s		!			0
						r		! 1:
				s
gEOMETRI^ESKI \TO OZNA^AET,					^TO DLINA HORDY, SOEDINQ@]EJ DWE

TO^KI GLADKOJ KRIWOJ, BLIZKA DLINE ^ASTI KRIWOJ, OGRANI^ENNOJ \TIMI TO^KAMI.

157

sODERVANIE

wWEDENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

gLAWA 1.	dEJSTWITELXNYE ^ISLA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :	4
x1.1. bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI . . . . . . . . . . . . .		4
x1.2. sRAWNENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		7
x1.3. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI
^ISLOWYH MNOVESTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		12
x1.4. sLOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
x1.5. uMNOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		19
x1.6. nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL . .		20
x1.7. pOSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW . . . . . . .		21
x1.8. s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA . . . . . . . . . . . .		24
gLAWA 2.	pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI: : : : : : : : : : : : : : : : : : :	28
x2.1. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . .		28
x2.2. sWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI . . . .		30
x2.3. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW . . . . . . . . . . .		32
x2.4. bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO
BOLX[IE POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . . . . . . . .		34
x2.5. pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . .		35
x2.6. ~ISLO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		37
x2.7. pODPOSLEDOWATELXNOSTI.
tEOREMA bOLXCANO{wEJER[TRASSA . . . . . . . . . . . .		38
x2.8. kRITERIJ kO[I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		43
gLAWA 3.	pREDEL FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :	44
x3.1. pONQTIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		44
x3.2. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . .		46
x3.3. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . .		50
x3.4. kRITERIJ kO[I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		53
x3.5. pREDEL SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . .		54
x3.6. oDNOSTORONNIE PREDELY . . . . . . . . . . . . . . . . .		55
x3.7. sRAWNENIE FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		57
gLAWA 4.	nEPRERYWNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :	59
x4.1. nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE . . . . . . . . . . . .		59
x4.2. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA . . . . . . . . . . . . . .		61
x4.3. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE . . . . .		63
x4.4. rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ . . . . . . . . .		66
x4.5. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . .		68
x4.6. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . .		71

158

x4.7. |LEMENTARNYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . .	75
x4.8. wY^ISLENIE NEKOTORYH PREDELOW . . . . . . . . . . . .	80
gLAWA 5. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY: : : : : : : : : : : : : :	83
x5.1. pROIZWODNAQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	83
x5.2. dIFFERENCIAL FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . .	91
x5.3. pROIZWODNAQ OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . .	94
x5.4. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . .	97
x5.5. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW . .	99

gLAWA 6. sWOJSTWA DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ : : : : : 105

x6.1. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE . . . . . . .	105
x6.2. tEOREMY O SREDNEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	108
x6.3. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ . . . . . . . . . . . . . .	114
x6.4. fORMULA tEJLORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	122
x6.5. fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ . . . .	126
x6.6. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@
STAR[IH PROIZWODNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	132
x6.7. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE . . . . . . . . . . .	135
x6.8. nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA . . . . . . . . . .	142

gLAWA 7. kRIWYE W TREHMERNOM PROSTRANSTWE : : : : : : : : 146

x7.1. wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . .	146
x7.2. dLINA KRIWOJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	150
x7.3. gLADKE KRIWYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	153

159

zAKAZ 14

fORMAT 60 90 1/16.

s. a. tELQKOWSKIJ

kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. I SEMESTR

M., iZDATELXSTWO cENTRA PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ PRI MEHANIKO- MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu, 160 STR.

pODPISANO W PE^ATX 31.05.2002 G. oB_EM 10,0 P.L. tIRAV 350 \KZ.

iZDATELXSTWO cpi PRI MEHANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu mOSKWA, lENINSKIE GORY.

lICENZIQ NA IZDATELXSKU@ DEQTELXNOSTX id 04059,

OT 20.02.2001 G.

oTPE^ATANO NA TIPOGRAFSKOM OBORUDOWANII MEHANIKO-MATEMATI^ES- KOGO FAKULXTETA I fRANKO-RUSSKOGO CENTRA IM. a. m. lQPUNOWA.