§5. Алгебра матриц.

Определение 1. Суммой матрициодинаковой размерностиназывается матрицаразмерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрици:

,. (1)

Пример 1.

.

Определение 2. Произведением матрицына числоназывается матрицаразмерности, для которой().

Пример 2.

.

Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число.

Пусть A, B, C– матрицы размерности.

1. Коммутативность суммы матриц

.

2. Ассоциативность суммы

.

3. Дистрибутивность

,

,

- числа.

4. Ассоциативность произведения

,

- числа.

5. , где- нулевая матрица.

6. , где- нулевая матрица.

Определение 3. Произведением матрицы(размерности)на матрицу(размерности) называется матрица, элементы которой вычисляются по формулам:

,(2)

Пример 3.

.

Замечание 1.Из определения 3 следует, что умножить матрицуна матрицуможно лишь в том случае, когда число столбцов в матрицеравно числу строк в матрице.

Замечание 2.Пусть- квадратная матрицаn-ого порядка, а- единичная матрица такжеn-ого порядка, тогда

.(3)

В самом деле, по определению умножения матриц, имеем

.

Аналогичным образом получаем, что .

Свойства умножения матриц.

1. Ассоциативность

, где,,- матрицы размерности соответственно: , , .

2. Дистрибутивность

,

где и- матрицы размерности,- матрица размерности.

3. ,

где - число,и- матрицы размерности соответственнои .

Замечание 3.Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е., если в частности, то матрицыиназываются перестановочными.

§6. Обратная матрица.

Определение 1.Квадратная матрицаназываетсяневырожденной, еслиивырожденной, если.

Пусть задана квадратная матрица:

.

Определение 2.Матрицаназываетсяобратнойк матрице, если выполняется равенство, где- единичная матрица. Матрица, обратная к матрице, обозначается символом:

.

Справедлива следующая теорема .

Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Пусть задана матрица

и , тогда матрицуможно получить следующим образом:

1) вычисляем определитель матрицы ;

2) находим матрицу

(заменим в матрице каждый элементсоответствующим ему алгебраическимдополнением);

3) транспонируем матрицу , полученная матрицаназывается союзной и обозначается символом:

;

4) находим матрицу

.

Поясним сказанное на примере:

.

1) ;

2. вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицыи находим матрицыи

,,,

,,,

,,,

,;

4) ;

5) проверяем:

.

Легко убедиться, что

.

§ 7. Ранг матрицы.

Определение 1.Элементарными преобразованиями матрицыназываются следующие действия:

1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);

2) перестановка двух строк (столбцов);

3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число .

Определение 2. Матрицаназываетсяступенчатой, если ее диагональные элементы, а все элементы, лежащие ниже диагональных, равны нулю (, если).

Например, матрица

- ступенчатая.

Теорема 1.Любую матрицус помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 2.При любом способе приведения матрицыс помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной ступенчатой матрице будет одним и тем же.

Определение 3. Рангомматрицыназывается число строк в ступенчатой матрице, которая получается из матрицыэлементарными преобразованиями. Ранг матрицы обозначается символами:

Для вычисления ранга матрицы можно применить следующийалгоритм.

1. Вычеркиваем в матрице все нулевые строки, если они есть.

2. Т.к. теперь нулевых строк нет, то в 1-ой строке полученной матрицы найдется хотя бы один отличный от нуля элемент. Переставим столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте стоял элемент, отличный от нуля .

3. Первую строку, умноженную последовательно на ;;;, прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей, … , m-ой строке. Получим матрицу :

.

Вычеркнем в матрице нулевые строки, если они есть. Можно считать, что во 2-ой строке есть хотя бы один элемент, отличный от нуля. Переставим столбцы так, чтобы.

4.Умножим 2-ую строку последовательно на ;;;и прибавим соответственно к каждой из последующих строк. В результате получим матрицу

.

Вообще говоря, , т.к. при переходе от одной матрице к другой некоторые строки (нулевые) могли быть вычеркнуты.

Повторяя описанные рассуждения через конечное число шагов, мы получим матрицу ступенчатого вида, число строк в которой и будет рангом матрицы . Поясним сказанное напримере.

Вычислим ранг матрицы:

.

Умножим первую строку на «-2» и сложим ее со 2-ой, затем умножим 1-ую строку на «-1» и сложим ее с 3-ей; наконец, первую строку, умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице:

.

В матрицевторую строку, умноженную последовательно на «-2» и «-3», складываем соответственно с 3-ей и 4-ой строками, получаем:

.

Вычеркиваем в матрице третью и четвертую нулевые строки, получим

,

число строк в ступенчатой матрицеравно 2. Следовательно,

Теорема 3.Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

Рекомендуем читателю транспонировать матрицу в рассмотренном примере и убедиться, что