- •Московский государственный строительныйуниверситет
- •§ 2. Определители второго и третьего порядков.
- •§ 3. Определители n-ого порядка.
- •§4. Свойства определителей.
- •§5. Алгебра матриц.
- •Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число.
- •Свойства умножения матриц.
- •§6. Обратная матрица.
- •§ 7. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •§ 3. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
- •§ 4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§ 5. Метод Гаусса.
- •§ 6. Теорема Кронекера – Капелли.
- •§ 7. Однородные системы линейных уравнений.
- •Примеры.
- •Глава 3. Примеры. Задание 1.
- •Задание 2.
- •Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
- •Задание 3.
- •Ответ: , , .
- •Ответ: , , .
- •Задание 4.
- •Оглавление.
§ 6. Теорема Кронекера – Капелли.
Теорема.Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы
.
Пример 1.С помощью критерия Кронекера – Капелли определить, будут ли совместны следующие системы:
а) ;
б) .
Решение.
а) Вычисляем ранг матриц . Для этого путем элементарных алгебраических преобразований приведем матрицук ступенчатому виду :
.
Умножаем элементы 1-ой строки на «-3» и складываем с элементами 2-ой строки, затем умножаем элементы 1-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.
Умножаем элементы 2-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.
Число строк в полученной матрице равно 3, следовательно, согласно определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы 1) имеем:
.
Аналогичным образом, получим
.
Т.к. , то в силу критерия Кронекера – Капелли, система решений не имеет (несовместна).
б) Составляем расширенную матрицу:
1. Меняем местами 1-ую и 2-ую строки.
2. Умножаем элементы 1-ой строки последовательно на «-2»; на «-1»; на «-5» и на «-3» и складываем соответственно с элементами 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.
3. Умножаем элементы 2-ой строки последовательно на «-2»; «-3» и «-1» и складываем соответственно с элементами 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.
4. Вычеркивая нулевые строки, получаем ступенчатую матрицу.
Число строк в полученной ступенчатой матрице равно 2 :
;;,
следовательно, система совместна.
Замечание.Для сокращения записи мы приводим к ступенчатому виду одновременно матрицы.
§ 7. Однородные системы линейных уравнений.
Определение 1. Система уравнений вида:
(I)
называется однородной.
Очевидно, что система (I) всегда имеет решение :
(нулевое решение). Таким образом, однородная система всегда совместна.
Теорема.Если в системе (I), то система (I) имеет единственное (следовательно, нулевое) решение, если определитель системы
,
и – бесчисленное множество решений (в том числе ненулевых), если
.
Замечание.Если в системе (I)(число уравнений меньше числа неизвестных), то система имеет бесчисленное множество решений.
Примеры.
Решить системы уравнений:
а) ;
б) .
Решение.
а) .
Мы сложили соответствующие элементы 2-ой и 3-ей строк. Система имеет единственное (нулевое) решение :
б) Решаем систему методом Гаусса (см. § 5).
.
Таким образом,
.
Система имеет бесчисленное множество решений. Давая различные значения, мы будем получать соответствующие решения заданной системы.
Например,
, тогда, получаем решение;
, тогда, получаем решение.
При подстановке в уравнения системы этих чисел, убеждаемся, что каждый раз мы получаем решение.
Глава 3. Примеры. Задание 1.
Даны определители:
,.
Вычислить:
а) определитель по правилу треугольников;
б) определитель разложением по элементам 2-го столбца;
в) определитель 4-го порядка .
Решение:
а)
б)
в) Для вычисления определителя 4-го порядка выберем строку (столбец), где больше нулей и, пользуясь свойством определителя (см. главу I §4 свойство 8), получим в этом столбце все нули, кроме, быть может, одного элемента. В нашем случае – это 3-ий столбец. Мысленно умножим элементы 1-ой строки на «-4» и сложим с элементами 2-ой строки, а затем умножим элементы 1-ой строки на «-2» и сложим с элементами 4-ой строки.
Мы разложили определитель 4-го порядка по элементам 3-его столбца (см. главу I §4 свойство 9). В этом разложении 3 последних слагаемых, очевидно, равны нулю. Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению определителя 3-го порядка. Умножим элементы 1-ого столбца этого определителя на «-1» и сложим с элементами 2-ого столбца :
.
Замечание 1.Следует обратить внимание на то, что та строка (столбец), которую мы умножаем, в определителе не изменяется. Меняется лишь та строка (столбец), к которой мы прибавляем результат умножения.
Например, в нашем определителе 3-го порядка 1-ый столбец, который мы умножаем на «-1», вошел в новый определитель без изменения, поменялся лишь 2-ой столбец.