6 Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Равенство нулю обеспечено, если угол между векторами -+пи\2
7 Векторное произведение
Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого
8 Смешанное произведение
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:
Применение:1) можно узнать компланарны ли векторы. Если abc=0, то векторы в одной плоскости.
2) Правая и левая тройки векторов
Определение
Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).
Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.
Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).
Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).
3) Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть заданы:
а) точка на оси ординат;
б) угол (рис.3.21,а).
Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины .
Величину, равную тангенсу угла , который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают (рис.3.21,а).
Выберем на прямой произвольную точку , отличную от , т.е. . Запишем уравнение (3.16) при :
Отсюда
Подставляя , получаем уравнение
(3.18) |
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно ).