![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
§ 2. Классическое определение вероятности
События
называются равновозможным,
и, если при осуществлении комплекса
условий S
каждое из них
имеет одинаковую возможность наступить.
Пример
1. В урне содержится
3 одинаковых занумерованных шара.
Очевидно, имеется
одинаковая возможность извлечь
из урны наугад шар
с номером
1 (событие
),
с номером 2 (событие
)
или с номером 3(событие
A3),
т. е. события
,
,
— равновозможные.
Пример 2. Если бросить игральную кость, то выпадет любая из шести граней с одинаковой возможностью, так как в силу симметрии и однородности материала, из которого изготовлена игральная кость, ни одна из 6 граней какими-либо преимуществами перед другими не обладает.
Следовательно,
события A4—
выпадение одного очка,
— двух, Аз—трех, A4
— четырех,
— пяти и А6
— шести очков
— равновозможные.
Эти события также несовместные и
единственно возможные.
Пусть
нас интересует событие
А — выпадение
четного числа очков.
Этому событию,
как принято говорить, из
общего числа
(шести) равновозможных случаев
благоприятствуют три случая:
,
,
и
.
Пример 3. Партия содержит 200 деталей: из них 4 детали нестандартные, а остальные стандартные, причем стандартные и нестандартные детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлекаем из партии наугад одну деталь, она может оказаться стандартной (событие А) или нестандартной (событие В). Очевидно, что события А и В не будут равновозможными и что событие В менее возможно, т. е. менее вероятно, чем событие А. Это видно из того, что из общего числа 200 равновозможных случаев событию А благоприятствуют 196 случаев, а событию В — только 4. Оказывается, что возможность наступления события, иначе говоря, его вероятность, можно оценить числом.
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа т благоприятствующих событию А. случаев к общему числу п случаев равновозможных, единственно возможных и несовместных.
Вероятность события А обозначается символом Р(А) и читается: вероятность события А .
Таким образом,
(1)
Определение вероятности (1) называется классическим, оно было дано французским математиком Лапласом.
Заметим, что вместо слова «случай» принято также говорить «исход». Иногда и мы будем пользоваться этим термином.
Пример 4. В урне находятся три одинаковых шара с номерами 1, 2, 3. Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар будет с номером 1.
Решениие.
Событие «извлечение
шара с номером 1» обозначим через
. По
формуле (1)
так как т= 1, n = 3.
Пример 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков.
Решение. Обозначим это событие через А. По формуле (1) ,
так как т = 3, и = 6.
Пример 6. Партия содержит 200 деталей, из них 4 нестандартные, а остальные стандартные. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной?
Решение. Обозначим через А событие «извлечена стандартная деталь». По формуле (1)
где n=200 есть числа равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, а т — число случаев, благоприятствующих событию А.
Аналогичным образом найдем вероятность того, что взятая наугад деталь будет нестандартной:
Вероятность достоверного события P(U)=1,
так как все п равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев благоприятствуют событию U, т. е. т = п, и поэтому
P(U)
=
=1.
Например, в урне 5 белых шаров. Вероятность извлечь из урны белый шар
Вероятность невозможного события
P(V)=0,
так
как нет ни одного благоприятствующего
случая событию V,
т. е. m
= 0, а n0,
отсюда
P(V)
==0.
Например, в урне 10 белых шаров. Вероятность извлечь черный шар
P(V)
== 0.
Теорема. Вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам
.
Действительно,
где
,
отсюда
т.е.
.
Заметим, что для вычисления вероятности события А нет необходимости производить какие-либо испытания, надо лишь подсчитать число случаев, благоприятствующих наступлению события А, и общее число равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, а затем применить формулу (1).
Таким образом, пользуясь классическим определением вероятностей, можно найти вероятность события до опыта.
Однако классическое определение вероятностей можно применять не всегда.