Банковская статистика УМК
.pdf63
Финансовые ренты
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Такого рода последовательность, или ряд платежей, называют потоком платежей.
В практике встречаются разнообразные потоки платежей.
Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).
Поток платежей, все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой. Иногда подобного рода поток платежей называют аннуитетом, что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам.
Ренты описываются следующими параметрами:
член ренты – размеротдельногоплатежа,
период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами,
срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего,
процентная ставка.
В практике применяются разные по своим условиям ренты.
По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в год) и р-срочные (р – количество выплат в году). Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.
По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.
По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные.
По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее не известно.
По количеству членов различают ренты с конечным числом членов,
или ограниченные ренты, и бесконечные, или вечные ренты.
64
По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные.
Очень важным является различие по моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.
Допустим, имеется ряд платежей Rt , выплачиваемых спустя время nt после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n
лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной
ставке i , то, обозначив искомую величину через S , получим
S Rt 1 i n nt .
t
Современная стоимость такого потока находим как сумму дисконтированных платежей:
A Rtvnt ,
t
где А – современная стоимость потока платежей,
vnt – дисконтный множитель по ставке i .
В практике иногда сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения необходимо в силу каких-либо причин изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым платежом, или наоборот, замена разового платежа рентой. К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну – консолидация рент. Общий случай конверсии
– замена ренты с одними условиями, например, немедленной ренты на отложенную, годовой – на ежеквартальную.
Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменениям финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, то конверсия должна основываться на принципе финансовой эквивалентности.
65
Расходы по обслуживанию долга
Можно выделить, по крайней мере, три цели для количественного анализа долгосрочной задолженности (далее для краткости любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом):
разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансовогосоглашения;
оценка стоимости долга с учетом всех поступлений для его погашения и состояния денежногорынка намомент оценивания;
анализ эффективности (доходности) финансовой операции для кредитора.
Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика (расписания) периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслуживанию долга или, более кратко, срочными уплатами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.
Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного периода, уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном периоде основной долг не погашается, обычно выплачиваются проценты. Впрочем, не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.
К долгосрочным займам проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Значительно реже они начисляются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она выплачивается частями в рассрочку.
При определении срочных уплат используются следующие основные обозначения:
D – сумма задолженности; Y – срочная уплата;
I – проценты по займу;
R – расходы по погашению основного долга; g – ставка процента по займу;
n – общий срок займа;
L – продолжительность льготного периода.
По определению расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как Y = I + R. Если в льготном периоде выплачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде сокращаются до Y = I.
66
Планирование погашения задолженности
Ссуда может возвращаться единовременным платежом или в рассрочку. Тот или иной способ оговаривается заранее при заключении сделки. Также указывают:
D – первоначальную сумму задолженности; q – ставку процентов за кредит:
mq – число раз начисления процентов по кредиту в течение года. Исчисление суммы денежных средств, погашающих долг, если
долг гасится единовременным платежом без создания погасительного
фонда, определяется:
FV = D*(1 + q/mq)mqn
Чаще для погашения задолженности единовременным платежом в требуемый момент времени (через срок n) должником создается амортизационный (погасительный) фонд, который представляет собой целевой депозит, где постепенно накапливаются средства, достаточные для единовременного погашения долга. Если взносы начисляют периодически, то мы имеем дело с финансовой рентой помещения.
Введем дополнительные параметры, связанные с формированием погасительного фонда:
p – число взносов в погасительный фонд в год;
N – число лет создания погасительного фонда (срок); j – ставка банка;
mj – число раз капитализации процентов в году в банке.
Если проценты периодически выплачиваются кредитору, то годовые расходы по обслуживанию долга (срочные уплаты) (γ) составят сумму процентов по долгу (%%) плюс взносы в погасительный фонд (R).
γ= %% + R;
%%= D ((1 + q/mq)mq - 1), или %% = D*q, (если mq = 1).
При равных срочных выплатах (γ) план погашения задолженности составляется следующим образом.
Пример1. Пусть D = 250 д.е. q = 7%
mq = 2 n = 3
Определить общий размер равных срочных уплат (γ = const = ?) и
отдельные их элементы (%% и R).
67
Очевидно, 250 д.е. следует трактовать как сумму современных величин, равных срочным уплатам γ.
Поэтому:
|
γ = PVf: |
(1 q / mq ) mn |
1 (1 0,07 / 2) 2*3 |
|
95,529 д.е. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(1 q / mq )mq |
|
|
(1 0,07 / 2)2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Сумма первой выплаты процентов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
mq |
|
|
|
|
|
0,07 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
%% = |
D * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д.е. |
||||||||
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
1 |
250 * |
1 |
2 |
|
1 17,806 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сумма первого платежа в счет погашения долга: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
γ - %% = 95,529 – 17,806 = 77,723 д.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Оформим результаты в табл. 6.1. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
План погашения задолженности равными срочными выплатами |
|||||||||||||||||||||||
Год |
|
Остаток на начало |
|
|
Погашение |
|
|
Проценты |
|
Срочная |
|
||||||||||||
|
|
|
года |
|
|
|
|
долга |
|
|
|
выплата |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
77,68 |
|
|
|
17,81 |
|
|
95,49 |
|
|||||
2 |
|
|
172,32 |
|
|
|
|
|
83,21 |
|
|
|
12,28 |
|
|
95,49 |
|
||||||
3 |
|
|
89,11 |
|
|
|
|
|
89,11 |
|
|
|
6,38 |
|
|
95,49 |
|
||||||
итого: |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
250,00 |
|
|
|
- |
|
|
|
- |
|
|
||
В случае погашения кредита в рассрочку равными суммами план составляется несколько иначе.
Пример 2. Пусть кредит 250 д.е. выдан на 5 лет под 10% годовых. Долг погашается равными частями, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга один раз в год и выплачиваются вместе с выплатой основного долга. Составить план погашения займа.
По условию задачи:
1)ежегодная сумма погашения долга равна: 250:5=50 д.е.;
2)сумма процентов за первый год %%=Dq=250*0,1=25 д.е.;
3)срочные (ежегодные) расходы по обслуживанию долга меняются от года к году (γt):
γt = Dt*q+D/n,
где q – остаток долга на начало года;
t – порядковый номер периода (года); D – первоначальная сумма кредита; n – срок кредита.
68
Отсюда:
γt = 25д.е. + 50 д.е. = 75 д.е. и т.д.
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
|
План погашения кредита равными суммами |
||||
Год |
Остаток долга на |
Погашение |
Проценты |
Срочная уплата |
|
начало года |
основного долга |
||||
|
|
|
|||
1 |
250 |
50 |
25 |
75 |
|
2 |
200 |
50 |
20 |
70 |
|
3 |
150 |
50 |
15 |
65 |
|
4 |
100 |
50 |
10 |
60 |
|
5 |
50 |
50 |
5 |
55 |
|
итого: |
- |
250 |
- |
- |
|
Льготные займы
Грант-элемент – это условная потеря заимодавца, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем существующие ставки кредитного рынка. Грант-элемент определяется в двух видах: в виде абсолютной и относительной величин.
Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов, рассчитанной по рыночной ставке. Размер абсолютного грант-элемента находим следующим образом:
W = D – G,
где W – абсолютный грант-элемент, D – сумма займа, G – современная величина платежей, поступающих в счет погашения займа, рассчитанная по реальной ставке кредитного рынка.
Относительный грант-элемент характеризует отношение абсолютного грант-элемента к сумме займа:
w = W 1 G ,
D D
где w – относительный грант-элемент.
Все переменные приведенных формул определяются условиями выдачи и погашения займа.
Предельным случаем льготного займа является беспроцентный заем. Выдача такого займа связана с потерями, которые определим, полагая, что соответствующие средства можно было бы разместить под проценты по рыночной ставке i. Например, уже при пятнадцатилетнем
69
сроке беспроцентного займа и рыночной ставке 10% кредитор теряет почти 50% от суммы долга.
Ипотечные ссуды
Ссуды под залог недвижимости или ипотеки получили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой как один из важных источников долгосрочного финансирования. В такой сделке владелец имущества получает ссуду у залогодержателя и в качестве обеспечения возврата долга передает последнему право на преимущественное удовлетворение своего требования из стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или неполного погашения задолженности. Сумма ссуды обычно несколько меньше оценочной стоимости закладываемого имущества. Характерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения. Суть ее сводится к следующему. Заемщик получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости (например, при покупке или строительстве дома). Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами.
Основной задачей при анализе ипотек является разработка планов погашения долга. Важно также уметь определить сумму остатка задолженности на любой момент процесса погашения.
Наиболее распространенной является ипотечная ссуда, условия которой предполагают равные взносы должника, взносы ежемесячные постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, реже годовая номинальная.
Поскольку погасительные платежи (взносы) представляют собой постоянную ренту, при решении поставленной задачи применим тот же принцип, что и при разработке плана погашения долгосрочного долга равными срочными уплатами. Для этого приравняем современную величину срочных уплат сумме ссуды. Для месячных взносов постнумерандо находим:
D = RaN;i ,
где D – сумма ссуды; N – общее число платежей, N = 12n (n – срок погашения в годах); i – месячная ставка процента; R – месячная сумма взносов; aN;i - коэффициент приведения постоянной ренты.
Искомая величина взноса составит:
R = D Dc .
aN ;i
70
В рамках решаемой проблемы величину с = 1/аN;i можно назвать коэффициентом рассрочки. Для рент пренумерандо получим
R = |
D |
*(1 i) . |
|
aN ;i
Найденная по вышеприведенным формулам величина срочной уплаты является базой для разработки плана погашения долга. Согласно общепринятому правилу из этой суммы прежде всего выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга.
Решение типовых задач
Пример 1.
Банк выдал ссуду 10 тыс. руб. на два года под 10% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.
Решение:
FV=PV*(1+n*i)=10*(1+2*0,1)=12 тыс. руб.
Пример 2.
Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 14,1% (годовых). Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн. руб. (точные проценты)?
|
S |
|
|
|
|
|
Решение: |
||
P |
|
|
|
1,5 |
|
1,498264млн.руб. |
|||
|
t |
|
|
3 |
|
|
|||
|
1 |
*i |
1 |
* 0,141 |
|||||
|
k |
365 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.
Простой 90-дневный вексель на сумму 10 тыс. руб., датированный 3 января учитывается коммерческим банком 4 февраля по ставке 10%. Определите какую сумму получит векселедержатель при учете векселя в банке.
Решение:
Срок содня учета додаты погашения векселя:
90 - (28дней января+4дня февраля)= 58дней
Дисконт в пользубанка при ставке10%:
|
71 |
|||
S |
10 *10 * 58 |
0,161тыс.руб. |
||
|
|
|||
100 * 360 |
||||
|
|
|||
Сумма, полученная векселедержателем: 10 - 0,161 = 9,839 тыс. руб.
Пример 4.
Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте сложной ставке 15,5 % годовых?
Решение:
По формуле S P(1 i)n находим:
S 1000 000(1 0,155)5 2055464,22 руб.
Пример 5.
Ссуда 2 млн. руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Проценты (10% годовых) начисляются ежегодно и присоединяются к основной суме долга. Определить сумму задолженности к погашению.
Решение:
S=P(1+i)n=2*(1+0,1)3=2,662 млн. руб.
Пример 6.
Сумма в 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых.
Решение:
Дисконтный множитель для данных условий составит:
v5 1,12 5 0,56574 ,
т.е. первоначальная сумма сократилась почти на 44%. Современная величина равна:
P 5000 *1,12 5 |
2837,1 тыс. руб. |
Пример 7.
По дебетовой магнитной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты исходя из 9% годовых. Определить, какой суммой будет располагать владелец карточки через 7 месяцев, если она оформлена на 500 долл. США.
Решение:
S P *(1 j / m)m*t / Y 500(1 0,09 / 4)4*7 /12 522долл.США
72
Пример 8.
Определить текущую стоимость денег, будущая величина которых через 10 периодов оценивается в 2000 д.е. Ставка дисконтирования – 3% за период.
Решение:
P |
S |
2000 * |
1 |
1488,18д.ед. |
|
(1 i)n |
(1 0,03)10 |
||||
|
|
|
Пример 9.
Ежегодно в конце года в течение 4 лет на специальный счет поступало 50 д.ед. Определить наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке
10%.
S Rt 1 i n nt |
Решение: |
|
|
50*(1 0,1)3 50*(1 0,1)2 |
50*(1 0,1)1 |
||
t |
|
|
|
50*(1 0,11)0 |
232,05 д.ед. |
|
|
Задания для самостоятельной работы Расчеты при начислении простых процентов
1. Текущая сумма денег 100 д.е. Определите будущую стоимость денег через 4 периода, если ставка наращения (простая ставка) составляет 10 % за период.
2. Финансовый актив, купленный за 15 тыс. д.е., продали спустя 27 дней за 16 тыс.д.е. Оцените доходность операций.
3. Исчислите текущую стоимость денег, будущая стоимость которых через 3 процентных периода при начислении простых процентов оценивается в размере 100 д.е. Ставка процентов за период -1%.
4. Учесть дисконтный вексель номиналом 10 тыс. руб. за 2 месяца до погашения по вексельной ставке 10% годовых.
5. Дата погашения дисконтного векселя 05.07.текущегго года. Какова его выкупная цена на 23.02 текущего года? Номинал векселя 1 млн. руб., учетная ставка -8% годовых.
Эквивалентность ставок
6. Текущий размер задолженности с процентами - 312 тыс.руб. Кредитное учреждение отсрочило её уплату на 1,5 месяца. Определите сумму долга по обязательству исходя из 10% годовых.
7. Процентный вексель банка гарантирует исчисление процентов исходя из 10% годовых при сроке обращения 30 дней. Определите эквивалентную дисконтную ставку.