28

б) если φ (x) → ψ (x) общезначима, то формулы ( x) φ (x) ↔ ( x) ψ (x)	и ( x) φ (x) ↔ ( x) ψ (x) общезна-
чимы.

.№ 3.4. 25. Доказать, что нижеследующие импликации не являются общезначимыми (подобрать такие значения предикатных переменных, при которых основание импликации истинно, а следствие ложно):

а) ( x) ( y) P(x, y) → ( y) ( x) P(х, у);

б) ( x) (P(x) Q (х)) → ( x) P(x) ( x)Q (х);

в) ( x) P(x) ( x) Q (х) → ( x) [P(x) Q (х)];

г) [( x) P(x) → ( x) Q (х)] → ( x) [P(x) → Q (х)]; д) ( x) P(x) → ( x) P(x)/

№3.4. 26. Правильность нижеследующих силлогизмов доказать построением вывода заключения из посылок

ииллюстрировать с помощью диаграмм ЭйлераВена:

а) Ни одно вещественное число не есть мнимое; некоторые комплексные числа - вещественные; следовательно, некоторые комплексные числа не являются мнимыми.

б) Ни одно мнимое число не является вещественным; некоторые комплексные числа - ‘ вещественные; следовательно, некоторые комплексные числа не являются мнимыми.

в) Ни одно мнимое число не есть вещественное; все рациональные числа - вещественные; следовательно, ни одно рациональное число не является мнимым.

г) Все квадраты - ромбы; некоторые прямоугольники не являются ромбами; следовательно, некоторые прямоугольники не являются квадратами.

д) Все квадраты - правильные многоугольники; ни один разносторонний прямоугольник не есть правильный многоугольник; следовательно, ни один разносторонний прямоугольник не есть квадрат.

№ 3.4. 27. Установить неправильность нижеследующих рассуждений с помощью диаграмм Эйлера - Венна. а) Все целые числа - рациональные; некоторые дроби не являются целыми числами; следовательно, некото-

рые дроби не являются рациональными числами.

б) Все ромбы – параллелограммы; все прямоугольники - параллелограммы; следовательно, все прямоугольники - ромбы.

в) Некоторые вещественные числа рациональные; некоторые рациональные числа не являются целыми, следовательно, некоторые вещественные числа не являются целыми,

3.5. Ответы, указания, решения к разделу 3.4.

г) Ни одна трапеция не есть правильный многоугольник; ни один треугольник не есть трапеция; следовательно, ни один треугольник не есть правильный многоугольник.

№ 3.4. 1. Решение.

г) например, А = Наполеон Бонапарт, В = Александр Македонский, С = Коля Кругликов. Другой вариант: А =

сын, В = мать, С = отец. И т.д.

№ 3.4. 2. Начало этой таблицы имеет вид:

y	1	2	3	4	5	6
x
1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	0	1
4
5
6

Область истинности МР = {(1,1), (1,2), (1,3), …}.

Завершите создание таблицы и области истинности.

№ 3.4. 3.	См. № 3.4. 2.
№ 3.4. 4.	Решение. в) см. рис. 29.	ж) см. рис. 30.
А	В	А
		В
	С	С
Рис. 29. Область истинности		Рис. 30. Область истинности
	предиката в)	предиката ж)

29

№3.4. 5. Для рис.10: (А ∩ В) (А ∩ С) (В ∩ С) А В С

№3.4. 6. г) области истинности не пересекаются.

№3.4. 7 Решение.

г) ( x)( y)( z) P(x, y, z.) .

№3.4. 8. в) нет.

№3.4. 9 Решение.

г) Введем предикат Q(x) – x является четным числом. Тогда можно записать формулу ( y) Q(y) → ( z )

Q(z) (С(x, y, z) Р(x, y, z)).

Её можно прочитать таким образом:

- Если любой y является четным числом, то существует четное z такое, что x + y = z или x * y = z.

Если x нечетно, то оба предиката С(x, y, z) и Р(x, y, z) ложны, а формула ( y) Q(y) истинна, следовательно,

импликация ложна. При четном x импликация будет истинной. (Почему?)
№ 3.4. 10.
е). Для любого x существует такой y что, если x	и y - целые числа, то x делит y. Высказывание истинно.
ж). Существует такой y для любого x, что, если	x и y - целые числа, то x делит y (другими словами - есть y,
который делится на все x). Высказывание ложно.
№ 3.4. 11. Введем предикат С(x) – x целое число.
б). ( x, y)( ! z) [С(x) С(y) С(z) → (x + y = z)].
з) ( x, y) ( k) ([x < y) (k N) ↔ (x + k = y)].
№ 3.4. 12. Указание. При записи математических предложений с использованием предикатов необходимо

сначала определить объекты, к которым относится утверждение, и ввести необходимые предикаты. Затем, выявить для этих объектов отношения и ввести соответствующие предикаты. Затем, в виде импликации или эквиваленции записывается формула, соответствующая данному предложению.

Рассмотрим пример.

Два множества равны, если все элементы одного множества являются элементами другого и все элементы второго множества являются элементами первого.

Здесь рассматриваются множества и их элементы. Введем обозначения: U – некоторая предметная область,

предикат М(x) – x является множеством, предикат принадлежности введем обычным образом			x y. Тогда
определение запишется формулой
(x U) М (А) М (В) ( x)(((x А) → (x В)) ((x В) →		(x А))) → (А=В).
С использованием эквиваленции запись будет несколько короче:.
(x U) М (А) М (В) x ((x А) ↔(x В)) ↔ (А=В).
№ 3.4. 13.
в). (	x) P(x) ( y) [P(y) → (y = x)].
ж). (	x, y) P(x) P(y) ( z) [P(z) → (z = y) (z = x)].

	№ 3.4.			14. Введем предикаты P(x) - x прямая линия, T(x) – x является точкой.
	а) ( А, В) (T(А) T(В))) ( a) (P(a) → (a* А)								(a * В)).
	г) ( А, В, С) (T(А) T(В) T(С)) (							a ) (P(a)→ (a* А) (a* В) (a * С)).
	№ 3.4.			15. Построим отрицание.
	в) (		x, y) ( z)[			( r) (x+ y = r					)] (переносим отрицание на следующий квантор и изменя-
					x y z					z r

ем квантор)

( x, y) ( z) [ x y z

( r (x+ y = r

z r )] (переносим отрицание на предикат и изме-

няем квантор)

( x, y) ( z)

x y z

( r)(x y r

z r

))

(по законам де Моргана) .( x, y) ( z) [

x y z

(

r) (x+ y = r

z r )]

(снимаем двойное отрицание, и отрицание с квантора переносим на формулу) ( x, y) ( z) [x+ y = z ( r)

x y r z r ] (по законам де Моргана) ( x, y) ( z) [x+ y = z ( r)

( x y r z r )] ( x, y) ( z)

[x+ y = z ( r) (x + y

r z = r)]. Получили высказывание

- для любых двух чисел x и y существует третье число z, такое, что

x+ y = z и для любого числа

r справед-

ливо x + y r или z = r.

№ 3.4. 25.

г). Пусть P(x) – x является целым числом, Q (х) – x является простым числом. Тогда ( x) P(x) =

0 и ( x) Q

(х) = 0. Получим

( x) P( x) → ( x) Q (х) =1. Высказывание ( x) [P(x) →

Q (х) = 0], например, для x =12. Значит, вся им-

пликация ложна

№ 3.4. 26.

Приведем перечень правил вывода

Правило заключения

Ф1 (x) ф2 (x), ф1 (x) ├ ф2 (x)

(ПЗ);

Правило отрицания

Ф1 (x) ф2 (x),

2 (x) ├

1 (x)

(ПО);

Ф

Ф

Правило контрапозиции Ф1 (x) ф2 (x)├

2 (x)

1 (x)

(ПК);

Ф

Ф

Правило расширенной контрапозиции

					30
Ф1 (x) ф2 (x) ф3	(x) ├ Ф1 (x)			3	(x)			2 (x)	(ПРК);
			Ф				Ф
Правило силлогизма	(x)) ф3 (x)├ Ф1 (x) ф3 (x)
Ф1 (x) ф2 (x)), Ф2									(ПС);
Введение дизъюнкции	ф2 (x), ф1 (x) ├ Ф1 ф2								(ВД);
Удаление дизъюнкции	Ф1 (x) ф2 (x),				Ф	1 (x)├ ф2 (x)			(УД):
Введение конъюнкции	Ф1 (x), ф2 (x) ├				Ф1 (x) ф2 (x)				(ВК);
Удаление конъюнкции	Ф1 (x) ф2 (x) ├				ф2 (x)				(УК).
Введение единичного	( x ) Ф (x) ├ Ф (a)								(ВЕ);
Введение логической функции		( x ) Ф (x) ├ Ф (y)							(ВЛ);
Введение квантора общности		( x) (Ф1 (x) ф2 (x))
Ф1 (y) ф2 (y) ├									(ВКО);
Ограниченный вывод логической функции
( x ) Ф (x) ├ ( x ) Ф (x)									(ОВЛ);
Введение квантора существования Ф (x) ├					( x ) Ф (x)				(ВКС ).

Решение. Введем предикаты: R(x) - x вещественное число, Im(x) -x мнимое число, K(x) - x комплексное число. а) Рассуждение принимает вид:

( x) (R(x) Im(x) ) , ( x) ( K(x)

R(x) )├

( x) ( K(x) Im(x) )

Построим вывод.

1.

( x) (R(x)

)

посылка

Im(x)

2.

R(x)

ВЛ

(1)

Im(x)

3.

УК

(2)

Im(x)

4.

( x) (K(x)

R(x)

посылка

5.

( x) (K(x)

R(x))

ОВЛ

(4)

6.

K(x) R(x)

ВЛ,

(5)

7.

K(x)

УК

(6)

8.

K(x)

ВК

(4, 7)

Im(x)

9

( x) (K(x)

)

ВКС

(8)

Im(x)

Диаграммы Эйлера – Венна (см. рис. 31 - 33. отмечены области истинности).

R In

Рис. 31. Первая посылка
R
K	K
R	Im

Рис.32. Вторая посылка Рис. 33. Заключение

№ 3.4. 27 Пусть R – множество вещественных чисел, Q - множество рациональных чисел, Z - множество целых чисел.

На рис/ 34 закрашены области истинности посылок. Эти области не пересекаются. Значит, заключение ложно.