2.2. Математическая модель наращения

по сложному проценту

Задача. Определить сумму, образующуюся на депозитном счете в

банке по прошествии n временных интервалов (на конец n-го интервала)

начисления по сложному проценту, при перечисленных условиях

1. Однократное вложение средств и фиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0,

процентная ставка в каждом интервале неизменная.

Математическая модель наращения по сложному проценту при

однократном вложении средств и фиксированной процентной ставке

общеизвестна и представляет собой выражение вида

F  P0 1 rn ,

где F  будущая стоимость исходной суммы P0 по прошествии n

временных интервалов начисления при процентной ставке, равной r в

каждом интервале.

Отсюда могут быть определены процентная ставка и срок при

условии, что остальные переменные рассматриваемого выражения

известны. Срок определяется выражением   r

P

F

n



 



 





ln 1

ln

0 ,а процентная

ставка выражением – 1

0

 n 

P

r F .

2. Однократное вложение средств и нефиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0,

процентная ставка в каждом интервале изменяется.

Пусть имеет место ситуация, при которой процентная ставка

изменяется в каждом интервале по схеме, представленной в табл. 1.

Тогда формула, определяющая будущую стоимость, задается

выражением:

      F  P0  1 ri  1 r2  1 rn .

3. Многократное вложение средств и фиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0, в конце

каждого i–го интервала сумма  Ai, процентная ставка в каждом

интервале неизменная.

Пусть диаграмма потока вкладов представлена схемой, задаваемой

табл. 4.

Тогда имеют место соотношения:

 

 

.

,

1 ,

1 ,

1

1 1

0 0

n n

n

n

F A

F A r

F P r



 

 





Следовательно,

      n

n n n

n

i

F  Fi  P  r  A  r  A  r   A  

 

2 

2

1

0 1

0

1 1 1 .

При условии A1 = A2 = … = An = A получаем будущую стоимость F в

виде формулы

      

1  1  1

1 1 1

0

1 2

0

0

    

           

 

n n

n n n

n

i

i

r

r

P r A

F F P r A r r  A

Отсюда можно определить срок, если известны остальные

переменные с помощью выражения:

    

 r

n F r A P r A



   



ln 1

ln 0 .

Процентная ставка определяется выражением:

1

0



 

 

 n

P r A

r F r A .

4. Многократное вложение средств и нефиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0, в конце

каждого i–го интервале сумма  Ai, процентная ставка в каждом периоде

изменяется.

Пусть исходные данные этой задачи представлены табл. 5. Тогда

имеют место соотношения:

 

 

.

,

1 ,

1 ,

1

1 1 2

0 0 1

n n

n

n

F A

F A r

F P r



 

 





Следовательно,

      n

n n n

n

i

F  Fi  P  r  A  r  A  r   A  

 

2 

2 3

1

0 1 1 2

0

1 1 1 .

При условии A1 = A2 = … = An = A будущая стоимость F задается

формулой:

     

1  1  1  1

1 1 1

2

3

1

0 1 2

2

3

1

0 1 2

0

       

         

 

 

 





n n n

n n n

n

i

i

P r A r r

F F P r A r A r A

Непосредственное применение такой формулы в Excel затрудненно,

поэтому рекомендуется использовать рекуррентное определение

функции F:

  

 

  



 F F r A

F P

k

A A

A

k k 1 1

0 0 ,

где A

Fk  аккумулированная сумма на конец k-го интервала.