2.3. Математические модели амортизации имущества

Рассмотрим следующие методы амортизации имущества (актива):

1) равномерный;

2) суммы числа лет;

3) уменьшающегося остатка.

В каждом из рассматриваемых методом принимается упрощающее

допущение о том, что вне зависимости от даты введения актива в

эксплуатацию, в первом и последующих годах применяется годовая

норма амортизационных отчислений.

Равномерный метод амортизации

Этот метод характеризуется равновеликими годовыми суммами

амортизационных отчислений.

Пусть заданы следующие параметры: первоначальная стоимость,

остаточная стоимость и срок амортизации. Годовая сумма

амортизационных отчислений рассчитывается по формуле:

N

A P G   ,

где P  первоначальная стоимость имущества, G  остаточная стоимость

имущества, N  срок амортизации имущества.

Метод суммы числа лет амортизации

Этот метод характеризуется неравномерным потоком годовых

амортизационных отчислений.

Для расчета годовой суммы амортизации требуются значения

следующих параметров: первоначальная стоимость, остаточная

стоимость, срок амортизации и год, для которого рассчитывается сумма

амортизационных отчислений. Сумма амортизационных отчислений для

i-го года рассчитывается по формуле:

  

 1

1 2



   



N N

A P G N i i

Метод уменьшающегося остатка

Этот метод характеризуется неравномерным потоком годовых

амортизационных отчислений. Однако расчет годовой амортизации

ведется на основе постоянного коэффициента (фиксированной

процентной ставки), применяемого к остатку стоимости актива.

Для расчета годовой суммы амортизации требуются значения

следующих параметров: первоначальная стоимость, остаточная

стоимость, срок амортизации и год, для которого рассчитывается сумма

амортизационных отчислений.

Фиксированная процентная ставка рассчитывается по формуле:

n

P

r  1 G . Сумма амортизационных отчислений для i-го года

рассчитывается по формуле:

A P A r

i

k

k i  







 





  





1

1

.

Особым случаем является амортизация за первый и последний

периоды. При этом для первого периода используется формула:

1 12

A P r m    .

Для последнего периода используется формула:

 

12

12

1

1

P A r m

A

i

k

k

n

   







 











 ,

где m  количество месяцев в первом году.

Метод d-кратного уменьшающегося остатка

Метод d-кратного учета амортизации предполагает ускоренную

амортизацию имущества. При этом амортизация максимальна в первый

период и снижается в последующие периоды. Сумма амортизационных

отчислений для i-го года рассчитывается по формуле:

N

P A d

A

i

k

k

i

 







 













1

1 ,

где d  есть кратность снижения начальной стоимости (обычно

используется число 2  двукратное снижение).

2.4. Основные способы решения задач

2.4.1. Подготовкой и копированием формул с различными

типами ссылок

В рассматриваемых ниже задачах финансового менеджмента

приняты следующие упрощающие соглашения: в качестве временного

интервала принят месяц, соответственно, предполагается заданной

месячная процентная ставка. Следует, однако, заметить, что в практике

коммерческих банков различных стран при начислении как по схеме

простых, так и сложных процентов применяется годовая процентная

ставка, на основе которой исчисляются процентные ставки за временные

интервалы менее года (полугодие, квартал, месяц, день). Намеренно

опуская различные тонкости, связанные с определением процентных

ставок на основе годовой процентной ставки, автор стремился по

возможности больше внимание уделить собственно методам решения

задач в среде Excel.

Задача 1

Определить сумму, образующуюся на депозитном счете в банке по

прошествии N месяцев при следующих условиях: 1) в начале первого

месяца на счет была положена сумма P0; 2) месячная ставка процента

фиксированная и составляет p%; 3) начисление идет по схеме простых

процентов.

Требуется:

1. Разработать компьютерную модель решения задачи.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

В рамках Excel подготовим модель решения.

В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст

Процентная ставка, в ячейку А3  текст Срок, в ячейку А4  текст Будущая

стоимость. В ячейку В4 введем формулу F = P0(1 + n  r) в алфавите языка

формул Excel вида: =B1*(1+B3*B2).

Получим модель решения, представленную на Рис. 1.

Рис. 1. Модель решения задачи

Введем конкретные значения параметров задачи.

В ячейку В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000), в

ячейку В2  значение процентной ставки (значение r = 10%)), в ячейку

В3  значение срока (значение N = 4).

В результате получим решение задачи в следующем виде (табл. 4).

Таблица 7

A B C

1 Исходная сумма 1000

2 Процентная ставка 10%

3 Срок 4

4 Будущая стоимость 1400

Изменяя исходные данные задачи, можно автоматически получать

соответствующие значения будущей стоимости.

Задача 2

Определить ряд сумм, образующихся на депозитном счете в банке в

конце каждого из N месяцев при соблюдении условий задачи 1.

Требуется:

1. Разработать компьютерную модель решения задачи.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

В рамках Excel подготовим модель решения.

В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст

Процентная ставка, в ячейку А3 – текст Срок, в ячейку А4  текст Будущая

стоимость, в ячейку В4 введем формулу F = P0(1 + n  r) в алфавите языка

формул Excel вида: =$B$1*(1+B3*$B$2), используя абсолютные и

относительные ссылки

Установим значение для параметра Срок, положив N = 4. Построим

последовательность 1 2 3 4 в ячейках В1, С1, D1, E1. Скопируем формулу,

расположенную в ячейке В4, в ячейки С4, D4, Е4

Получим следующую модель решения (Рис. 2).

Рис. 2. Модель решения задачи

Введем конкретные значения остальных параметров задачи.

В ячейку В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000),

в ячейку В2  значение процентной ставки (значение r = 10%).

В результате получим решение задачи в следующем виде (табл. 5).

Таблица 8

A B C D E

1 Исходная сумма 1000

2 Процентная ставка 10%

3 Срок 1 2 3 4

4 Будущая стоимость 1100 1200 1300 1400

Задача _________3

Определить ряд сумм, образующихся на депозитном счете в банке в

конце N-го месяца, для каждого значения месячной процентной ставки

из прогнозируемого ряда, задаваемого параметрами: первое значение

p1 = 10% , последнее значение p10 = 100 %, шаг изменения h = 10%, при

соблюдении условий 1 и 3 задачи 1.

Требуется:

1. Разработать компьютерную модель решения задачи.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

В рамках Excel подготовим модель решения.

В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст Срок, в

ячейку А3  текст Процентная ставка, в ячейку В3  текст Будущая

стоимость, в ячейку В4 введем

формулу F = P0(1 + n  r) в алфавите

языка формул Excel вида:

=$B$1*(1+$B$2*A4) и скопируем ее в

интервал ячеек В4:В13.

Построим в интервале ячеек

А4:А13 последовательность

процентных ставок: 10% 20% 30% 40%

50% 60% 70% 80% 90% 100%.

Получим следующую модель

решения (Рис. 3).

Введем конкретные значения

остальных параметров задачи.

Рис. 3. Модель задачи

В ячейку В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000), в

ячейку В2  значение срока (значение N = 4).

В результате получим решение задачи в следующем виде (табл. 6).

Таблица 9

A B C D

1 Исходная сумма 1000

2 Срок 4

3 Процентная ставка Будущая стоимость

4 10% 1400

5 20% 1800

… … …

12 90% 4600

13 100% 5000

Задача 4

Определить ряды сумм, образующихся на депозитном счете в банке в

конце каждого из N месяцев, для всех значений месячной процентной

ставки из прогнозируемого ряда, задаваемого параметрами: первое

значение р1 = 10% , последнее значение р10 = 100%, шаг изменения

h = 10%, при соблюдении условий 1 и 3 задачи 1.

Требуется:

1. Разработать компьютерную модель решения задачи.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

В рамках Excel подготовим модель решения.

В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст Срок и

текст Процентная ставка. Введем последовательность 1 2 3 4 в интервал

ячеек В2:E2. Построим в интервале ячеек А3:А12 последовательность

процентных ставок: 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%. В

ячейку В3 введем формулу F = P0(1 + n  r) в алфавите языка формул

Excel вида: =$B$1*(1+B$2*$A3) и скопируем ее в интервал ячеек В3:E12.

Получим следующую модель решения (Рис. 4).

Рис. 4. Модель решения

Введем конкретные значения остальных параметров задачи. В ячейку

В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000). В результате

получим решение задачи в следующем виде (табл. 7).

Таблица 10

A B C D E

1 Исходная сумма 1000

2 Срок

Процентная ставка 1 2 3 4

3 10% 1100 1200 1300 1400

4 20% 1200 1400 1600 1800

… … … … … …

11 90% 1900 2800 3700 4600

12 100% 2000 3000 4000 5000

Задача 5

Определить сумму, образующуюся на депозитном счете в банке по

прошествии N месяцев при следующих условиях: 1) в начале первого

месяца на счет была положена сумма P0; 2) месячная ставка процента

нефиксированная и составляет в i-ом месяце pi%, 3) начисление идет по

схеме простых процентов.

Требуется:

1. Разработать компьютерную модель решения задачи.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

В рамках Excel подготовим модель решения. В ячейку А1 введем

текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст Срок, в ячейку А3  текст

Процентная ставка, в ячейку А4  текст Будущая стоимость. Установим

значения для параметра Срок, положив N = 4. Построим в интервале

ячеек В2:E2 последовательность: 1 2 3 4. Установим значения для

параметра Процентная ставка, положив p1 = 10%, p2 = 20%, p3 = 30%,

p4 = 40%. Построим в интервале ячеек В3:E3 последовательность

процентных ставок: 10% 20% 30% 40%. В ячейку В4 введем формулу

 





 





  



n

i

F P ri

1

0 1 в алфавите языка формул Excel вида:

=$B$1*(1+СУММ(В3:Е3)). Получим следующую модель решения (Рис. 5).

Рис. 5. Модель решения

Введем конкретные значения остальных параметров задачи. В ячейку

В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000). В результате

получим решение задачи в следующем виде (табл. 8).

Таблица 11

A B C D E

1 Исходная сумма 1000

2 Срок 1 2 3 4

3 Процентная ставка 10% 20% 30% 40%

4 Будущая стоимость 2000

Задача 6

Определить ряд сумм, образующихся на депозитном счете в банке,

на конец каждого из N месяцев при условиях: 1) в начале первого месяца

на счет была положена сумма P0, а в конце каждого из N месяцев 

соответственно суммы A1, ..., AN, 2) месячная процентная ставка

фиксированная и составляет p%, 3) начисление идет по схеме простых

процентов.

Требуется:

1. Разработать компьютерные модели решения задачи для двух

вариантов исходных данных:

a) A1 = A2 = ... = AN = A,

б) A1  A2  ...  AN.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

Вариант а

В рамках Excel подготовим модель решения.

В ячейку А1 введем текст Исходная сумма, в ячейку А2  текст

Процентная ставка, в ячейку А3  текст Дополнительный вклад, в ячейку А4 

текст Срок, в ячейку А5  текст Будущая стоимость. Установим значения

для параметра Срок, положив N = 4. Построим в интервале ячеек В4:Е4

последовательность: 1 2 3 4. В ячейку В5 введем формулу

   

2

1 1 0

0

F F P n r A n A r n n

n

i

i

   

       



в алфавите языка формул Excel вида:

=$B$1*(1+В4*$B$2)+$B$3*B4+$B$3*$B$2*B4*(B4-1)/2 и скопируем ее в

интервал: С5:Е5. Получим следующую модель решения (Рис. 6).

Рис. 6. Модель решения задачи

Введем конкретные значения остальных параметров задачи. В ячейку

В1 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000), в ячейку В2 

значение процентной ставки (значение r = 10%). В результате получим

решение задачи в следующем виде (табл. 11).

Таблица 12

A B C D Е

1 Исходная сумма 1000

2 Процентная ставка 10%

3 Доп. вклад 100

4 Срок 1 2 3 4

5 Будущая стоимость 1200 1410 1630 1860

Вариант б

В рамках Excel подготовим модель решения, построим

вычислительную схему специфического вида. Установим значение для

параметра Срок, положив N = 4, значение для первого вклада (значение

P0 = 1000) и значения дополнительных вкладов в виде

последовательности: 30 40 50 60. Представим установленные значения

(поток денежных средств) табл. 10.

Таблица 13

A B C D Е F

1 Поток денежных средств

2 Срок 0 1 2 3 4

3 Размер вклада 1000 30 40 50 60

Построим вычислительную схему решения. В ячейку В4 введем текст

Вычислительная схема решения, в ячейку А5  текст Процентная ставка, в

ячейку А6  текст Срок. Построим в интервале ячеек С6:G6

последовательность: 1 2 3 4, для чего скопируем в него интервал ячеек

В2:F2. Построим в интервал ячеек А7:А11 последовательность: 1 2 3 4, для

чего скопируем в него интервал ячеек В2:F2. В ячейку А12 введем текст

Будущая стоимость. Построим в интервале ячеек В7:В11

последовательность: 1000 30 40 50 60, для чего скопируем в него интервал

ячеек В3:F3.

В ячейку С7 введем формулу вида F = P0(1 + n  r) в алфавите языка

формул Excel вида: =$B7*(1+(С$6-$А7)*$B$5) и скопируем ее

последовательно в ячейки D8, E9, F10 и G11.

Скопируем формулы, полученные в ячейках С7, D8, E9, F10,

соответственно в интервалы ячеек: C7:G7; E8:G8; F9:G9; G10:G10.

Построим в ячейке C12 формулу суммирования содержимого

интервала ячеек С7:С11, затем скопируем ее в интервал D12:G12.

Получим следующую модель решения (Рис. 7).

Рис. 7. Модель решения

Введем конкретные значения остальных параметров задачи. В ячейку

В5 введем значение процентной ставки (значение r = 10%). В результате

получим решение задачи в следующем виде.

Таблица 14

A B C D Е F G

4 Вычислительная схема решения

5 Процентная ставка 10%

6 Срок 0 1 2 3 4

7 0 1000 1000 1100 1200 1300 1400

8 1 30 30 33 36 39

9 2 40 40 44 48

10 3 50 50 55

11 4 60 60

12 Будущая стоимость 1000 1130 1273 1430 1602

Задача 7

Определить ряд сумм, образующихся на депозитном счете в банке,

на конец каждого из N месяцев при условиях: 1) в начале первого месяца

на счет была положена сумма P0, а в конце каждого из N месяцев 

соответственно суммы A1, ..., AN, 2) месячная процентная ставка

нефиксированная и составляет pi% в i-ом месяце.

Требуется:

1. Разработать компьютерные модели решения задачи для двух

вариантов исходных данных:

а) A1  A2  ...  AN, начисление идет по схеме простых процентов,

б) A1 = A2 = ... = AN = A, начисление идет по схеме сложных

процентов.

2. Установить конкретные значения параметрам и решить задачу.

Решение

Вариант а

В рамках Excel подготовим модель решения.

Установим значение для параметра Срок, положив N = 4, значение

для первого вклада (значение P0 = 1000), значения дополнительных

вкладов в виде последовательности: 30 40 50 60 и значения процентных

ставок в виде последовательности: 10% 20% 30% 40%. Представим

установленные значения следующей таблицей.

Таблица 15

A B C D Е F

1 Срок 0 1 2 3 4

2 Размеры вкладов 1000 30 40 50 60

3 Процентная ставка 0% 10% 20% 30% 40%

Построим вычислительную схему решения. В ячейку В4 введем текст

Вычислительная схема решения, в ячейку А5  текст Срок, в ячейку А6 

текст Процентная ставка, в ячейку В6  текст Вклады. Построим

последовательность 1 2 3 4 в интервале ячеек С5:G5, для чего скопируем в

него интервал ячеек В1:F1. Построим последовательность вкладов 1000 30

40 50 60 в интервале ячеек В7:В11, для чего скопируем в него интервал

ячеек В2:F2. Построим последовательность процентных ставок 0% 10%

20% 30% 40% в интервалах ячеек С6:G6 и А7:А11 путем копирования

интервала ячеек В3:F3. В ячейку С7 введем формулу в алфавите языка

формул Excel вида: =$B7*(1+СУММ($С$6:С$6)-СУММ($А$7:$А7)) и скопируем

ее в ячейки D8, E9, F10, G11. Затем каждую из полученных формул

скопируем соответственно в интервалы: E8:G8, F9:G9, G10:G10. В ячейку

С12 введем формулу суммирования по интервалу С7:С11 вида:

=СУММ(С7:С11) и скопируем ее в интервал D12:G12.

Получим следующую модель решения (Рис. 8).

Рис. 8. Модель решения

Введем конкретные значения остальных параметров задачи. Все

значения параметров введены, поэтому сразу получим решение задачи.

Таблица 16

A B C D Е F G

4 Вычислительная схема решения

5 Срок 0 1 2 3 4

6 Процентная ставка 0% 10% 20% 30% 40%

7 0% 1000 1000 1100 1300 1600 2000

8 10% 30 30 36 45 57

9 20% 40 40 52 68

10 30% 50 50 70

11 40% 60 60

12 Будущая стоимость 1000 1130 1376 1747 2255

Вариант б

В рамках Excel подготовим модель решения.

Установим значение для параметра Срок, положив N = 5. Построим

последовательность 0 2 3 4 5 в интервале ячеек В2:G2 и значения

процентных ставок в интервале В3:G3 в виде последовательности: 10%

20% 30% 40% 50%. Представим установленные значения следующей

таблицей.

Таблица 17

A B C D Е F G

1 Последовательность процентных ставок

2 Срок 0 1 2 3 4 5

3 Процент 10% 20% 30% 40% 50% 60%

Построим вычислительную схему. В ячейку В4 введем текст

Вычислительная схема решения, в ячейку А5  текст Исходная сумма, в

ячейку А6  текст Размер доп. вклада, в ячейку А7  текст Срок, в ячейку

А8 текст Процентная ставка, в ячейку А9  текст Будущая стоимость. В

ячейку В9 введем формулу в алфавите языка формул Excel =В5. В ячейку

С9 введем формулу

    





      



F F  P k A r A

F P

k k 1 0 1

0 0 ,

задающую рекуррентное определение функции, в алфавите языка

формул Excel вида: =B9+($B$5+$В$6*(С7-1))*С8+$В$6 и скопируем ее в

интервал D9:G9. Получим следующую модель решения (Рис. 9).

Рис. 9. Модель решения задачи

Введем конкретные значения остальных параметров задачи.

В ячейку В5 введем значение исходной суммы (значение P0 = 1000),

ячейку В6  значение дополнительного вклада (значение A = 40).

В результате получим решение задачи в следующем виде.

Таблица 18

A B C D Е F G

4 Вычислительная схема решения

5 Исходная сумма 1000

6 Размер доп. вклада 40

7 Срок 0 1 2 3 4 5

8 Процентная ставка 0% 10% 20% 30% 40% 50%

9 Будущая стоимость 1000 1140 1388 1752 2240 2860