книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ

71

соответствует качественно различимое поведение траекторий систем

вфазовом пространстве. Исходя из этой точки зрения, привлека­ тельность которой состоит в том, что она отражает универсальное, можно сказать даже — мировоззренческое значение нелинейной динамики и теории нелинейных колебаний, все изучаемые сейчас нелинейные явления можно пересчитать по пальцам. С данной точки зрения, однако, например, обнаружение комбинационного рассея­ ния света вовсе не есть открытие нового явления.Несколько утрируя, можно сказать даже, что «чистый» математик не без оснований (и не

вкачестве шутки) может отнести большое число эффектов и явле­ ний, признаваемых физиками и механиками обособленными, к про­ стым следствиям всего лишь из того факта, что среднее за период значение sin2 <ot отлично от нуля и поэтому можно говорить лишь о фундаментальном «синус*квадрат-эффекте». Под категорию след­ ствий из этого «основополагающего» эффекта попадут, например, суб- и ультрагармонические колебания, параметрический резонанс, уже упоминавшееся комбинационное рассеяние света, асинхронное возбуждение и подавление автоколебаний, синхронизация, захва­ тывание и вообще большая часть эффектов, «улавливаемых» посред­

ством использования методов усреднения и малого пара­ метра.

Другая крайняя точка зрения, также не лишенная весомых ос­ нований, характерна для прикладных математиков и специалистов, имеющих дело не с математическими, а с физическими объектами, и понимающих, что моделирование процессов посредством дифферен­ циальных уравнений не однозначно и даже не обязательно. Эти спе­ циалисты полагают, что едва ли не каждый принципиально и прак­ тически интересный факт в поведении нелинейных систем заслужи­ вает названия эффекта или явления. Тогда получается, что таких фактов довольно много.

Представляется, что обе приведенные точки зрения имеют право на существование — каждая в своей области. Совершенно неправо­ мерно объявлять одну из них единственно правильной и вершить суд с этих позиций, как это иногда делается.

Столь же радикально противоположные точки зрения сущест­ вуют по вопросу о том, где возникают важнейшие открытия, ре­ волюционизирующие науку и технику. Наиболее распространена точка зрения, что они возникают «в мире вещей»—в природе и тех­ нике. И эта точка зрения, казалось бы, подтверждается историей развития нашей цивилизации.

Вместе с тем некоторые выдающиеся ученые (преимущественно чисто математического направления) высказывали мысль, что такие революционизирующие открытия зарождаются «в области духа» — в чистой математике,— как некоторые скачки в ее логическом раз­ витии. И относительно недавняя история открытия возможности возникновения стохастичности в динамических системах невысоко­ го порядка согласуется с данной концепцией (см. п. 5.8)! Есть

72 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

над чем призадуматься приверженцам абсолютизации эксперимента как единственного инициатора нового.

Таким образом, и в этом случае оба крайних взгляда не исключают друг друга — революционизирующие открытия могут возникать как в конкретных, так и в абстрактных областях челове­ ческой деятельности.

14. Примеры. Мы говорили о причинах, порой препятствующи непосредственному применению в прикладной математике «чистых» утверждений о существовании. Вместе с тем во многих случаях «чи­ стое» рассуждение удается перестроить так, что оно становится при­ емлемым и для прикладной математики: скажем, бесконечную кон­ струкцию заменить на конечную, неэффективное доказательство существования — на эффективное, конструктивное. (Доказательст­ во существования некоторого объекта естественно называть конст­ руктивным в прикладном отношении, если из него вытекает точная или приближенная конструкция этого объекта, применимая для некоторого разумного класса реальных примеров.) Хотя получаю­ щиеся при этом решения могут оказаться далекими от оптималь­ ных — об этом чистая математика часто не заботится — но все-таки это лучше, чем ничего. Первые три из приводимых ниже пяти приме­

ров	поясняют	сказанное.
В	качестве	п е р в о г о п р и м е р а рассмотрим теорему о

промежуточном значении непрерывной функции: пусть на отрезке а< х< Ь задана непрерывная функция f(x), причем значения f(a) и f(b) разного знака; тогда на этом отрезке уравнение /(х)= 0 имеет по крайней мере одно решение.

Стандартное доказательство этой теоремы существования таково. Обозначим а0= а, b„=b и допустим для определенности, что /(а)<О,

Vр		Положим затем
		а1— ао>			~ --- 2— *		если	(4)
		„	До+^о				если
								/ ( flet fte) < °
		аг	2	' *
(если	f (		) = о ,		то	значение	х =	— искомое). Тогда
на отрезке			[а1( bt],		который составляет половину отрезка [а0, 601,
вновь		выполнены		условия		теоремы, и поэтому можно построить

отрезок [а2, Ь2], увеличив все индексы в формулах (4) на 1. Про­ должая таким образом, мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков (а0,

о ( а а, ba)гэ. . .	Легко проверить,	что для	точки х= с, общей для
этих отрезков,	получаем f(c)—0,	что и	требуется.

Это доказательство с «чистой» точки зрения является неконструк­ тивным, так как использует бесконечный процесс, элементы которо­ го заранее не заданы, а выясняются в ходе самого процесса. Однако с прикладной точки зрения эта неконструктивность кажущаяся, так

§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ

73

как бессмысленно говорить о построении решения с неограниченной точностью. Если же строить решение с заданной точностью е>0, то результат, причем с двусторонней оценкой, получается через log2l(b—а)/г] шагов; например, при b—а = 1 решение с точностью до 10~10 получается через 33 шага.

Таким образом, приведенное доказательство с прикладным видо­ изменением (решение строится с заданной точностью) можно непо­ средственно применить для построения решения; этот метод иногда называется методом проб. В доказательстве не рассматривался вопрос о скорости сходимости процесса, этот вопрос в формулировке теоремы отсутствует. Поэтому и полученная конструкция, практи­ чески реализуемая и универсальная, по объему вычислительных уси­ лий далека от оптимальных — метода Ньютона и других.

В т о р ы м п р и м е р о м , гораздо более пессимистичным в прикладном отношении, служит теорема о достижении непрерыв­ ной функцией наибольшего значения: пусть на отрезке а с х с б задана непрерывная функция f(x); тогда на нем найдется по край­ ней мере одно значение х=с, для которого f(x)^f(c) при всех х £

€Ь].

Доказательство этой теоремы опирается на лемму о существо­ вании у всякого числового множества М , ограниченного сверху, точ­ ной верхней грани sup Af, т. е. наименьшего из чисел, которых не превосходит ни одно х £ М *). Без ущерба для общности можно счи­ тать функцию f(x) ограниченной **). Обозначим а0=а, Ь0=Ь и положим

		= я0,	и	ао +	> если	sup	/(*) =	sup	/(*),
			°1	о
	л	а0+&о				[а„ <а,+6,)/2]		la ., b.)
			Ьг — Ь09		если	sup	f (x) <	sup	/(*)•
	иг	— 9 ,
						[о,, (а,+<>,)/2]		la ,, b,]

Повторяя эту процедуру, получим бесконечную последователь­ ность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков, на которых верхняя грань значений функции f(x) одинакова. Общая точка с

*) Лемму, в свою очередь, можно доказать так: пусть на отрезке [р0»<7о] имеются точки множества М , причем все точки М расположены на (—оо, ].

обозначим 1ръ ft] = Р°^У° , q0J , если на последнем отрезке имеются точки

М, и [рь q1] = £р0, —-° у - ° j — в противном случае. При продолжении этого

процесса получится бесконечная последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков, которая и определяет sup Af. Это доказательство сугубо неконструктивно, оно по существу сводится к бесконечной последова­ тельности применений принципа исключенного третьего.

**) Если ограниченность непрерывной функции еще не доказана, то можно просто рассмотреть f1(x)=arctg f(x). Функция fx(х) — ограниченная н^шеет те же точки максимума, что f(x). Значит, если доказать теорему для /i, то она автоматически распространяется на /.

74 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

этих отрезков, как легко проверить, и будет искомой; попутно до­ казана и ограниченность сверху функции f(x).

Это, конечно, неэффективное доказательство существования. Каждый его шаг определяется сравнением верхних граней значений функции f на очередных отрезках; но построение верхней грани было неконструктивным, это было, собственно, не построение, а доказательство существования. Кроме того, даже в случаях, когда верхняя грань значений функции может определяться с удовлетвори­ тельной точностью, условие вида (5) — равенство значений, о п р е ­ д е л я е м ы х п р и б л и ж е н н о , не должно руководить ходом вычислений.

Ясно, что в рамках чистой математики нет универсального ал­ горитма, который бы за конечное, пусть даже заранее не ограничен­ ное, число шагов определял бы точку с или значение / (с) с заданной точностью. В самом деле, теоретически, при любом конечном числе заданных значений непрерывной функции, в промежутках между ними возможны как угодно большие отклонения от этих значений. Однако для прикладных задач это неестественно, наличие таких резких выпадений свидетельствовало бы о том, что задача постав­ лена или исследуется неправильно. При правильной постановке прикладной задачи функция должна достаточно хорошо аппрокси­ мироваться сетью ее значений на разумно густом конечном множест­ ве значений аргумента; при этом аппроксимируется и верхняя грань функции.

Но если идти по пути вычисления значений функции на достаточ­ но густой сетке значений аргумента, то нет смысла заниматься по­ следовательным делением отрезка 1а, Ь] пополам; достаточно, на­ пример, при постоянном шаге сетки h=(b—а)1п сравнивать /»= =/(а) с f(a+h); /i= m aх{/0, f(a+h)} с f(a+2h) и т. д. до /(а+ яЛ )= ~f{b). Некоторым аналогом процесса деления, уменьшающим объем вычислений, может служить такой прием: сначала значения срав­ ниваются на более грубой сетке (но все же достаточно мелкой, чтобы не проглядеть «гору»), после чего сетка измельчается только вблизи нескольких узлов, для которых значения функции оказались отно­ сительно большими. Впрочем, и такой метод в большинстве реаль­ ных задач далек от оптимального.

Приведенное доказательство теоремы о максимуме в принципе не меняется при переходе к функциям любого конечного числа т аргументов, заданным на произвольном замкнутом ограниченном множестве; при этом на каждом шаге множество делится на 2м ча­ стей с помощью (т—^-мерных гиперплоскостей, параллельных ко­ ординатным. Однако указанная попытка конструктивной реализа­ ции этой теории существенно зависит от т, так как при измельче­ нии интервала изменения каждого аргумента в п раз теперь при­ ходится вычислять и сравнивать значения функции, количество которых может достигать (п+1)“ . Это даже при небольших т > 1 существенно ограничивает возможные значения п и тем самым по­

$ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ

75

вышает вероятность того, что «гора» будет пропущена. А при боль­ ших т, скажем при т=8-г-10, метод совершенно отказывает, да и при небольших т сильно сказывается неоптимальность метода. Поэтому в реальных задачах на максимум функции нескольких ар­ гументов применяются принципиально иные методы (см. по этому поводу, например, 1257]). Впрочем, и они иногда отказывают при больших т.

Возможно, что здесь отчасти виновато неправомерное перенесе­ ние постановки задачи «Дана функция, найти ее максимум» из чистой математики в прикладную. При доказательстве теоремы сущест­ вования задачу можно ставить в максимальной общности, тогда как для прикладного конструирования нужно выяснить, для каких именно классов функций ставится такая задача, и, может быть, строить свой метод для каждого из этих классов *). В какой-то мере этот прикладной подход реализуют теории линейного программиро­ вания, выпуклого программирования 30 и т. д.

В качестве т р е т ь е г о , «вопиюще пессимистического» приме­ ра, заимствованного из книги (851, рассмотрим игру в «гекс». В нее играют два человека с помощью белой ромбической доски, состав­ ленной из правильных шестиугольников (рис. 2), и большого числа фишек, имеющих вид шестиугольников того же размера, причем некоторые из фишек черные, а другие — полосатые. Играющие по очереди накрывают фишками произвольные свободные поля до­ ски, по одному полю за ход, причем один из игроков пользуется только черными фишками, а другой — только полосатыми. Выиграв­ шим считается тот, кто первым проложит связную цепочку из фи­ шек между сторонами доски, одноименными его фишкам (на рис. 2 выиграли черные). Таким образом, вся игра продолжается не более k3 полуходов, где k — число шестиугольников в одной стороне доски (обычно принимается А=11, как на рис. 2), и не так уж сложно доказать, что закончиться она может только выигрышем одного из игроков — ничья невозможна.

Дж. Нэш, один из изобретателей этой игры, доказал, что сущест­ вует по крайней мере одна стратегия, придерживаясь которой, иг­ рок, начинающий первым, обязательно выигрывает; такая стратегия включает однозначное указание первого хода и однозначное правило ответа на любой последующий ход противника при любом уже воз­ никшем положении. Здесь мы приведем схему этого доказательства, замечательного как по своему остроумию, так и по полной невоз­ можности извлечь из него какие-либо указания о том, как все-таки надо играть на выигрыш. Теорема Нэша — это ч и с т а я теорема существования!

Доказательство осуществляется от противного. Отсутствие вы­ игрышной стратегии у первого игрока означает, что как бы он ни

*) Роль ограниченно применимых алгоритмов, использующих конкрет­ ные особенности возникающих в приложениях классов задач для сложных систем, подчеркнута в книге Лэсдона 1467].

Рис. 2

76 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ставил фишки, второй игрок может уйти от поражения. Но так как игра обязательно заканчивается чьим-то выигрышем, то это озна­ чает, что второй игрок обладает по крайней мере одной выигрышной стратегией. Выберем одну из таких стратегий и допустим, что пер­ вый игрок поступает следующим образом: первую фишку он ставит произвольно, а затем отвечает по выбранной стратегии, считая с е б я вторым игроком и не обращая внимания на первую фишку; так продолжается либо до тех пор, пока он не выиграет, либо пока по стратегии ему не потребуется поставить фишку на место, занятое

при первом ходе; тогда он делает второй произвольный ход и далее отвечает по стратегии, не обращая внимания на этот ход, пока он не выиграет, либо пока ему не при­ дется пойти на место, занятое при этом ходе; тогда он делает третий произвольный ход и т. д. Если первый игрок будет пользоваться этими правилами, то (как бы ни играл второй!) после каждого его

хода на доске будет такая картина, как будто он играет вторым по выбранной стратегии да еще имеет где-то на доске лишнюю фишку. Поэтому, по предположению о стратегии, второй (в стратегии он на­ зывается первым) не может на своем ходе закончить игру. Итак, описанная стратегия для первого игрока является выигрышной, что противоречит предположению об отсутствии таковых. Теоре­ ма доказана.

В конструктивном отношении это доказательство вряд ли дает что-либо сверх уверенности, что при полном переборе (если бы он был осуществим!) всех стратегий первого игрока,— а их имеется формально лишь конечное число,— обязательно обнаружится вы­ игрышная. Однако попробуем оценить снизу число всех этих страте­ гий (не путать с числом вариантов течения партии!) при k —11. Стратегия должна содержать прежде всего указание первого хода, а их может быть столько, сколько полей на доске, т. е. 121. Далее в стратегию должно войти указание об ответе на любой из 120 пер­ вых ходов партнера; так как таких ответов может быть 119, то по­ лучается 1191а# комбинаций. Продолжая таким образом, мы видим, что имеется

Q—121 -1191ао • 117118-... • 101102

возможных указаний первому игроку о его поведении на протяже­ нии первых 11 ходов. Далее подсчет числа стратегий усложняется, так как за 11 ходов партия может быть закончена; во всяком случае ясно, что общее число стратегий существенно больше, чем Q. Однако

Q>1001+1?0+118+- . + 102- : IQ*224,

§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ

77

т. е. получается практическая бесконечность (см. п. 2.4). Поэтому нет ничего удивительного в том, что доказательство существования выигрышной стратегии, основанное на приведении противополож­ ного утверждения к противоречию, не дало никакого конструктив­ ного результата. Конечно, в принципе можно было бы надеяться, что доказательство даст какой-то намек на рациональную страте­ гию, но и эта надежда не оправдывается.

Следующие два примера — четвертый и пятый — относятся к вопросу о трактовке некоторых «чистых» общих результатов в при­ менении к прикладной математике.

В качестве ч е т в е р т о г о п р и м е р а рассмотрим соотно­ шение между теоремой Пуанкаре о возвращении и вторым законом термодинамики (см., например, [143; 318, гл. 1]). Пусть в замкнутом сосуде находится порция газа, состоящая из весьма большого числа N одинаковых молекул. Если внешние воздействия отсутствуют, то независимо от начального состояния газа через некоторое время в нем установится статистическое равновесие, при котором во всех физически бесконечно малых объемах (п. 2.3) средние квадраты ско­ ростей молекул, определяющие температуру газа, одинаковы.

Впроцессе дальнейшей эволюции не может получиться так, чтобы

водной части сосуда собрались молекулы с высокой скоростью, а в другой — с низкой скоростью: это противоречило бы второму за­ кону термодинамики о невозможности убывания энтропии, а также

издравому смыслу, так как в противном случае можно было бы вскипятить чайник на холодной плите.

Но к описанной ситуации возможен иной подход. Эволюцию состояния всей рассматриваемой системы можно изобразить движе­

нием о д н о й точки в бМ-мерном фазовом пространстве координат и импульсов. Для консервативных систем, какой является и наша, известна теорема Пуанкаре, согласно которой для почти каждого начального положения изображающей точки она при /-^+оо будет вновь и вновь пересекать как угодно малую окрестность этого поло­ жения. Таким образом, если в начальный момент молекулы с вы-> сокой и с низкой скоростями были разделены (так могло быть, если в начальный момент из сосуда убрали перегородку, разделяю­ щую две порции газа, обладающие разной температурой), то и в дальнейшем, уже после выравнивания температуры, будут моменты, когда порции газа с разной температурой вновь разделятся. Но это явное противоречие!

Для того чтобы разъяснить это кажущееся противоречие, нужно уточнить, какими получаются моменты повторного разделения порций газа. В [130, § XII 1.4] рассмотрена по аналогичному поводу следующая модельная задача. Пусть имеется колода из 1012 карт, половина которых красные, а другая половина — черные. Какова вероятность того, что после добросовестного их тасования средняя плотность красных карт в первых 1010 картах больше, чем на 1 %, превысит среднюю плотность их во всей колоде, равную 0,5? Под­

78	ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
счет	показывает, что искомая вероятность приближенно равна

Ю -2Ф0 ооо Хаким образом, можно быть уверенным, что если колода тасуется и проверяется миллиарды раз в секунду в течение всего времени существования Вселенной, то описанное повышение сред­ ней плотности красных карт в первой части колоды ни разу не про­ изойдет. Что касается исходной задачи с газом, то при любых мак­ роскопически заметных порциях газа вероятность описанного выше разделения молекул оказывается еще меньше. Поэтому время ожидания этого разделения будет практической бесконечностью (п. 2.4), т. е. на самом деле разделения не произойдет н и к о г д а * ) .

Таким образом, теорема Пуанкаре в статистической механике неприменима, она приводит к практически неверным качественным выводам. По этой и аналогичным причинам при описании таких ста­

тистических объектов, как	газ, с помощью изображающей точки
в фазовом пространстве требуется особая бдительность.
Последний, п я т ы й	п р и м е р иллюстрирует положение

п. 2.8 о том, что каждое значение непрерывной переменной служит представителем некоторого исчезающе малого интервала ее значе­ ний. Именно, обсудим возможность применения теоремы о непре­ рывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных при изучении движений, близких к неустойчи­ вому состоянию равновесия в начальный момент времени. Для определенности рассмотрим положение математического маятника над точкой подвеса при отсутствии силы трения.

Как известно, дифференциальное уравнение движения такого

маятника имеет вид
*q>+ gsin<p = 0,	(6)

где I — длина маятника, ф — угол его отклонения от крайнего ниж­ него положения, g — ускорение свободного падения. При началь­

ной условии ф (0)=я, ф(0)=0 уравнение (6) имеет решение ф(^)==я, отвечающее верхнему положению равновесия маятника.

Так как никакое начальное условие не может реализоваться со­ вершенно точно, то фактическим начальным условием служит

Ф(0) = я + ах, ф (0) = а2,

где |а х| и |а 2| малы. Из теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных вытекает, что для любого фиксированного промежутка времени 0 < / с Т при

достаточно	малых {cet | и |а 2| значения |ф (t)—я| будут как угодно
малыми, т.	е. падение при этих t не происходит. Но насколько ма­
лыми для	этого должны быть |at| и |а 2|?

*) Кстати, сам Пуанкаре так не считал. Указав, что для видимого откло­

нения от закона Мариотта потребуется время ожидания порядка 101#12 лет, он сказал [268, с. 271}: «Э?о неважно: для нас достаточно,, что оно будет ко­ нечным». Думается, что здесь великий математик и мыслитель оказался в пле­ ну абсолютизации понятия конечного.

S2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ

79

Приведем примерный расчет. Положим для простоты а а=0, выберем в качестве характерного времени 4 время свободного падения тела без начальной скорости из верхнего положения в нижнее, т. е.

<.= 2 / I .

и подсчитаем границу для jocj], при соблюдении которой маятник за время 104 отклонится от вертикального положения не больше, чем на л/10. (Как упоминалось в конце п. 2.3, число 10 служит привыч­ ным условным множителем для перехода к величинам «следующего порядка»; таким образом, неравенство 7 ^ 1 0 4 можно условно при­ нять в данной задаче за эквивалент понятия «долго».) Для неболь­ ших значений <р—л уравнение (6) можно линеаризовать, что при а а= 0 приводит к решению

<р = я + а, ch у / у / .

Подставляя ф = л+ я/10, 4=104,	получим
«‘ - й - т * ’ " ' - 3 -10" ”	р а д ^ 0*00007"-

Ясно, что ни в каком реальном устройстве такая точность не может быть достигнута. В этом смысле упомянутая теорема о непре­ рывной зависимости на достаточно длительном интервале времени неприменима, а потому малое отклонение от неустойчивого состоя­ ния равновесия на таком формально конечном интервале нереализуемо.

Этот результат становится еще более эффектным, если увеличить Г, например, если принять 7 = 1004(этот срок можно условно назвать словами «очень долго»). Тогда оценка для а х вообще теряет вся­ кий реальный смысл. Итак, утверждение (со ссылкой на теорему о непрерывной зависимости решения от начальных ус­ ловий), что с помощью уменьшения jax| можно растянуть время падения как

угодно далеко, не только не имеет практической ценности, но, более того, оно практически н е в е р н о .

О подобных несовпадениях формальных и реальных оценок си­ туации часто забывают. В качестве яркого примера укажем на фор­ мально безупречное доказательство [179, с. 421—423] того, что если иа платформе поезда поставлен математический маятник без трения, подвижная масса которого находится выше точки закрепления (рис. 3), то при любом заданном законе движения v(t) между стар­ том t= 0 и финишем t —T существует целый интервал начальных

80 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

углов 'ф0='Ч»(0) (рис. 3), для которых маятник при ф(0)=0 не упадет за все время движения. Оно основано на непосредственном приме­ нении теоремы о промежуточном значении непрерывной функции к зависимости фг (=ф(Т)) от ф0-

Однако оценка ширины интервала значений ф0. для которых маятник не упадет за все время движения, аналогичная приведенной выше оценке для а,, показывает, что реальное попадание в него практически невозможно, так что ни о каком р е а л ь н о м су­ ществовании описанного балансирования не может быть и речи —

вопреки	классической теории дифференциальных уравнений р е а ­
л ь н а я	зависимостьфг отф0 разрывна, так как в описанных усло­

виях Т надо моделировать как математическую бесконечность. Таким образом, в действительности между интервалами значений фо, при которых маятник упадет направо (налево), имеется интервал неопределенности; положение этого интервала может быть предска­ зано с большей или меньшей точностью по ускорениям платформы в н а ч а л е ее движения.

Рассмотренный пример с неустойчивым положением математи­ ческого маятника интересен еще в следующем отношении. Одно вре­ мя велись споры по поводу применимости результатов теории устой­ чивости Ляпунова к задачам практики из-за того, что в этой теории используются представления о бесконечно большом интервале времени и бесконечно малых начальных возмущениях, тогда как «на практике все величины конечны». Однако на разобранном типич­ ном примере мы видим, что эти опасения не очень существенны. В самом деле, при малых, но реальных начальных возмущениях от­ клонение от положения равновесия принимает конечные, не малые значения не только на бесконечном интервале времени, но и просто на интервале, длительном по сравнению с характерным временем. Другими словами, в реальной задаче бесконечный интервал теории устойчивости — это модель интервала, длительного по сравнению с характерным временем, а бесконечно малые начальные возмуще­ ния — модель возмущений, малых по сравнению с характернымц изменениями координат системы. Можно сказать также, что при правильной схематизации реальное понятие устойчивости относи­ тельно начальных возмущений, как правило, совпадает с понятием устойчивости по Ляпунову. Конечно, это утверждение имеет рацио­ нальный характер (§ 3), но в грубых случаях оно имеет высокую степень достоверности.

В связи со сказанным упомянем еще о так называемой проблеме захвата в небесной механике. Эта проблема состоит в выяснении возможности такого движения системы п ^ З материальных точек, испытывающих только силы взаимного притяжения, что при t -*■ —оо координаты всех или некоторых из этих точек были бы не­ ограниченными, тогда как при t-*- +оо все эти точки содержались бы внутри фиксированной сферы 5. Примеры возможности такого захвата построены, и из них делаются важные качественные космо­