- •Министерство образования и науки рф
- •2. Сведения из теории
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Простейший поток
- •2.3. Описание функционирования марковского процесса с непрерывным временем
- •2.4. Процессы размножения и гибели
- •Запишем нормировочное условие
- •Решая систему дифференциальных уравнений (3) с учетом начальных условий, можно определить значения интересующих нас вероятностей.
- •2.5. Кодирование систем массового обслуживания
- •2.6. Решение системы дифференциальных уравнений
- •3.Выполнения лабораторной работы
- •3.1. Граф состояний
- •3.2. Математическая модель стационарного режима
- •3.3. Стационарные характеристики смо
- •3.4.Математическая модель нестационарного режима
- •3.5. Нестационарные характеристики смо
3.Выполнения лабораторной работы
Исходные данные в табл.1.
Таблица 4
4,46 |
2,7 |
1 |
2 |
Согласно принятой выше кодировке рассматриваемая система относится к классу .
3.1. Граф состояний
Перечислим возможные состояния системы:
–в системе бревен нет, машина свободна от рубки;
–в системе 1 бревно, машина занята рубкой;
–в системе 2 бревна, машина занята рубкой, одно бревно находится в очереди;
–в системе 3 бревна, машина занята рубкой, два бревна находится в очереди.
Граф состояний приведен на рис.4. Переходы слева направо связаны с поступлением в систему очередного бревна, поэтому все интенсивности переходов одинаковы и равны . Переходы справа налево обусловлены окончанием рубки бревна. Во всех состояниях работает одна машина, поэтому интенсивность перехода из состояния в состояние одинаково и равно.
Рис.4. Граф состояний системы
Очевидно, что данный граф описывает процесс размножения и гибели. Поэтому для него справедливы все соотношения п.2.4
3.2. Математическая модель стационарного режима
Пусть – стационарная вероятность пребывания системы в состоянии,. Тогда имеет место следующая система алгебраических уравнений, описывающая стационарный режим:
(12)
Эту систему следует решать вместе с условием нормировки
. (13)
Воспользуемся для этой цели электронной таблицей Excel. На Листе 1, как показано в табл.5, в ячейки B1 и B2 поместим значения интенсивностей и. Блок ячеекD3 : G3 зарезервируем для записи значений искомых вероятностей (эти ячейки сначала пустые). В блоке ячеекD4 : G6 поместим коэффициенты при неизвестных системы (12), за исключением последнего уравнения. Последнее уравнение системы (12) заменим условием нормировки (13), тогда в блоке ячеек D7 : G7 будут располагаться «единицы».
Таблица 5
|
4,46 |
|
Решение системы алгебраических уравнений | |||||||||
|
2,7 |
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
-4,46 |
2,7 |
0 |
0 |
-4,1E-09 |
0 | ||||
|
|
|
4,46 |
-7,16 |
2,7 |
0 |
-4,3E-08 |
0 | ||||
|
|
|
0 |
4,46 |
-7,16 |
2,7 |
-7E-08 |
0 | ||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1,000001 |
|
Блок ячеек I4 : I7 содержит формулы для записи левых частей системы уравнений (10) и (11), а именно, в клетку I4 поместим формулу
= СУММПРОИЗВ( $D$3 : $G$3 ; D4 : G4 ),
которую протянем на блок ячеек I5 : I7. В блоке ячеек J4 : J6 содержатся правые части системы (12), равные «нулям».
Обращение к процедуре «Поиск решения» позволит найти решение системы уравнений (12). Для этого в появившемся окне указываем:
целевую ячейку, в данном случае I7, равную значению 1 (условие нормировки);
изменяемые ячейки, в данном случае блок D3 : G3;
ограничение, в данном случае I4 : I6 = J4 : J6.
Нажимаем «Выполнить» в блоке D3 : H3 получим решение системы уравнений. Таким образом, стационарные вероятности равны, , , .