Решение:

Пример №2. Вычислить

Решение:

если

Старшие производные функции одной переменной

имеет индуктивный

Определение производной n -го порядка функции

называется

функции

Определение 2. Производной порядка

характер.

Таким образом,

производная определяется и вычисляется через

ю,та — через

-ю, и т.д.

порядка функции

• Пример. Вычислить производную

Решение:

Последняя формула является предположением, основанным на предыдущемутверждении. Для n = 1,2,3,4 она выполняется. Предположим, что"угаданная" формула для производной (n-1) -го порядка верна. Покажем

,

по x:

Примененный способ доказательства называется методом полнойматематической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать формулу

, а затем, применив ее и формулу

• Пример. Посчитаем 2-ю производную из примера № 1,

получить выражение для

что тогда она верна и для n-й производной. Пусть

Продифференцируем последнее равенство

проиллюстрировав применение логарифмического дифференцированиядля нахождения старших производных.

Решение:

Продифференцируем

При вычислении

использовалась уже найденная в примере № 1

Механический смысл производной

Производная функции у=f(x) в точке x₀ выражает скоростьизменения функции в точке x₀ , то есть скорость протеканияпроцесса, описанного зависимостью у=f(x)

.

V - скорость.

Пусть

закон прямолинейного движения. Тогда

выражает мгновенную скорость движения в момент времени

Первая производная от пути по времени, т.е.

а - ускорение

Вторая производная

выражает мгновенное ускорение в момент

времени

(вторая производная от пути по

Первая производная от скорости по времен

ивремени), т.е.ускорение

где

обозначения производных по времени, введенные

И.Ньютоном. Он впервые сформулировал, что с позиции механикимгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть перваяпроизводная от пути по времени, а её мгновенное ускорение естьпервая производная от скорости по времени или вторая производная отпути по времени.

Решение

т.е. на 2-й секунде бега спринтер имеет скорость 2,5 м/с.

• Пример. Найти скорость спринтера через 2 с после старта, если

его путь изменяется по формуле:

• Пример . По условию вышеприведенного примера найтиускорение спринтера в начале бега, т.е. при t₀ = 0.

Решение

т.е. в начале бега спринтер имел ускорение 2,25 м/с²

В медицине и биологии, например, используя производную, можноопределить быстроту изменения различных параметров системы илипроцесса в живом организме.

• Пример. При воздействии внешней среды давление наповерхность тела с течением времени меняется по закону

мм.рт.ст.

Определите с какой скоростью изменяется давление на 10 секунде от началапроцесса.

решение

В момент времени t = 10 с

Ответ: В момент времени t = 10 с давление изменяется со скоростью 59мм.рт.ст. в секунду.

• В качестве примера можно рассмотреть понятие градиента.На рисунке представлено распределение скоростей разных слоевжидкости 1-5 при движении вязкой жидкости между двумяпластинами, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется соскоростью V_B.

Слой у основания неподвижен. По мере приближения кверхней пластинке скорость слоев возрастает истремится к V_B. При характеристике возникающих силтрения между слоями используется важный показательdV

—, в данном случае характеризующий изменениеdx

скорости на некотором участке в направлении х,

перпендикулярном скорости, отнесённое к длине этого участка. Величина

называется градиентом скорости или скоростью сдвига. В медицине,

при рассмотрении движения крови по сосудам и анализе вязкости крови

,

оценивают значение скорости сдвига

Задача 1: Исходя из определения производной, определите производнуюфункции f(х) в точке х = 0.

решение

1. По определению производной

, но

Необходимо отметить, что при вычислении предела