- •1. Матрицы и действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •6. Решение линейных систем по формулам Крамера
- •7. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
- •Индивидуальное задание
- •Приложение 1 Действия с матрицами на компьютере в excel.
1. Матрицы и действия с матрицами
Матрицейразмераназывается прямоугольная таблица чисел, содержащаястрок истолбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы1и обозначаются строчными буквами с двойным индексом:, где первый индекс () соответствует номеру строки, а второй индекс () – номеру столбца. Матрица размераможет быть записана в одном из видов
либо
При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .
Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными.Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называетсятреугольной.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца –матрицей-столбцом.Обе такие матрицы называют такжевектором.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевойматрицей и обозначается.
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядкомматрицы.
Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональнойматрицей
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичнойматрицей и обозначается.
Матрица, полученная из исходной перестановкой строк со столбцами, называется транспонированнойматрицей и обозначается:
.
Заметим, что .
В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.
1. Сравнение матриц.Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:
.
2. Умножение матрицы на число.Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:
.
3. Сложение (вычитание) матриц.Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:
.
При сложении и умножении матриц на чило действуют все законы сложения и умножения.
4. Умножение матриц.Матрицы перемножаются по правилу строки на столбец:
Рис.1
А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицынадо каждый элемент−ой строки матрицыумножить на соответствующий по порядку элемент−го столбца и результаты сложить.
При записи знак умножения может быть опущен:.
Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную матрицу получаем квадратную матрицу.
Умножение матриц не коммутативно, т.е. в общем случае .
Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения:
Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц
.
5. Возведение в степень.Для квадратных матриц определено возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом, очевидно, справедлив коммутативный закон умножения
.
►Пример 1.
а) Даны матрицы ,.
Выполнить указанные действия:
1) указать размер матрицы ,
2) записать элемент матрицы ,
3) найти: а) транспонированную матрицу, б) матрицу,
4) вычислить ,
5) вычислить (- единичная матрица).
Решение.
1) Матрица имеет 3 строки и четыре столбца, следовательно, ее размер.
2) Элементнаходится во второй строке и первом столбце матрицы:.
3) Транспонированная матрица получается из исходной, при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицыумножить на три:
а) , б).
4) Матрицы иимеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать
.
5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы. Следовательно, возможно умножение, При этом получаем матрицу, имеющую три строки и три столбца:
Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу.
.
Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка
. ◄
Упражнения.
1. Даны матрицы:
Выполнить действия:
а) , б), в), г), д).
Ответы:
а), б), в), г), д).