- •1. Матрицы и действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •6. Решение линейных систем по формулам Крамера
- •7. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
- •Индивидуальное задание
- •Приложение 1 Действия с матрицами на компьютере в excel.
5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных уравненийснеизвестными(линейной системой) называется система вида
(7)
где − заданные числа. Числаназываютсякоэффициентамисистемы, а числа-свободными членами.
Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.
(8)
В противном случае линейная система называется неоднородной.
Решениемсистемы (7) называется упорядоченная совокупностьчисел:
, (9)
при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, -несовместной. Совместная система называетсяопределенной, если она имеет единственное решение, инеопределенной, если она имеет более одного решения.
Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называетсятривиальным.
Две системы называются равносильными илиэквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.
Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы
– матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец свободных членов,
- матрица-столбец неизвестных.
Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения
,
а решение (9) в виде матрицы-столбца .
Матрица коэффициентов
называется основнойматрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,
называется расширеннойматрицей системы.
Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.
6. Решение линейных систем по формулам Крамера
Теорема Крамера.
Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных
(10)
Если определитель основной матрицы системы
, (11)
не равен нулю, то система имеет единственное решение и , где
Определители , получены из определителя (11) заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.
►Пример 8. По формулам Крамера найти решение системы уравнений
Решение.
Вычислим определители и найдем решение
Ответ:.◄
Упражнения.
Решить системы по формулам Крамера:
1) 2)3)
Ответы: 1), 2), 3).
7. Решение систем с помощью обратной матрицы
Система из уравнений снеизвестными (10) в матричной форме имеет вид (5)
,
где ,,.
Если матрица невырожденная, то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формуле.
►Пример 9. С помощью обратной матрицы найти решение системы
Решение.
Проведем необходимые вычисления:
.
Ответ:. ◄
Упражнения.
Найти решение систем с помощью обратной матрицы:
а) б)в)
г) Ответы:а); б); в)г).